2025北京广渠门中学高三12月月考数学试题及答案

高中2025北京广渠门中学高三12月月考数学考试时间:120分钟满分:150分2025.12一、选择题(1)已知集合A=xA.2,7B.3,6(2)在复平面内,复数z1,z2A.1+iB.1−i C.1(3)下列函数中，既是奇函数又在0,+∞A.y=x−1xB.y(4)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，点M在C上，若A.7B.6C.5D.4(5)已知直线y=ax+b经过圆A.-1B.−1(6)已知x∈0,A.−1,12B.0(7)已知实数x,y满足A.tanx<tanyB.12(8)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)间的关系为P=P0A.10hB.4hC.40hD.8(9)已知无穷数列an,T=MA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(10)已知a,b,e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π3，向量bA.3+1B.3二、填空题(11)双曲线C:x2(12)已知1−3x(13)已知函数fx=−x−+ax,x(14)在如图五面体ABC−DEF中，AD//BE//CF，且两两之间距离均为1.若(15)设有限集合U=a1,a2,a3,⋯,am，其中m≥①集合U=②若集合U={−1,③存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列an，使得集合U④若m=4k+3,k∈三、解答题(16)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，且PB=AB=2,PB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面PBC,(I)求证:F是PD的终点;(II)求直线DE与平面ABE所成角的正弦值.(17)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a(I)求角A大小；(II)再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件,使三角形存在且唯一确定,并求△ABC条件①:a=条件②:cosC条件③:AB边上的高ℎ=

(18)为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了2015-2023年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示.年份201520162017201820192020202120222023产量(万台)3.37.213.114.818.723.736.644.343.0销量(万台)6.98.713.815.414.015.627.129.731.6记2015-2023年工业机器人产量的中位数为a销量的中位数为b.定义产销率为“产销率=销量(I)从2015-2023年中随机取1年.求飞业机器人的产销率大于100%的概率(II)从2018-2023年这6年中随机取2年，这2年中有X年工业机器人的向量不小于a有Y年工业机器人的销量不小于b.记Z=X+Y,求(III)从哪年开始的连续5年中随机取1年，工业机器人的产销率超过70%的概率最小.(结论不要求证明)(19)已知椭圆C:x26+y22=1，设直线l:(I)当m=0时,求(II)若点Q满足PQ=3且QA=(20)已知三次函数fx(I)当a=−1时,求曲线y=(II)若函数fx在区间a,a(III)当a>0时,若x1(21)已知有穷整数数列A:a1,a2,…,ann≥4，满足a1=a(I)已知数列A:1,3,(II)当n=3m+2m∈N∗时,是否存在数列A满足(III)当数列A是Ω的“恒元”时,若a2,a3,…,an

