5.4二元一次方程组与一次函数（第2课时 ）教学设计数学北师大版2024八年级上册

5.4.2二元一次方程组与一次函数（第2课时）教学设计1.教学内容本节课选自北师大版2024年八年级上册第五章“二元一次方程组”第4节第2课时，核心内容是利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，同时通过实际问题情境，进一步深化二元一次方程组与一次函数的联系，体会数形结合、转化与方程思想的应用。2.内容解析从知识脉络来看，本节课是在学生已经掌握一次函数表达式（y=kx+b，k≠0）、二元一次方程组的解法（消元法、图象法）以及两者联系（方程组的解是函数图象交点坐标，反之亦然）的基础上展开的。其核心逻辑是“待定系数法”——通过设出函数表达式，将已知条件（点的坐标或实际数量关系）转化为二元一次方程组，求解系数后确定函数表达式。本节课既是对一次函数和二元一次方程组知识的综合运用，也是后续学习反比例函数、二次函数表达式确定的重要铺垫，同时为解决实际生活中“相遇问题”“费用计算问题”等提供了代数与几何相结合的解题思路，体现了数学知识的实用性和关联性。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：利用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤（待定系数法的应用）；二元一次方程组与一次函数的内在联系。1.教学目标（1）掌握利用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤，能根据已知条件（两点坐标或实际情境中的数量关系）求出一次函数的表达式。（2）进一步理解二元一次方程组与一次函数的内在联系，在对比图象法与代数法的过程中，深化数形结合的意识和转化、方程思想的运用。（3）能运用所学知识解决实际问题，提升分析问题、转化问题和解决问题的能力，感受数学与生活的密切联系。2.目标解析（1）学生需能独立完成“设表达式→代条件列方程组→解方程组→写表达式”的完整流程，针对不同情境（已知两点坐标、实际生活问题）准确列出方程组并求解。（2）学生能清晰阐述“通过函数图象交点解决方程组问题”与“通过方程组确定函数表达式”的双向转化关系，体会图象法的直观性与代数法的准确性。（3）学生能将实际问题中的数量关系转化为函数与方程模型，例如相遇问题中通过确定两人的距离-时间函数表达式，求解相遇时间。（一）已有知识及掌握情况学生已经学习了一次函数的概念、图象和性质，知道一次函数表达式为y=kx+b（k≠0），且理解函数图象上的点的坐标满足函数表达式；在本章前几节中，学生掌握了二元一次方程组的两种解法（消元法、图象法），并了解了方程组的解与函数图象交点的关系。大部分学生具备基本的代数运算能力和简单的数形结合思维，但对知识的综合运用能力和实际问题转化能力有待提升。（二）预估教学中遇到的困难及解决办法1、难以将实际问题中的数量关系转化为函数表达式和二元一次方程组。例如在相遇问题中，无法准确理解“到A地的距离s是骑车时间t的一次函数”，进而无法设出表达式并提取列方程组的条件。解决办法：通过线段图、图象等直观手段辅助分析，引导学生梳理题目中的关键信息（如“1小时后乙距A地80千米”“2小时后甲距A地30千米”），明确变量之间的对应关系；先分解问题，让学生先确定单一函数的表达式，再过渡到综合问题。2、对“待定系数法”的本质理解不透彻，仅机械记忆步骤，遇到变式问题（如免费携带行李问题中求“免费携带质量”）时难以灵活运用。解决办法：在导入新课和典例分析中，反复强调“待定系数法”的核心是“通过已知条件确定未知系数”，结合具体例题说明每一步骤的意义（如“设表达式是为了明确未知量k和b”“代条件是为了建立关于k和b的方程”）；通过基础巩固练中的变式题，让学生在练习中深化理解，提升灵活性。3、对比图象法与代数法时，无法清晰区分两者的优缺点，在实际解题中不知道如何选择合适的方法。解决办法：通过同一问题（如相遇问题）的三种解法对比，引导学生自主总结图象法“直观但不准确”、代数法“准确但不直观”的特点；在练习中设置不同类型的题目，让学生根据题目要求（如“求准确值”“大致判断”）选择合适的方法，强化方法选择的意识。基于以上分析，确定本节课的教学难点为：将实际问题转化为函数模型和二元一次方程组；灵活运用待定系数法解决变式问题，深化对数学思想的理解。复习回顾1、一次函数的表达式是什么？函数图象上的点的坐标与函数表达式有什么关系？y=kx+b(k≠0）点在函数图象上，其坐标满足函数表达式2、求解二元一次方程组有哪些方法？消元法(代数法)、图象法3、二元一次方程组与一次函数有何联系?二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图象的交点坐标；反之，两个一次函数图象的交点坐标也是它们所对应的二元一次方程组的解．(设计意图：通过复习旧知，唤醒学生对相关知识的记忆，为新课中“设表达式”“代点列方程组”“利用图象法辅助分析”等环节做好铺垫，搭建新旧知识的桥梁.)（教学建议：提问时关注不同层次的学生，对于回答不完整的学生，引导其结合课本或笔记补充；重点强调“点的坐标满足函数表达式”这一关键前提，因为这是后续列方程组的核心依据．）新课导入已知一次函数的图象经过点(2,3)和(0,5)，如何求出这个一次函数的表达式？设：设所求一次函数的表达式为y=kx+b（k=0）；代：将点(2,3)和(0,5)分别代入表达式，得到方程组2k+b=30×k+b=5解：解得k=−1；b=5写：一次函数表达式为y=−x+5(设计意图：通过简单的两点求函数表达式问题，让学生初步感知待定系数法的基本流程，体会“通过列方程组求解未知系数”的思路，降低后续复杂问题的难度.)（教学建议在“代条件列方程组”环节，强调“每个点的坐标都能代入表达式得到一个方程”，两个点对应两个方程，从而组成方程组；解方程组时，可让学生口述解题过程，教师板书，强化消元法的应用．）探究点1用二元一次方程组确定一次函数表达式1.A,B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.1小时后乙距A地80千米;2小时后甲距A地30千米.