2025-2026学年甘肃省兰州八十一中九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page22页，共=sectionpages22页2025-2026学年甘肃省兰州八十一中九年级（下）月考数学试卷（3月份）一、选择题：本题共11小题，每小题3分，共33分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.四个有理数-1，0，-3，4，其中最小的有理数是（）A.-1 B.0 C.-3 D.42.计算所得结果是（）A. B. C.2 D.3.如图，把一副三角板叠合在一起，则∠AOB的度数是（）A.15°

B.20°

C.30°

D.70°

4.如图，矩形ABCD，A1B1C1D1是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知AB=2A1B1，若点C1的坐标为（2，1），则点C的坐标为（）A.（6，3）

B.（4，2）

C.（-4，2）

D.（3，1.5）

5.如图，一个正方形的四周恰好被四个正n边形（阴影部分为正n边形的一部分）无缝铺满，则n=（）A.4

B.6

C.8

D.106.关于x的一元二次方程x2+kx+k-1=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.有实数根 D.没有实数根7.已知点A（-2，y1）和B（2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1，y2的大小关系是（）A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1=y2 D.y1=2y28.“千门万户瞳瞳日，总把新桃换旧符”.春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿.某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件.礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片（分别写有“福”字、春联、灯笼）的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品，现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是（）A. B. C. D.9.《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程为（）A. B. C. D.10.如图，在矩形ABCD中进行如下操作：①以点A为圆心，AD长为半径作弧交BC于点E，连接AE；②再以E为圆心，EC长为半径作弧交AE于点F，连接DF.下列结论不一定成立的是（）A.AE=BC

B.DF⊥AE

C.AF=AB

D.DF=DC11.如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别为AB，BC上的点，DE，AF交于点G，AE=BF=x.若四边形CDGF与△AEG的面积分别为S1，S2，则S1-S2与x的函数关系为（）

A.正比例函数关系

B.一次函数关系

C.反比例函数关系

D.二次函数关系二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。12.因式分解18x2y-12xy+2y=

.13.已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为2，方差为3，则数据x1-3，x2-3，x3-3，x4-3，x5-3的方差为

.14.如图，在菱形ABCD中，∠B=50°，点E在CD上，若AE=AC，则∠BAE=

°．15.已知顶角为36°的等腰三角形是黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形ABCDE的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则DE的长为

.

三、计算题：本大题共1小题，共6分。16.解方程：.四、解答题：本题共10小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

化简：（x-1）（x+1）-x（x+2）.18.(本小题6分)

解不等式组：.19.(本小题6分)

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（1，2），B（n,-1）两点，与x轴交于点C.

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）求△AOB的面积；

（3）直接写出不等式kx+b＞的解集.20.(本小题6分)

如图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图.台灯底部立柱CD（与桌面MN垂直）的高为4cm,支架BC长为20cm,支架AB长为25cm.若支架AB，BC的夹角为106°，支架BC与底部立柱CD的夹角为150°，求台灯的旋钮A到桌面MN的距离h（精确到1cm）.（参考数据：sin46°=cos44°≈0.72，）21.(本小题6分)

吉林省教育厅为了推进冰雪运动在学校的普及，计划在2025年底前实现全省中小学校冰雪体育课全面普及，并将冰雪运动纳入中考体育测试选项.为了响应省厅精神，某九年级研究小组展开主题为“推测滑行距离与滑行时间关系”的研究.请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题：

【研究对象】推测滑行距离与滑行时间有什么关系？

【数据收集】一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系式，测得一些数据（如下表）.滑行时间t/s01234滑行距离s/m04.51428.548【数据分析】如图，小组成员以表中各对应的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点并描画出大致图象.

【数学建模】请你结合所学知识解答下列问题：

（1）观察上述各点分布规律，可得s关于t的函数类型是______；（填“一次函数”或“二次函数”）

（2）求出s关于t的函数解析式；

（3）当滑行距离为270m时，求出滑行时间.22.(本小题6分)

阅读与证明

三大作图问题之三等分角三等分任意角是古希腊学者们于公元前5世纪提出并研究的三大作图问题之一.两千多年以来，数学家们为此耗费了许多心血.直到1837年，法国数学家闻脱兹尔证明了，只使用直尺和圆规无法三等分一个任意角，至此人类才走出了这座数学迷宫，在探究过程中发现，有些特殊度数的角如角，角，角等可用尺规三等分，任意角采用特殊的工具也可三等分.

