2026年大学初等数论期末考点速记配套练习题及答案

2026年大学初等数论期末考点速记配套练习题及答案

一、单项选择题(总共10题，每题2分)1.若a,b,c是整数，且a|b,b|c，则（）A.a|cB.c|aC.a=bD.b=c2.18与24的最大公因数是（）A.2B.3C.6D.123.同余方程x²≡1(mod5)的解的个数是（）A.0B.1C.2D.34.若a≡b(modm)，则下列说法错误的是（）A.m|(a-b)B.a=b+km,k∈ZC.a和b被m除的余数相同D.a＞b5.不定方程3x+5y=1的一组特解是（）A.x=2,y=-1B.x=-1,y=2C.x=1,y=-2D.x=-2,y=16.7的最小非负完全剩余系是（）A.0,1,2,3,4,5,6B.1,2,3,4,5,6,7C.-3,-2,-1,0,1,2,3D.-6,-5,-4,-3,-2,-1,07.若p是质数，a是整数，则a^p≡（）(modp)A.aB.0C.1D.p8.12!中2的最高幂次是（）A.9B.10C.11D.129.同余方程3x≡5(mod7)的解是（）A.x≡3(mod7)B.x≡4(mod7)C.x≡5(mod7)D.x≡6(mod7)10.若(a,m)=1，则同余方程ax≡b(modm)（）A.无解B.有唯一解C.有无数解D.解的情况不确定二、填空题(总共10题，每题2分)1.设a,b是正整数，则(a,b)[a,b]=。2.360的正约数个数是。3.同余方程2x≡3(mod5)的解是。4.写出10以内的所有质数。5.若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则ac≡(modm)。6.不定方程2x+3y=7的通解是。7.49的最小非负简化剩余系是。8.15!中3的最高幂次是。9.同余方程x²≡-1(mod5)（填有或无）解。10.若a=10,b=15,m=5，则amodm=，bmodm=。三、判断题(总共10题，每题2分)1.若a|b且a|c，则a|(b+c)。（）2.两个整数的最大公因数一定大于这两个整数。（）3.同余方程ax≡b(modm)有解的充要条件是(a,m)|b。（）4.若a≡b(modm)，则a²≡b²(modm)。（）5.不定方程一定有整数解。（）6.质数一定是奇数。（）7.一个数的完全剩余系是唯一的。（）8.若(a,m)=1，则同余方程ax≡1(modm)的解是a关于模m的逆元。（）9.两个相邻整数的最大公因数是1。（）10.同余方程x²≡1(mod4)有4个解。（）四、简答题(总共4题，每题5分)1.简述辗转相除法求最大公因数的原理。2.写出中国剩余定理的内容。3.如何判断同余方程ax≡b(modm)是否有解？4.求不定方程4x+7y=30的所有正整数解。五、讨论题(总共4题，每题5分)1.讨论同余方程x²≡a(modp)（p为质数）有解的条件。2.谈谈你对质数在数论中的地位和作用。3.举例说明不定方程在实际生活中的应用。4.讨论完全剩余系和简化剩余系的联系与区别。答案1.单项选择题-1.A2.C3.C4.D5.B6.A7.A8.B9.B10.B2.填空题-1.ab2.243.x≡4(mod5)4.2,3,5,75.bd6.x=2+3t,y=1-2t,t∈Z7.1,2,3,4,5,68.69.无10.0,03.判断题-1.√2.×3.√4.√5.×6.×7.×8.√9.√10.×4.简答题-1.辗转相除法求最大公因数的原理是：设a,b是两个正整数，用较大数除以较小数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。最后的除数就是a,b的最大公因数。例如求(24,18)，24÷18=1余6，18÷6=3余0，所以(24,18)=6。-2.中国剩余定理：设m1,m2,…,mk是两两互质的正整数，b1,b2,…,bk是任意整数，则同余方程组x≡b1(modm1)，x≡b2(modm2)，…，x≡bk(modmk)有唯一解x≡M1M1^-1b1+M2M2^-1b2+…+MkMk^-1bk(modM)，其中M=m1m2…mk，Mi=M/mi，Mi^-1是Mi关于模mi的逆元。-3.同余方程ax≡b(modm)有解的充要条件是(a,m)|b。即a和m的最大公因数能整除b时方程有解。-4.先求特解，对4x+7y=30，7=4×1+3，4=3×1+1，1=4-3=4-(7-4)=2×4-7，所以特解x0=60,y0=-30。通解为x=60+7t,y=-30-4t,t∈Z。正整数解：令x=60+7t＞0且y=-30-4t＞0，解得-60/7＜t＜-15/2，t=-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1，代入可得正整数解为x=4,y=2；x=11,y=-2（舍去）等，正整数解为x=4,y=2。5.讨论题-1.同余方程x²≡a(modp)（p为质数）有解的条件是(a/p)=1，即a是模p的二次剩余。当a是模p二次剩余时方程有解，否则无解。例如x²≡2(mod5)，计算(2/5)=(-1)^((2-1)(5-1)/4)×(5/2)=(-1)^1×1=-1，所以无解；而x²≡1(mod5)，(1/5)=1，有解x≡1(mod5)和x≡4(mod5)。-2.质数在数论中地位极其重要。它是构成整数的基本“原子”，任何大于1的整数都可唯一分解为质数的乘积。许多数论问题都围绕质数展开，如哥德巴赫猜想、黎曼猜想等。质数的分布规律更是数论研究的核心内容之一，它对密码学等领域有着关键作用，比如RSA加密算法就基于大质数的性质。-3.不定方程在实际生活中有很多应用。比如分物问题，将若干个物品分给若干个人，要求每人所得物品数量符合一定条件，可通过不定方程求解。又如鸡兔同笼问题，已知头和脚的总数，求鸡兔数量，可设未知数列出不定方程求解。还有工程问题中，不同效率的工人完成一定工作量所需时间等问题也可借助不定方程解决。-4.完全剩余系是模m的一组数，使得任意整数模m后与这组数中的某一个同余，且这组数两两不