2026年函数奇偶性测试题及答案

2026年函数奇偶性测试题及答案

一、单项选择题(总共10题，每题2分)1.已知函数$f(x)$是定义在$R$上的奇函数，当$x\gt0$时，$f(x)=x^2-2x$，则$f(-1)=$（）A.-1B.0C.1D.22.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.$y=x+1$B.$y=-x^3$C.$y=\frac{1}{x}$D.$y=x|x|$3.若函数$f(x)$为奇函数，且当$x\geq0$时，$f(x)=2^x+x-1$，则$f(-1)=$（）A.-2B.-1C.0D.24.已知函数$f(x)$是偶函数，其定义域为$R$，当$x\geq0$时，$f(x)=x^2-4x$，则不等式$f(x+2)\lt5$的解集为（）A.$(-3,7)$B.$(-4,5)$C.$(-7,3)$D.$(-2,6)$5.函数$f(x)=\frac{x^2+1}{x}$的图象关于（）A.$x$轴对称B.$y$轴对称C.原点对称D.直线$y=x$对称6.设$f(x)$是定义在$R$上的奇函数，且当$x\gt0$时，$f(x)=x^2+1$，则$f(-2)+f(0)=$（）A.-5B.5C.1D.-17.已知函数$f(x)$是偶函数，在区间$[0,+\infty)$上单调递增，则满足$f(2x-1)\ltf(\frac{1}{3})$的$x$的取值范围是（）A.$(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$B.$[\frac{1}{3},\frac{2}{3})$C.$(\frac{1}{2},\frac{2}{3})$D.$[\frac{1}{2},\frac{2}{3})$8.若函数$f(x)$满足$f(-x)=-f(x)$，且$f(2-x)=f(2+x)$，则$f(x)$的周期是（）A.2B.4C.6D.89.已知函数$f(x)$是定义在$R$上的奇函数，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=x(1-x)$，则$f(x)$在区间$[-1,0]$上的表达式为（）A.$f(x)=x(1+x)$B.$f(x)=-x(1+x)$C.$f(x)=x(1-x)$D.$f(x)=-x(1-x)$10.设函数$f(x)$是定义在$R$上的奇函数，且$f(x+2)=-f(x)$，当$0\ltx\lt1$时，$f(x)=x$，则$f(7.5)=$（）A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5二、填空题(总共10题，每题2分)1.若函数$f(x)=x^3+(m-1)x^2$是奇函数，则$m=$______。2.已知函数$f(x)$是偶函数，当$x\lt0$时，$f(x)=x^2+3x$，则当$x\gt0$时，$f(x)=$______。3.函数$f(x)=\frac{1}{x-1}$的图象关于点______对称。4.若函数$f(x)$满足$f(x+3)=-f(x)$，则$f(x)$的周期是______。5.已知函数$f(x)$是奇函数，且$f(3)=2$，则$f(-3)=$______。6.若函数$f(x)$为偶函数，且在$[0,+\infty)$上单调递减，$f(2)=0$，则不等式$f(x)\gt0$的解集为______。7.函数$f(x)=x^2-2|x|$的奇偶性是______。8.已知函数$f(x)$是定义在$R$上的奇函数，当$x\geq0$时，$f(x)=x^2-2x$，则不等式$f(x)\gtx$的解集为______。9.若函数$f(x)$满足$f(x+1)=f(x-1)$，则$f(x)$的周期是______。10.设函数$f(x)$是定义在$R$上的奇函数，且$f(x+4)=f(x)$，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=x$，则$f(2023)=$______。三、判断题(总共10题，每题2分)1.若函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$，则$f(x)$一定是偶函数。（）2.奇函数的图象一定关于原点对称。（）3.偶函数的图象一定关于$y$轴对称。（）4.若函数$f(x)$是奇函数，则$f(0)=0$。（）5.若函数$f(x)$满足$f(x+a)=-f(x)$，则$f(x)$的周期是$2a$。（）6.若函数$f(x)$是偶函数，且在$[a,b]$上单调递增，则在$[-b,-a]$上单调递减。（）7.