等差数列练习题

等差数列练习题等差数列作为数列家族中最为基础也最为重要的成员之一，其规律性的变化和简洁的表达形式，使其在数学乃至其他学科中都有着广泛的应用。掌握等差数列，关键在于深刻理解其定义内涵，并能熟练运用通项公式与求和公式解决实际问题。以下，我们将通过一系列有针对性的练习题，帮助读者巩固所学知识，提升解题能力。一、核心知识回顾在着手练习之前，让我们简要回顾等差数列的核心概念与公式，这是解决一切问题的基石。1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母`d`表示。2.通项公式：对于首项为`a₁`，公差为`d`的等差数列，其第`n`项`aₙ`可以表示为：`aₙ=a₁+(n-1)d`此公式揭示了等差数列中任意一项与首项、公差以及项数之间的关系。3.等差中项：若三个数`a`，`A`，`b`成等差数列，则`A`叫做`a`与`b`的等差中项，且`A=(a+b)/2`。4.前n项和公式：等差数列前`n`项的和`Sₙ`有两种表达形式：*`Sₙ=n(a₁+aₙ)/2`（已知首项和末项时常用）*`Sₙ=na₁+n(n-1)d/2`（已知首项和公差时常用）二、练习题设计与解析（一）基础巩固练习1：已知等差数列`{aₙ}`的首项`a₁=3`，公差`d=2`，求其第`5`项`a₅`和第`10`项`a₁₀`。解析：直接应用通项公式`aₙ=a₁+(n-1)d`。对于`a₅`：`n=5`，`a₅=3+(5-1)×2=3+8=11`。对于`a₁₀`：`n=10`，`a₁₀=3+(10-1)×2=3+18=21`。答案：`a₅=11`，`a₁₀=21`。练习2：等差数列`{aₙ}`中，`a₃=7`，`a₅=13`，求数列的首项`a₁`和公差`d`。解析：根据通项公式，可列出方程组：`a₃=a₁+2d=7``a₅=a₁+4d=13`用第二个方程减去第一个方程：`(a₁+4d)-(a₁+2d)=13-7`，得`2d=6`，所以`d=3`。将`d=3`代入第一个方程：`a₁+2×3=7`，解得`a₁=1`。答案：`a₁=1`，`d=3`。练习3：求等差数列`2,5,8,11,...`的前`10`项和`S₁₀`。解析：首先确定首项`a₁=2`，公差`d=5-2=3`。项数`n=10`。应用前`n`项和公式`Sₙ=na₁+n(n-1)d/2`。`S₁₀=10×2+10×9×3/2=20+135=155`。或者，先求`a₁₀=2+(10-1)×3=29`，再用`S₁₀=10×(2+29)/2=10×31/2=155`。答案：`S₁₀=155`。练习4：等差数列`{aₙ}`的前`n`项和为`Sₙ`，若`a₁=1`，`d=1`，且`Sₙ=36`，求`n`的值。解析：已知`a₁=1`，`d=1`，`Sₙ=36`。代入公式`Sₙ=na₁+n(n-1)d/2`：`36=n×1+n(n-1)×1/2`。整理得：`n+n(n-1)/2=36`，两边同乘2：`2n+n(n-1)=72`，即`n²+n-72=0`。解一元二次方程：`(n+9)(n-8)=0`，解得`n=8`或`n=-9`（项数不能为负，舍去）。答案：`n=8`。（二）能力提升练习5：在等差数列`{aₙ}`中，已知`a₂+a₅=19`，`a₃+a₆=25`，求该数列的公差`d`及`a₁`。解析：方法一：将已知条件用`a₁`和`d`表示。`a₂=a₁+d`，`a₅=a₁+4d`，所以`a₂+a₅=2a₁+5d=19`。`a₃=a₁+2d`，`a₆=a₁+5d`，所以`a₃+a₆=2a₁+7d=25`。得到方程组：`2a₁+5d=19``2a₁+7d=25`两式相减：`2d=6`，`d=3`。代入第一个方程：`2a₁+15=19`，`2a₁=4`，`a₁=2`。