5.3二元一次方程的应用（第3课时 借助线段图表示等量关系）（教学设计）数学北师大版2024八年级上册

5.3.3二元一次方程组的应用（第3课时）教学设计1.教学内容本节课选自北师大版2024八年级上册第五章《二元一次方程组》第三节第3课时，是在学生掌握二元一次方程组解法及初步应用的基础上，进一步学习借助线段图等直观工具解决复杂实际问题的内容。2.内容解析教材通过长方形墙砖拼接、火车过隧道、行程问题等典型例题，引导学生从实际情境中提取等量关系，核心是让学生掌握“用线段图梳理数量关系”的方法，体会建模思想在解决复杂问题中的作用。本节课既是对二元一次方程组应用的拓展，也是后续学习更复杂数学建模问题的基础，其关键在于帮助学生建立“实际问题—图形表征—等量关系—方程组”的转化路径.​​基于以上分析，确定本节课的教学重点为：借助线段图梳理复杂问题中的等量关系；列二元一次方程组解决行程问题和几何拼接问题。.1.教学目标（1）理解二元一次方程组解决实际问题的基本思路，能从行程问题、几何拼接问题中找出等量关系。（2）学会借助线段图、表格等工具梳理数量关系，能准确列出二元一次方程组并求解。（3）培养分析问题、建模问题的能力，体会数形结合思想在数学中的应用。2.目标解析（1）学生能明确实际问题中涉及的未知量与已知量，区分直接与间接等量关系，为列方程组奠定基础。（2）掌握线段图的绘制方法，能通过图形直观呈现路程、长度等数量之间的和差关系，突破复杂问题的分析难点。（3）经历“审题—设元—列方程—求解—检验—作答”的完整过程，形成规范的解题习惯，提升数学应用能力。（一）已有知识与掌握情况学生已学过一元一次方程的应用，初步掌握了画线段图分析问题的方法，具备二元一次方程组的解法基础，能解决简单的二元一次方程组应用问题。但学生对复杂情境中多个等量关系的提取能力较弱，尤其是在行程问题（如火车过隧道）中，对“路程与长度的关联”理解不够深入。（二）预估教学困难难以准确将实际问题转化为线段图，无法通过图形清晰识别等量关系。对火车过隧道等问题中“车头进入到车尾驶出”“全身在隧道内”两种场景的路程计算混淆。解题步骤不规范，容易忽略检验结果的实际意义。（三）解决办法采用“分步画图”教学，从简单图形入手，逐步引导学生标注已知量、未知量及数量关系。借助动态演示（如火车过隧道的示意图动画），区分不同场景下的路程构成，强化理解。规范解题步骤板书，通过典型例题示范“审、设、列、解、验、答”的完整流程，课后布置分层练习巩固。基于以上分析，确定本节课的教学难点为：准确分析火车过隧道等复杂行程问题中的等量关系，掌握线段图的绘制与应用技巧.（一）情境导入（5分钟）回顾旧知：提问“学习一元一次方程时，我们用什么方法分析《追赶小明》中的行程问题？”引导学生回忆线段图的作用。引入新课：展示8块小长方形墙砖拼成大长方形的图片，提问“大长方形的长和宽与小长方形的长和宽有什么关系？”引发学生思考，进而提出“能否用二元一次方程组解决这个问题？线段图还能发挥作用吗？”，自然导入课题。（设计意图：通过旧知迁移，降低学生对新知的陌生感，借助生活化的几何拼接问题激发学生兴趣，明确本节课的核心任务是借助线段图解决二元一次方程组的应用问题。）（教学建议：在展示墙砖图片时，可让学生观察实物或动手拼接简单模型，增强直观感受；鼓励学生自由发言，分享发现的数量关系，为后续探究铺垫。）分析墙砖问题：引导学生明确涉及的量（小长方形的长x、宽y，大长方形的长40cm），提问“大长方形的长和宽分别由小长方形的哪些部分组成？”，指导学生用线段图表示大长方形的长（2个小长方形的长或1个小长方形的长+3个小长方形的宽），进而提炼等量关系：x+y=40，x=3y，列出方程组并求解。拓展提问：“除了这种列法，还能根据其他等量关系列方程组吗？”鼓励学生从不同角度分析，强化线段图的辅助作用。（设计意图：从简单的几何问题入手，让学生初步体验“画线段图—找等量关系—列方程组”的过程，培养数形结合意识；通过拓展提问，发散学生思维，加深对等量关系的理解。）（教学建议：在学生画线段图时，巡视指导，纠正不规范的画法；对于列出不同方程组的学生，给予肯定并让其分享思路，引导学生对比不同方法的合理性。）典例分析例1（火车过隧道问题）：火车以40m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30s，其中火车全身都在隧道里的时间是20s，求隧道和火车的长度.分析：可以通过画图来说明火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长度之间的数量关系.解：设隧道的长度为xm，火车的长度为ym.借线段图可以很直观的表示数量之间的等量关系。x+y=40×30x+y=40×30解这个方程组，得解得解这个方程组，得解得x-y=40×20∴隧道和火车的长度分别是1000m和200m.例2由甲地到乙地的公路全程为200km，其中一段为高速公路，其余路段均为普通公路。