2025北京理工大附中高三12月月考数学试题及答案

高中2025北京理工大附中高三12月月考数学2025.12本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡收回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知全集，集合，，则（）（A）（B）（C）（D）（2）若复数，则复数的共轭复数（）（A）（B）（C）（D）（3）命题“，”的否定是（）（A），（B），（C），（D），（4）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（5）已知，其中是自然对数的底数，则（）（A）（B）（C）（D）（6）函数的部分图象如图所示，则（）（A）（B）（C）（D）（7）已知半径为的圆经过原点，其圆心到直线的距离为，则的最大值为（）（A）（B）（C）（D）（8）庑殿顶是中国传统建筑中的一种屋顶形式，其顶盖几何模型如图所示，底面是矩形，侧面由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成.若,且四个侧面与底面的夹角的大小均相等，则（）（A）（B）（C）（D）（9）已知函数，若当时，，则的取值范围是（）（A） （B）（C）（D）(10)在数列中，,则（）（A）当时，对于任意的正整数，（B）当时，存在正整数，当时，（C）当时，对于任意的正整数，（D）当时，存在正整数，当时，第二部分（非选择题共110分）填空题共5小题，每小题5分，共25分.（11）函数的定义域为______．（12）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为____.（13）在QUOTE∆ABC中，点，满足，．若，则．（14）某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了_____________万个充电桩；从第1年起，约_____________年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）.（参考数据：，）（15）在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是_______．①双曲正弦函数是增函数；②双曲余弦函数是增函数；③双曲正切函数是增函数；④．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.（16）（本小题13分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求不等式的解集．（17）（本小题13分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，与相交于点,平面平面，点在棱上，，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若平面，求平面与平面夹角的大小.（18）（本小题14分）在中，角，，的对边分别为，，，已知.（Ⅰ）求；（=2\*ROMANII）再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：，；条件②：，；条件③：边上的高，.（19）（本小题15分）已知椭圆的一个顶点为，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，点关于轴的对称点为，求证：四边形为菱形.（20）（本小题15分）已知函数．（Ⅰ）当时，求的极值；（Ⅱ）若对，恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）证明：若在区间上存在唯一零点，则(其中)．（21）（本小题15分）对于有限正整数数列，若存在连续子列和符号序列，，使得，其中，则称数列存在平衡连续子列．（1）写出数列2，1，2，3的一个平衡连续子列；（2）设对任意正整数，定义函数为满足的非负整数，其中为奇数，令．求数列并判断其是否存在平衡连续子列，说明理由；（3）设数列的每一项均为不大于的正整数，证明：当时，存在平衡连续子列．

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.题号12345678910答案BAACACDBBC第二部分（非选择题共110分）填空题共5小题，每小题5分，共25分.（11）【答案】（12）【答案】（13）【答案】（14）【答案】①.2.88②.8【详解】由题意可知第3年新建设万个充电桩；假设第年后充电桩总量达到30万个，则，即，取对数得，即约8年内，可达到要求.故答案为：2.88，8（15）【答案】①③=4\*GB3④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.（16）解：（Ⅰ）=……4分……6分所以，函数的最小正周期为．……8分（Ⅱ）因为在区间大于等于零，若，则x需满足：，……4分所以的解集为．……6分（17）解：（I）因为在中，，，所以.所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面,所以..........4分（=2\*ROMANII）因为平面，平面，平面平面,所以.因为为平行四边形，为的中点,所以为的中点.所以.因为，所以.所以.所以两两垂直.如图建立空间直角坐标系，则，，，因此，．设平面的法向量为，则即．令，则．所以．平面的一个法向量.．所以平面与平面夹角为． .........13分（18）（Ⅰ）因为，由正弦定理得，，又，所以，得到，又，又，所以，得到，所以.（=2\*ROMANII）选条件①：，；由（Ⅰ）知，，根据正弦定理知，所以存在或两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件；选条件②：，因为，即，又，所以，所以只有成立，存在且唯一确定，所以的面积为.选条件③：边上的高，；如图所示，边上的高，在中，，即，由（Ⅰ）知，，根据余弦定理知，，化简得，得(舍去)或，存在且唯一确定，所以的面积为.（19）解：（Ⅰ）因椭圆顶点为，离心率为，则，所以，故椭圆方程为：；（Ⅱ）由题，设直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立，可得.即得化简得因直线与椭圆交于不同的两点，则.设，由韦达定理.又设，令得；设，令得；又因为.所以，，所以平分，所以四边形为菱形.（20）解：（Ⅰ）函数的定义域为.当时，.令，解得，或(舍).当变化时，，的变化情况如下表所示：单调递减单调递增因此，当时，有极小值，极小值为.（Ⅱ）.(1)当时，因为，所以.所以.所以在区间上单调递增.故，满足题意.(2)当时，令，得.所以在区间上单调递减.所以,不符合题意.综上可知，.…….……9分（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，对任意，恒成立，所以在区间没有零点，不符合题意.当时，因为在区间上单调递减，且，所以在区间上无零点.因为在区间上存在唯一零点，所以.因为当时，，所以函数在上单调递增.要证，只要证，即只要证.，令，只要证.令，.令，当时，，所以在区间上单调递增，则有.所以在区间上单调递增，则有，于是得证.故.15分（21）【答案】（1）1，2，3.子列1，2，3对应原数列的，，，设符号序列为，，，需满足，其中，，，若取，，，则和为，满足，由于存在连续子列1，2，3，以及符号序列，，均属于，使得符号与对应项乘积的和为0，完全符合“平衡连续子列”的定义（存在连续子列和符号序列，使符号加权和为，综上，子列1，2，3是数列2，1，2，3的平衡连续子列；（2）因为1，3，5，7是奇数，故，所以．因为，所以．因为，所以，所以数列4，2，4，1，4，2，4．因为，所以与奇偶性相同．当或时，因为中，为奇数，其余各项均为偶数，所以为奇数．所以．当取时，由（1）可知，综上，该数列不存在平衡连续子列．（3）设，则是整数数列．下面证明对任意，均