19.3 课题学习 选择方案 教学设计-人教版八年级数学下册

19.3课题学习选择方案教学设计-人教版八年级数学下册备课组主备人授课教师授教学科授课班级课题名称教学内容一、教学内容本节课是人教版八年级数学下册第十九章“一次函数”的课题学习“选择方案”，教材通过“选择哪种上网收费方式更划算”“选择哪种购票方案更经济”等实际问题，引导学生经历“问题情境—建立函数模型—分析比较—得出最优方案”的过程，综合运用一次函数、不等式等知识解决生活中的方案选择问题，培养应用意识和数学建模能力。核心素养目标二、核心素养目标通过“选择方案”的课题学习，引导学生经历从实际问题中抽象函数模型的过程，发展数学建模能力；通过对不同方案中函数值的计算与比较，提升数学运算和逻辑推理素养；在分析最优方案的过程中，培养应用意识，体会数学与生活的密切联系，增强用数学解决实际问题的信心。教学难点与重点1.教学重点

（1）建立一次函数模型解决实际问题，如根据上网收费方案列出函数表达式y1=30（包月），y2=0.1x（计时）。

（2）通过函数图像或代数比较方案优劣，例如计算交点x=300时两种方案费用相同，x<300时方案二更优。

（3）综合运用不等式确定最优方案适用范围，如当x>500时选择方案一更经济。

2.教学难点

（1）将生活问题转化为数学模型，如学生难以从“选择购票方式”中抽象出分段函数y={100（x≤20），80（20<x≤50），60（x>50）}。

（2）多变量方案比较，例如涉及固定费用、可变费用、时间限制的方案组合时，学生易忽略变量关联性。

（3）分段函数的理解与应用，如对“x=20时方案A费用为100元，方案B费用为160元”的临界点分析不清晰。教学资源软硬件资源：多媒体投影仪、计算机、实物展台、学生学案（含实际问题情境表格）、白板（绘制函数图像）、坐标纸（学生自主画图）。

课程平台：希沃白板、学校局域网教学系统（上传课件与学案）。

信息化资源：PPT课件（含上网收费、购票方案等情境案例）、GeoGebra动态函数图像软件（展示方案交点变化）、微课视频（“一次函数方案选择步骤”）。

教学手段：情境导入法（生活实际问题呈现）、小组合作探究（分组讨论方案优劣）、案例分析法（课本例题解析）、讲练结合（即时反馈练习）。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过班级微信群上传课本P130-P132“选择方案”预习资料（含上网收费、购票方案案例），明确预习目标“理解方案选择的基本步骤”。

设计预习问题：①两种上网收费方案（包月30元、计时0.1元/分钟）中，费用y与上网时间x的关系是什么？②如何通过计算或图像比较两种方案的优劣？

监控预习进度：利用微信群查看学生提交的预习笔记（如函数表达式y1=30，y2=0.1x），标记共性问题（如忽略单位统一）。

学生活动：

自主阅读预习资料：标注课本中的“问题情境—建立模型—分析比较—得出结论”流程。

思考预习问题：独立计算x=100时y1=30，y2=10，得出x<300时方案二更优；记录疑问“如何确定交点x=300的意义”。

提交预习成果：将笔记和疑问拍照上传至微信群。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生独立梳理知识点。

信息技术手段：微信群实现资源共享与进度监控。

作用与目的：

提前感知方案选择的建模过程，为课堂突破“建立函数模型”重点做准备；培养独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：呈现“班级春游购票问题”（课本P131例题）：20人及以下100元/人，20-50人80元/人，50人以上60元/人，提问“如何选择最省钱的购票方案？”

讲解知识点：重点分析“建立分段函数模型”，板书y1=100x（x≤20），y2=80x（20<x≤50），y3=60x（x>50）；强调“比较方案需计算交点”，如x=20时y1=2000，y2=1600，x=50时y2=4000，y3=3000。

组织课堂活动：分组计算x=15、25、55时的费用，讨论“不同人数下最优方案”，引导发现“x≤20选方案一，20<x≤50选方案二，x>50选方案三”。

解答疑问：针对“临界点x=20、50是否包含”问题，结合课本定义强调“x≤20包含20，20<x不包含20”。

学生活动：

听讲并思考：记录分段函数表达式，理解交点意义。

参与课堂活动：小组计算x=25时y2=2000，x=55时y3=3300，比较得出“25人选方案二，55人选方案三”。

提问与讨论：提出“若方案一有20人优惠（20人以上100元/人，超出部分80元/人），如何建模？”教师引导修正函数表达式。

教学方法/手段/资源：

讲授法：突破“建立分段函数模型”重点。

实践活动法：通过分组计算突破“多变量方案比较”难点。

合作学习法：培养团队沟通能力。

作用与目的：

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：课本P133练习题“选择手机话费套餐”（A套餐月租20元，通话0.2元/分钟；B套餐无月租，通话0.3元/分钟），要求列出函数表达式并确定最优方案。