参考答案一.选择题(共11小题)1.【解答】解:集合A=x∣故选:C.2.故选:B.3.【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于A,设fx=x有f−又由f'x=1+则fx在0对于B,设gx=x在区间0,33则gx在0对于C,对于D,y=tan故选:A.4.【解答】解:如图所示,因为点M到直线x=−3的距离∴点M到直线x=−2的距离由方程y2=8x又抛物线上点M到准线x=−2的距离和到焦点故MF=故选:D.5.【解答】解:圆x2+y2+2x=0化成标准方程,得x+12∴0=−a因此,a2当且仅当a=−12时,a故选:B.6.【解答】解:由f设sinx∵x∴∴g∴g即fx=cos2x故选:D.7.【解答】解:∵实数x,y满足lnx<lny,∴0<x<y由x−yx2+xy+y2+x+y故选:D.8.【解答】解:由题意知,0.5P0=所以ln0.5=−10k设消除60%的污染物对应事件为t1,即设消除80%的污染物对应事件为t2,即0.2两式相除可得2=即ln2所以t2即从消除60%的污染物到消除80%的污染物大约需要经历10h.故选:A.9.【解答】解:若“T中元素存在最小值”,构造数列an=4故当M≥4时,an≤M故“T中元素存在最小值”不能推出“an若“an有最大值”,设其最大值为m,则对任意n∈ℕ又对于T中任意元素M,都有m≤M(因为m是数列的最大项),因此T中元素的最小值为即“an有最大值”能推出“T综上,“T中元素存在最小值”是“an故选:B.10.【解答】解:由b2−4∴b如图,不妨设e=则b的终点在以2,又非零向量a与e的夹角为π3,则a的终点在不含端点O的两条射线y不妨以y=3x为例,则a−b即23故选:B.二.填空题(共5小题)11.【解答】解:因为双曲线x2a2则有2a2又离心率为2,则e=c由①②可得，a2=1所以双曲线的标准方程为x2故选:B.12.故答案为:1；16.13.答案:−∞,14.【解答】解:如图,延长AD,BE,CF到则HIJ−ABC为三棱柱,且∵棱AD,BE，CF互相平行，且两两之间距离均为1，∴三棱柱∴V故答案为:3215.【解答】解:对于①项,1,2,所以,当M=2中所有元素之和也小于22025当M含有22025以及2综上可知，①正确；对于②项，如果M={−1}，则由“可拆等和集”的定义，得2如果M={2},则由“可拆等和集”的定义,得−如果M={5},则由“可拆等和集”的定义,得2如果M={−1,2}如果M={−1,5}此时因集合U={−如果M={2,5如果M={−1,综上可知:k可取6个值,分别为−8,−2对于③项，将U中所有元素同时除以a1=2由等比数列前n项和公式可得1+又因为q≥2,所以q−1≥所以当M1=qm−不满足要求,显然同时乘以a1当M1含有qm−1以及qm−1之外的其余元素时,也不满足要求,显然同时乘以a1=2后还是不满足.不存在公比为正整数,且公比不为1的等比数列an,使得集合Ua共有4k+3−12=2k从这2k组相同的数据中任意选出k组,将对应的元素分到集合M中;又d=a1而a3k不妨将ak+1满足M,M中的元素之和相等,故选:①②④.三.解答题(共6小题)(16)【解析】(I)∵ABCD为菱形，所以CD又因为AB⊂平面ABE,CD所以CD//平面ABE又因为CD⊂平面PCD平面ABE∩平面PCD所以CD//又因为E是PC的中点又因为F是PD的中点.(II)因为底面ABCD是边长为2的菱形,PB=AB=又因为E是PC的中点,所以BE又因为平面PDC⊥平面PBC,平面PDC∩平面PBC=PC,BE⊂又因为CD⊂平面PDC所以BE⊥因为CD//AB，所以因为PB⊥平面ABCD,AB,AD⊂因为BE⊥AB,PB⊥AB,又因为BC⊂平面PBC,所以所以PB,以B为坐标原点,分别以BC,BA,则B0所以DE=设平面ABE的法向量为n=则n⋅BE=设直线DE与平面ABE所成角为θ,则sinθ故直线DE与平面ABE所成角的正弦值为3317.【解答】解:(I)因为asinB=又因为B∈0,π,所以sinB≠0(II)选①:由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA，即19=b2+由正弦定理asinA=则sinB此时△ABC的面积S选③:因为AB边上的高ℎ=3，所以bsin由余弦定理a2=b2+c2−故△ABC唯一,符合题意,此时△ABC的面积18.【解答】解:(I)记事件A为“工业机器人的产销率大于100%”,由表中数据,工业机器人的产销率大于100%的年份为2015年,2016年,2017年,2018年,共4年,所以PA(II)因为a=所以X的所有可能的取值为1,所以Z的所有可能的取值为2,3,4,P所以Z的分布列为:Z234P1825故Z的数学期望EZ(III)2018年和2019年.19.【解答】解:(I)当m=0时,直线l的方程为将y=解得x2所以AB=(II)联立y=x+mx此时△=36解得−2设Ax1,由韦达定理得x1解得xM即M−因为P0所以MP=可得MQ=因为MB=因为QA=所以QM⊥在Rt△QMB中,MQ所以∠AQB20.【答案】解:(I)当a=-1时,ff′(3)=-9,f(3)=-2,∴在点(3,f(3))处的切线方程为y+2=-9(x-3),即9x+y-25=0.II若a>0,则f′(x)>0的解集为(−∞,0)∪(2,+∞),即f(x)在(−∞,0),(2,+∞)上单调递增;f′(x)<0的解集为(0,2),即f(x)在(0,2)上单调递减,若a<0,则f(x)在(0,2)上单调递增,f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减,若a=0,f(x)为常函数,若函数f(x)在区间(a，a+3)上具有单调性，①当a>0时,(a,a+3)⊆(2,+∞),解得a≥2;②当a<0时,(a,a+3)⊆(-∞,0),解得a≤-3,综上,a的取值范围是(-∞,-3]∪[2,+∞).(Ⅲ)先证明f由(Ⅱ)得:当a>0时,f(x)在(-∞,0)递增,在(0,2)递减,在(2,+∞)递增,∵x1+x①若x1≤0,故jf②若x∴fx1+f综上，f再证明：fx假设存在常数m(m≥4)，使得对任意x取x1=2,则f与fx故fx21.【解答】解:(I)因为数列A:1,3,4,1,所以Ω中的数列满足b2(I