方法二：观察到`(a₃+a₆)-(a₂+a₅)=(a₃-a₂)+(a₆-a₅)=d+d=2d`，所以`25-19=2d`，即`6=2d`，`d=3`。再求`a₁`同上。答案：`d=3`，`a₁=2`。练习6：已知等差数列`{aₙ}`中，`a₁+a₃+a₅=18`，`a₂+a₄+a₆=24`。求：（1）数列的公差`d`；（2）数列的前`6`项和`S₆`。解析：（1）`a₂+a₄+a₆=(a₁+d)+(a₃+d)+(a₅+d)=(a₁+a₃+a₅)+3d`。已知`a₁+a₃+a₅=18`，`a₂+a₄+a₆=24`，所以`24=18+3d`，解得`d=2`。（2）`S₆=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=(a₁+a₃+a₅)+(a₂+a₄+a₆)=18+24=42`。或者，`S₆=6(a₁+a₆)/2=3(a₁+a₆)`。而`a₁+a₆=(a₁+a₅)+d`，但由`a₁+a₃+a₅=18`且`a₃`是`a₁`和`a₅`的等差中项，可得`3a₃=18`，`a₃=6`。同理`a₂+a₄+a₆=24`可得`3a₄=24`，`a₄=8`。`a₁+a₆=a₃+a₄=6+8=14`，所以`S₆=3×14=42`。答案：（1）`d=2`；（2）`S₆=42`。练习7：一个等差数列的前`4`项和为`26`，前`7`项和为`63`，求这个数列的第`7`项`a₇`。解析：设首项为`a₁`，公差为`d`。由题意：`S₄=4a₁+4×3d/2=4a₁+6d=26`-->`2a₁+3d=13`...(1)`S₇=7a₁+7×6d/2=7a₁+21d=63`-->`a₁+3d=9`...(2)由方程(2)得`a₁=9-3d`，代入方程(1)：`2(9-3d)+3d=13`-->`18-6d+3d=13`-->`-3d=-5`-->`d=5/3`。则`a₁=9-3*(5/3)=9-5=4`。`a₇=a₁+6d=4+6*(5/3)=4+10=14`。另一种思路：`S₇-S₄=a₅+a₆+a₇=63-26=37`。因为`a₅,a₆,a₇`也成等差数列（公差为d），所以`3a₆=37`？不对，`63-26=37`？哦，`63-26=37`？`7*9=63`，`4*6.5=26`，`63-26=37`。那`a₅+a₆+a₇=(a₁+4d)+(a₁+5d)+(a₁+6d)=3a₁+15d=3(a₁+5d)=3a₆=37`？`37`不是3的倍数，说明我前面算`d=5/3`是对的，`a₆=a₁+5d=4+25/3=37/3`，`3a₆=37`，没错。所以还是用第一种方法求`a₇`更直接。答案：`a₇=14`。练习8：某剧院有若干排座位，第一排有`10`个座位，以后每一排都比前一排多`2`个座位，最后一排有`28`个座位。问：这个剧院共有多少排座位？一共有多少个座位？解析：这是一个等差数列的实际应用问题。首项`a₁=10`（第一排座位数），公差`d=2`（每排比前一排多的座位数），末项`aₙ=28`（最后一排座位数）。首先求排数`n`：由`aₙ=a₁+(n-1)d`得`28=10+(n-1)*2`。`(n-1)*2=18`-->`n-1=9`-->`n=10`（排）。再求总座位数`Sₙ`：`S₁₀=10*(a₁+a₁₀)/2=10*(10+28)/2=10*19=190`（个）。答案：共有`10`排座位，一共有`190`个座位。三、总结与提示通过以上练习，我们可以看出，解决等差数列问题的关键在于：1.准确理解定义：深刻把握“从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数”这一核心。2.灵活运用公式：通项公式和前n项和公式是两大支柱，要根据已知条件选择合适的公式形式，并能熟练进行公式间的转换。3.注重数学思想：如方程