提供拓展资源：生活中的“电费阶梯计价”“打车起步价+里程费”案例，鼓励学生自主建模。

反馈作业情况：批改时标注“交点计算错误”“忽略通话时长范围”等问题，针对性讲解。

学生活动：

完成作业：计算A套餐y1=20+0.2x，B套餐y2=0.3x，交点x=200，得出x<200选B，x≥200选A。

拓展学习：分析家庭电费“每月0-260度0.5元/度，260-400度0.6元/度，400度以上0.8元/度”，建立分段函数。

反思总结：记录“建模时需明确变量范围”“比较方案需计算所有交点”等关键点。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：巩固“函数建模与方案比较”技能。

反思总结法：突破“多变量忽略”难点。

作用与目的：学生学习效果###一、知识掌握层面

1.**函数建模能力提升**

学生能准确将实际问题抽象为一次函数模型。例如，针对课本P131“春游购票问题”，学生独立列出分段函数表达式：

-方案一：\(y_1=100x\)（\(x\leq20\)）

-方案二：\(y_2=80x\)（\(20<x\leq50\)）

-方案三：\(y_3=60x\)（\(x>50\)）

并通过计算交点（如\(x=20\)时\(y_1=2000\),\(y_2=1600\)），明确临界点对方案选择的影响。

2.**方案比较方法内化**

学生熟练掌握代数计算与图像分析两种方案比较策略。以课本P133“手机话费套餐”为例，学生能通过计算交点\(x=200\)（\(20+0.2x=0.3x\)），得出结论：

-通话时长\(x<200\)分钟时选B套餐；

-\(x\geq200\)分钟时选A套餐。

部分学生还能利用GeoGebra动态验证交点变化，增强直观理解。

3.**分段函数应用突破**

学生克服了“临界点分析”的难点。例如在拓展任务“电费阶梯计价”中，学生正确建立分段函数：

-\(y=0.5x\)（\(0\leqx\leq260\)）

-\(y=130+0.6(x-260)\)（\(260<x\leq400\)）

-\(y=242+0.8(x-400)\)（\(x>400\)）

并通过计算分段交点确定不同用电量下的最优计价区间。

###二、能力发展层面

1.**数学建模素养强化**

学生经历“实际问题→函数模型→方案优化”的完整过程。例如在“上网收费方案”任务中，学生自主完成：

-建模：\(y_1=30\)（包月），\(y_2=0.1x\)（计时）；

-比较交点：\(30=0.1x\Rightarrowx=300\)；

-结论：\(x<300\)分钟选计时方案，\(x\geq300\)分钟选包月方案。

90%学生能独立完成类似建模任务，体现应用意识。

2.**逻辑推理能力提升**

学生在多变量方案比较中展现严谨思维。例如针对“打车起步价+里程费”问题：

-方案A：起步价10元（3公里内），超出部分2元/公里；

-方案B：无起步价，3元/公里。

学生通过分段计算：

-当\(x\leq3\)时，\(y_A=10\),\(y_B=3x\)；

-当\(x>3\)时，\(y_A=10+2(x-3)\),\(y_B=3x\)。

综合分析得出：\(x<10\)公里选B方案，\(x\geq10\)公里选A方案。

3.**合作探究能力增强**

小组活动中，学生分工明确、高效协作。例如在“班级春游购票”分组任务中：

-一组负责计算不同人数下的费用；

-二组绘制函数图像；

-三组总结最优方案规律。

最终形成完整报告，展示方案选择的系统化方法。

###三、情感态度层面

1.**数学应用意识增强**

学生主动联系生活实际，提出类似问题：

-“如何选择最省话费的流量套餐？”

-“家庭用电量多少时，阶梯电费更划算？”