经过多长时间两人将相遇?1小时后2小时后甲距A1小时后2小时后甲距A地30千米乙距A地80千米甲A乙B方法一：分别画出两人s与t之间关系的图象,找出交点的横坐标就行了!方法二：对于乙,s是t的一次函数,可以设s=kt+b.当t=0时,s=100;当t=1时,s=80.将它们分别代入s=kt+b中,可以求出k,b的值,也即可以求出乙的s与t之间的函数表达式.s因为甲为正比例函数，设甲的关系式为s=kt,当t=2时s=30，解得s=3007t=207解得联立联立两个表达式方法三：1h后乙距离A地80km,即乙的速度是20km/h;2h后甲距离A地30km,也即甲的速度是15km/h,由此可以求出甲、乙两人的速度和……设同时出发后t小时相遇，则15t+20t=100，∴t=20交流与思考：1.以上用三种方法解决问题，它们有什么不同？方法一：用图象法解决问题方法二：用二元一次方程组解决问题方法三：用一元一次方程解决问题其中图象法有什么优缺点？画图象的方法可以直观地获得问题的结果,但有时却难以获得问题的准确结果.为了获得准确的结果,我们一般用代数方法.（设计意图：通过实际相遇问题，让学生体会待定系数法在实际情境中的应用，感受“确定函数表达式→解决实际问题”的完整流程；分组探究不同方法，培养学生的合作意识和发散思维；对比三种方法的优缺点，帮助学生建立“根据问题需求选择合适方法”的意识，深化数形结合思想。.）（教学建议：在确定乙的函数表达式时，引导学生思考“出发时乙在B地，距A地100千米”，即t=0时s=100，从而获得第二个条件；对于基础较弱的小组，可先引导其确定甲的表达式（正比例函数，条件更简单），再过渡到乙的表达式；分享环节中，鼓励不同小组展示解题过程，教师针对性点评，纠正易错点（如乙的函数表达式中斜率的意义是“速度的相反数”.）典例分析例1某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数．已知李明带了60kg的行李，交了行李费5元；张华带了90kg的行李，交了行李费10元．（1）写出y与x之间的函数表达式；（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？k=16b=-55=60k+b10=90k+b解：（1）设此一次函数表达式为：y=kx+bk=5=60k+b解得∴y与（2）当x=30时，y=0.∴旅客最多可免费携带30千克的行李．总结归纳：像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：1.用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b.2.将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组.3.解这个二元一次方程组得k，b.4.进而求出一次函数的表达式.例2求经过点(-1,1)和(2,7)的一次函数表达式。-k+b=12k+b=7解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b-k+b=1k=2b=3把点（-1，1）与（2，7k=2解方程组得∴这个一次函数的解析式为:y=2x+3（设计意图：通过典例1的训练（不仅求表达式，还求特殊值），提升学生的灵活运用能力；典例2回归基础，强化待定系数法的基本流程；基础巩固练针对本节课重点和易错点设计，帮助学生及时巩固知识，查漏补缺.）（教学建议：典例1中，强调“免费携带”的实际意义是y=0，引导学生将实际问题转化为数学问题（求函数值为0时的自变量值）；基础巩固练中，对于图象类题目，引导学生从图象中提取关键点坐标（如与y轴交点确定b的值），再用待定系数法求k；订正时，重点讲解易错点（如k的符号、方程组求解错误等）．）1.已知一个正比例函数的图象经过点(－3，-12)，则这个正比例函数的表达式是y=4x.2.已知一次函数图象经过1,1,2,-1,则函数表达式为(y=-2x+3)3.已知函数y=2x+b的图像经过点(a，7)和(－2，a)，则这个函数的表达式为__y=2x+5_-234.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象-(1)b=___2___,k=______;(2)当x=30时，y=__-18____;(3)当y=30时，x=___-42___.5.某公司销售人员的个人月收入y（元）与其每月的销售量x（千件）之间的关系如图所示，则销售人员的销售量为3千件时的月收入是__1400____元.6.已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的表达式.解：设一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0)-2k∵一次函数y=kx+b的图象过点（0，2-∵一次函数的图象与x轴的交点是(，0)，则解得k=1或-1.故此一次函数的表达式为y=x+2或y=-x+2.7.甲、乙两工程队同时修筑水渠，且两队所修水渠总长度相等．右图是两队所修水渠长度y(m)与修筑时间x(h)的函数图象的一部分．请根据图中信息，解答下列问题：（1）直接写出甲队在0≤x≤5的时间段内，y与x之间的函数关系式y=10x；（2）直接写出乙队在2≤x≤5的时间段内，y与x之间的函数关系式y=20x-30；设计意图：基础作业针对本节课重点，强化知识巩固；拓展作业延续实际问题情境，进一步提升学生的转化能力和应用能力，实现“学以致用”.教学建议:明确要求“写出完整的解题步骤，包括设表达式、列方程组、求解过程”，培养学生规范解题的习惯；拓展作业可作为选做题，满足不同层次学生的需求.教学活动1、引导学生自主总结本节课的核心知识：利用二元一次方程组确定一次函数表达式的步骤（设、代、解、写）。二元一次方程组与一次函数的联系用到的数学思想（转化思想、方程思想、数形结合思想）。2、教师补充完善，强调待定系数法的核心是“通过方程确定未知系数”，鼓励学生在后续学习中灵活运用数学思想解决问题。设计意图：通过自主小结，让学生梳理本节课的知识脉络，深化对