2025北京首师大附中高三10月月考数学试题及答案

高中2025北京首都师大附中高三10月月考数学一､选择题（本大题共10小题.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1.已知全集是实数集，集合，，则阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D.或2.在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是，则的模是（）A.5 B. C.2 D.3.若，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.4.已知角的终边上有一点，则（）A. B. C. D.5.要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（）A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位6.已知x，，且，则（）A. B.C. D.7.在中，角所对的边分别为，则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（）倍.（参考数据：，）A.5 B.6 C.7 D.89.已知函数满足，且当时，恒成立．若，则的大小关系是（）A. B.C. D.10.已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是（）A.若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增B.对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增C.对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得D.若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值二､填空题（本大题共5小题）11.函数的定义域为__________.12.《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了__________尺布.”13.在中，角所对的边分别为，若此三角形有两解，则的取值范围是__________.14.函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于､两点，且在轴上，圆的半径为，则___________.15.已知数列的各项均为正数，的前n项和满足．给出下列四个结论：①的第2项小于1；②为常数列；③为递增数列；④中存在小于的项．其中所有正确结论的序号是____________．三､解答题（本大题共4小题.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程）16.已知为数列的前项和，满足，．数列是等差数列，且，．（1）求数列和的通项公式；（2）设求数列的前项和．17.已知函数.（1）若，求的值；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在，求出，的值，并证明：当时，.条件①：；条件②：当时，的最小值为；条件③：图象关于直线对称.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18.已知函数的定义域为，为其导函数.若，则称为上的“优导函数”.（1）判断是否是上的“优导函数”？（2）已知为上的“优导函数”，求实数的取值范围.19.如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击（1）当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里（2）问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船20.已知函数，其中．（1）若函数有处取得极大值0，求的值；（2）函数．（i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合；（ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围．21.已知集合，集合且满足：与恰有一个成立，对于定义.（1）若，求的值及的最大值；（2）从中任意删去两个数，记剩下的个数的和为，证明：；（3）求证：对于满足的每一个集合，集合中都存在三个不同的元素，使得.

参考答案一､选择题（本大题共10小题.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）12345678910CDBCDBABDD二､填空题（本大题共5小题）11.【答案】因为函数，所以，可得，解得，所以函数的定义域为.故答案为：12.【答案】由题得每天的织布数成等差数列，首项，记公差为，由题得，所以所以.故答案为：1113.【答案】由，可得由正弦定理可得即又三角形有俩解所以只需即故答案为：14.【答案】由图可知，点，故，即，因，所以.由，得，又因，所以，故.由图可知，又因且圆的半径为，所以，因此，即，所以.因此.故答案为：.15.【答案】解：因为，所以，又，所以，则，即为常数列，故②正确；因为的各项均为正数，当时，即，解得，故①错误；由于，所以，又数列的各项均为正数，所以，所以，所以，故为递减数列，故③错误；假设中每一项均大于或等于，当取值变大时，也逐渐增大，当时，，又，所以，与矛盾，故④正确；故答案为：②④三､解答题（本大题共4小题.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程）16.【答案】（1），（2）【详解】（1）解：因为，，①所以有，．②②①得．所以数列成以为首项，以为公比的等比数列．所以．又数列是等差数列，且，．所以，．所以．（2）因为设数列的前项和为，所以．17.【答案】（1）（2）答案见解析【详解】（1）解：若，可得，所以.（2）解：由，若选择条件①：由，可得，所以，因为，可得不存在；故只能选择条件②③：由，由且的最小值为，可得，可得，可得，所以，此时，又由图象关于直线对称，可得，即，所以，可得，因为，可得；所以，当时，，时，取最大值，所以，.18.【答案】（1）是（2）【详解】（1）因为，，所以，，则，.因为，所以，当时取等号；，当时取等号.所以（等号不能同时成立）.即.所以函数是上的“优导函数”.（2）因为，，所以.由为上的“优导函数”，所以在上恒成立.所以恒成立.因为，所以恒成立.设，则，由；由.所以在上单调递减，在上单调递增.所以.所以，即实数的取值范围是.19.【答案】（1）两船相距海里.（2）巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.【详解】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时，由题意知在中，由余弦定理得所以在中，由正弦定理得，即所以（舍去）所在又在中，由余弦定理得，故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里.（2）当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船，则在中，由正弦定理得：则所以，在中，由正弦定理得：则，故（舍）故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.20.【答案】（1）（2）（ⅰ）证明见解析；（ii）【详解】（1），得，由题设知，解得，此时当时，为增函数；当时，为减函数；所以函数在处取得极大值，满足题意，故．（2）（i）函数．由，得，设点和点，不妨设，则曲线在点处的切线方程为，即；同理曲线在点处的切线方程为；假设与重合，则，化简得，两式消去，得，则，令，，由，所以在上单调递增，所以，即无解，所以与不重合，即对于曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合．（ⅱ）当时，先解决对于恒成立，令，则在上恒成立，由，解得．下面证明当时，在上恒成立．则当时，，令，则，则当时，由，则，则在上单调递增，所以；当时，令，则，则在上单调递增，所以，所以在上单调递减，所以成立，所以对于，不等式恒成立，实数的取值范围为．所以，使得成立，的取值范围为．21.【答案】（1），最大值2；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【详解】（1）因为，所以，故.因为，所以.所以.所以当时，取得最大值2（2）由的定义知：.所以.设删