体现数学与生活的紧密联系，学习主动性显著提升。

2.**问题解决信心提升**

面对复杂方案（如“固定费用+可变费用+时间限制”组合），学生不再畏难。例如在拓展任务“健身房会员卡选择”中：

-年卡2000元，月卡200元，次卡50元/次；

学生通过建立函数\(y_1=2000\),\(y_2=200x\),\(y_3=50x\)，结合使用频率分析最优选择，突破多变量难点。

3.**反思总结能力养成**

课后反思中，学生能精准定位自身不足：

-“需注意分段函数的临界点是否包含边界值”；

-“比较方案时需计算所有交点，避免遗漏”；

-“建模前要明确变量范围和单位统一”。

体现元认知能力的初步发展。

###四、典型问题与改进方向

1.**待提升环节**

-约15%学生在分段函数临界点分析中仍混淆“≤”与“<”的包含关系；

-复杂多变量方案（如涉及时间、费用、人数的约束）时，部分学生忽略变量关联性。

2.**后续教学建议**

-强化临界点辨析练习，如设计“临界点包含性判断”专项训练；

-增加多变量约束案例，引导学生建立系统化分析框架。

综上，学生通过本节课学习，不仅扎实掌握了一次函数建模与方案比较的核心知识，更在数学建模、逻辑推理、合作探究等核心素养方面取得实质性进步，为后续复杂问题解决奠定坚实基础。板书设计七、板书设计

①**函数建模过程**

-问题情境：春游购票（课本P131）

方案一：\(y_1=100x\)（\(x\leq20\)）

方案二：\(y_2=80x\)（\(20<x\leq50\)）

方案三：\(y_3=60x\)（\(x>50\)）

-关键步骤：明确变量→建立函数→分段定义

②**方案比较方法**

-代数法：计算交点

\(y_1=y_2\Rightarrow100x=80x\Rightarrowx=20\)

\(y_2=y_3\Rightarrow80x=60x\Rightarrowx=50\)

-图像法：绘制分段函数图像（课本P132）

交点坐标：（20,2000）、（50,4000）

③**最优方案结论**

-人数范围：

\(x\leq20\)：选方案一（\(y_1\)最小）

\(20<x\leq50\)：选方案二（\(y_2\)最小）

\(x>50\)：选方案三（\(y_3\)最小）

-核心规律：临界点决定方案切换教学评价与反馈1.课堂表现：学生能积极参与课堂互动，准确回答函数建模相关问题，如上网收费方案中列出y1=30（包月）、y2=0.1x（计时）的函数表达式，初步掌握建立一次函数模型的方法。

2.小组讨论成果展示：各小组能围绕课本P131“春游购票问题”展开讨论，正确列出分段函数y1=100x（x≤20）、y2=80x（20<x≤50）、y3=60x（x>50），通过计算交点分析临界点，得出不同人数范围的最优方案，展示逻辑清晰。

3.随堂测试：完成课本P133练习题“手机话费套餐”方案比较，90%学生能正确计算交点x=200，得出x<200选B套餐、x≥200选A套餐的结论，体现方案比较方法的掌握。

4.课后作业：拓展任务“电费阶梯计价”中，85%学生能建立分段函数，但15%学生在260度临界点分析时出现“≤”与“<”混淆。

5.教师评价与反馈：学生整体能实现从实际问题到函数模型的转化，建模能力显著提升，但需加强分段函数临界点的辨析训练，后续增加多变量约束案例，提升综合分析能力。课后作业1.家庭宽带套餐选择：A套餐月租40元，包含30G流量，超出部分1.5元/G；B套餐月租70元，包含50G流量，超出部分1元/G。若每月流量需求为xG，求两种方案的费用函数，并确定x为何值时A方案更省钱。

答案：A方案费用y₁=40+1.5(x-30)（x>30），B方案y₂=70+1(x-50)（x>50）；当30<x<40时，y₁<y₂；x≥40时，比较交点：40+1.5(x-30)=70+(x-50)，解得x=80，故x<80时A更优，x≥80时B更优。

2.出租车计价问题：甲车起步价10元（3公里内），超出部分2元/公里；乙车无起步价，3元/公里。行程x公里，求费用函数，并比较x为何值时乙车更划算。

答案：甲车y₁=10+2(x-3)（x>3），乙车y₂=3x；比较交点：10+2(x-3)=3x，解得x=4，故x<4公里时乙车更优，x≥4公里时甲车更优。

3.商场会员折扣：普通商品无折扣，会员消费满300元打9折，满600元打8折。若消费金额为x元，求会员费用函数，并确定x为何值时会员比普通消费节省40元以上。

答案：会员费用y₁=0.9x（300≤x<600），y₂=0.8x（x≥600）；普通消费y₃=x；节省40元以上即x-y₁>40或x-y₂>40。解x-0.9x>40得x>400，x-0.8x>40得x>200，结合定义域，当x>400时会员更优且节省40元以上。

4.健身房会员卡选择：年卡1000元，月卡120元，次卡25元/次。若计划一年去y次，比较哪种会员卡最经济。

答案：年卡费用y₁=1000，月卡y₂=120×12=1440，次卡y₃=25y；比较y₁与y₃：1000<25y得y>40