已知汽车在普通公路和高速公路上的行驶速度分别是60km/h和100km/h，从甲地到乙地用时3h，汽车在普通公路和高速公路上分别行驶了多少千米?分析：设汽车在普通公路和高速公路上行驶的时间分别为xh和yh，解析：汽车在普通公路和高速公路上行驶的时间分别为xh和yh，根据题意，得x+y=3解方程组，得x=2.52.5×60=150km，200－150=50km。所以，汽车在普通公路和高速公路上分别行驶了150km和50km。100y60x例3小明骑自行车去某景区，出发时，他先以8km/h的速度走平路，而后又以4km/h的速度上坡到达景区，共用了1.5h;返回时，他先以12km/h的速度下坡，而后以9km/h的速度走过平路，回到原出发点，共用了100y60x解：设平路为xkm,坡路为ykm.根据题意，得x8+x+y=6+3=9(km),答：从出发点到景区的路程是9km。思考·交流列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？与同伴进行交流。（1）[审]审题明确题中涉及的量，找到等量关系；（2）[设]用字母表示题目中的两个未知量在（x、y）；（3）[列]根据两个等量关系分别列出两个方程并组成方程组；（4）[解]解方程组，求出未知数的值；（5）[验]根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理；（6）[答]写出符合题意的答案并做答。（设计意图：通过梯度化的例题设计，从几何问题过渡到复杂行程问题，逐步提升学生的分析能力；借助动态演示和表格辅助，突破火车过隧道问题的难点；规范解题流程，让学生掌握“审、设、列、解、验、答”的完整步骤.）（教学建议：在分析火车过隧道问题时，可让学生用铅笔、直尺模拟火车和隧道，直观感受路程变化；例2、例3可采用小组讨论的形式，让学生合作梳理数量关系，教师针对性指导有困难的小组．）1.如图，王英家客厅的电视背景墙是由8块形状大小相同的长方形墙砖砌成，已知电视背景墙的长度为2.4m，则每一块长方形墙砖的面积为（A）A.0.36m²B.0.9m²C.0.4m²D.2.4m²2.已知某一铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用60s，整列火车完全在桥上的时间为40s，则火车长度为200m,速度为20m/s。60y=1000＋x,40y=1000－x。解：设火车长xm,速度为ym60y=1000＋x,40y=1000－x。由题意得3.甲、乙两人从相距36km的两地相向而行。如果甲先走2h，那么他们在乙出发2.5h时相遇；如果乙先走2h，那么他们在甲出发3h时相遇。甲、乙两人的速度各是多少？设甲、乙两人的速度分别是xkm/h和ykm/h，填写下表并求x，y的值。解析：设甲、乙两人的速度分别是xkm/h和ykm/h，根据题意，得（解方程组，得x所以，甲的速度为6km/h，乙的速度为3.6km/h。4.如图，A,B两地由公路和铁路相连.在这条路上有一家食品厂，它到B地的路程是到A地路程的2倍.现在该食品厂从A地收购一批食材运回食品厂，全部加工成食品(制作过程中有损耗)运到B地销售，两次运输(第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地)共支出公路运费15600元，铁路运费20600元.已知公路运费为1.5元/(t.km),铁路运费为1元/(t.km).(1)这家食品厂到A,B两地的路程分别是多少千米?解：设这家食品厂到A地的路程是xkm,到B地的路程是ykm.根据题意，得x+y=20+100+30y=2x,解得答：这家食品厂到A地的路程是50km,到B地的路程是100km.(2)若这家食品厂此次收购的食材每吨花费5000元，要想该批食品销售完后.工厂共获利863800元，则这批食品每吨的售价应为多少元?(利润=总售价-总成本-总运费)解：食品厂到A地的铁路路程为50-20=30(km),到B地的铁路路程为100-30=70(km).设这家食品厂此次收购食材mt,销售食品nt.根据题意，得1.5×(20m+30n)=156001×(30m+70n=20600解方程组，这批食品每吨的售价应为(863800-15600+20600+220×5000)÷200=10000(元)答：这批食品每吨的售价应为10000元.设计意图：通过分层练习，满足不同学生的学习需求，强化本节课的重点知识；及时反馈学生的掌握情况，查漏补缺，提升解题能力。引导学生回顾：“本节课我们学习了什么？借助什么工具分析问题？列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？”师生共同总结：梳理“审题—设元—画线段图/表格—找等量关系—列方程组—求解—检验—作答”的流程，强调线段图在梳理复杂数量关系中的作用。设计意图：帮助学生构建本节课的