若函数$f(x)$满足$f(x+2)=f(x)$，则$f(x)$的周期是$2$。（）8.若函数$f(x)$是奇函数，且$f(x+2)=f(x)$，则$f(1)=f(3)$。（）9.若函数$f(x)$满足$f(-x)=-f(x)$，且$f(x+2)=f(x)$，则$f(x)$是周期为$2$的奇函数。（）10.若函数$f(x)$是偶函数，且$f(x+2)=-f(x)$，则$f(x)$的周期是$4$。（）四、简答题(总共4题，每题5分)1.简述函数奇偶性的定义。2.已知函数$f(x)$是奇函数，当$x\gt0$时，$f(x)=x^2-3x$，求当$x\lt0$时$f(x)$的表达式。3.若函数$f(x)$是偶函数，且在区间$[0,+\infty)$上单调递减，$f(2)=0$，解不等式$f(x)\lt0$。4.已知函数$f(x)$满足$f(x+2)=-f(x)$，证明$f(x)$是周期函数，并求出其周期。五、讨论题(总共4题，每题5分)1.讨论函数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$（$a,b,c\inR$）的奇偶性与$a,b,c$的关系。2.已知函数$f(x)$是奇函数，且在定义域内单调递增，若$f(1)=1$，讨论不等式$f(x^2-2x)\lt1$的解集。3.讨论函数$f(x)=\frac{ax+1}{x+2}$（$a\neq\frac{1}{2}$）在区间$(-2,+\infty)$上的单调性与奇偶性。4.已知函数$f(x)$满足$f(x+4)=f(x)$，且$f(x)$是偶函数，当$x\in[0,2]$时，$f(x)=x^2-2x$，讨论函数$f(x)$在区间$[-2,2]$上的图象特征。答案一、单项选择题1.A2.D3.A4.C5.C6.A7.A8.B9.B10.B二、填空题1.12.$x^2-3x$3.$(1,0)$4.65.-26.$(-2,2)$7.偶函数8.$(3,+\infty)\cup(-\infty,-1)$9.210.-1三、判断题1.√2.√3.√4.×5.√6.√7.√8.√9.×10.√四、简答题1.对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，那么函数$f(x)$就叫做偶函数；对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，那么函数$f(x)$就叫做奇函数。2.设$x\lt0$，则$-x\gt0$，因为当$x\gt0$时，$f(x)=x^2-3x$，又$f(x)$是奇函数，所以$f(x)=-f(-x)=-[(-x)^2-3(-x)]=-x^2-3x$。3.因为$f(x)$是偶函数且$f(2)=0$，所以$f(-2)=0$，又$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递减，所以$f(x)\lt0$的解集为$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$。4.因为$f(x+2)=-f(x)$，所以$f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x)$，所以$f(x)$是周期函数，周期为4。五、讨论题1.若$f(x)$是奇函数，则$f(-x)=-f(x)$，即$-x^3+ax^2-bx+c=-(x^3+ax^2+bx+c)$，可得$a=c=0$；若$f(x)$是偶函数，则$f(-x)=f(x)$，即$-x^3+ax^2-bx+c=x^3+ax^2+bx+c$，可得$b=0$。所以当$a=c=0$时，$f(x)$是奇函数；当$b=0$时，$f(x)$是偶函数；当$a=b=c=0$时，$f(x)$既是奇函数又是偶函数。2.因为$f(x)$是奇函数且单调递增，$f(1)=1$，所以$f(x^2-2x)\lt1$即$f(x^2-2x)\ltf(1)$，可得$x^2-2x\lt1$，即$x^2-2x-1\lt0$，解得$1-\sqrt{2}\ltx\lt1+\sqrt{2}$。3.$f(x)=\frac{ax+1}{x+2}=a+\frac{1-2a}{x+2}$，当$a\gt\frac{1}{2}$时，$1-2a\lt0$，$f(x)$在$(-2,+\infty)$上单调递增；当$a\lt\frac{1}{2}$时，$1-2a\gt0$，$f(x)$在$(-2,+\infty)$上单调递减。$f(-x)=\frac{-ax+1}{-x+2}=\frac{ax-1}{x-2}\neq-f(x)$且$f(-x)\neqf(x)$