如图（1），∠ABC，下面是两种三等分角的方法；

（1）阿基米德创设的方法是：在图（2）中，预先在直尺上作了一个记号点P，点O为直尺的端点，以B为圆心，OP为半径作半圆，与边BA和BC分别交于点N和M；移动直尺，使直尺上的点O在边BC的反向延长线上移动，点P在圆周上，当直尺正好经过点N时，过点B画ON的平行线BE.求证：；

（2）用“有刻度的勾尺”的方法是：在图（3）中，勾尺的直角顶点为点P，MN⊥PR于点Q，PQ=QR.画直线DE∥BC，并且DE与BC之间的距离等于PQ，移动勾尺到合适位置，使顶点P落在DE上，使勾尺的边MN经过点B，同时让点R落在边BA上.求证：.23.(本小题6分)

3月份是安全教育月，某校七、八年级各有学生400人，为了解这两个年级普及安全教育的情况，进行了抽样调查，过程如下：

选择样本，收集数据从七、八年级各随机抽取20名学生，进行安全教育考试，测试成绩（百分制）如下：

七年级8579898389986889795999878589978689908977

八年级7194879255949878869462999451889794988591

分组整理，描述数据：

（说明：成绩90分及以上为优秀，80-89为良好，80分以下为不合格）

分析数据：年级平均数中位数众数优秀率七年级85.3888920%八年级85.4ab55%得出结论，说明理由.

（1）a=______，b=______；

（2）请补全八年级20名学生安全教育频数分布直方图；

（3）哪个年级的整体成绩较好？（至少从两个不同的角度说明合理性）.24.(本小题6分)

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，过C点作⊙O的切线CD，且BD=BC，直线CD与直径AB的反向延长线交于P点.

（1）探究∠CBD与∠ABC之间的数量关系，并说明理由；

（2）若AB=6，sinP=，求CD的长.25.(本小题6分)

综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现.在矩形纸片ABCD中，AD=2，.

【数学思考】如图1，圆圆将矩形ABCD绕着点D逆时针旋转得到矩形EFGD，使得点E落在BC边上，点A作AH⊥DE.求证：△ADH≌△DEC；

【解决问题】如图2，连结AG，求线段AG的长.

【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形EFGD绕着点D逆时针转动一周，若直线ED恰好经过线段AG中点O时，连结AE，AG，求△AEG的面积.

26.(本小题15分)

在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”.

（1）已知点A（1，2），求点A的“关联三角形”的面积；

（2）如图，已知点B（m,m），⊙T的圆心为T（2，2），半径为2.若点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，直接写出m的取值范围；

（3）已知⊙O的半径为r,OP=2r,若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取值范围.

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】A

10.【答案】C

11.【答案】B

12.【答案】2y（3x-1）2

13.【答案】3

14.【答案】115

15.【答案】5-

16.【答案】x=3．

17.【答案】-2x-1．

18.【答案】解：，

解①，得x＜；

解②，得x≤1．

∴原不等式组的解集为x≤1．

19.【答案】解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（1，2），B（n,-1）两点，

∴m=1×2=n×（-1），

∴n=-2，m=2，

∴反比例函数解析式为：y=，

∵A（1，2），B（-2，-1）在一次函数y=kx+b的图象上，

∴，解得，

∴一次函数解析式为：y=x+1．

（2）在一次函数y=x+1中，令y=0，则x=-1，

∴OC=1，

∴S△AOB=S△AOC+S△BOC==；

（3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式kx+b＞的解集为：-2＜x＜0或x＞1．

20.【答案】39cm．

21.【答案】二次函数

s=2.5t2+2t

10s

22.【答案】∵OP=PB=BN，

∴∠BPN=∠BNP，∠POB=∠PBO，

∵∠ABC是△OBN的外角，∠BPN是△POB的外角，

∴∠ABC=∠BOP+∠BNP=3∠POB，∠BPN=∠POB+∠PBO=2∠POB，

∴，

∵BE∥ON，

∴∠POB=∠EBC，

∴；

如图，连接BP，过点P作PF⊥BC于点F，

∵MN⊥PR于点Q，PQ=OR，

∴MQ是PR的垂直平分线，

∴BR=BP，

∴∠ABQ=∠PBQ，

∵DE∥BC，并且DE与BC间的距离等于PQ，

∴PQ=PE，

∵PQ⊥MQ，PF⊥BC，

∴BP平分∠QBC，

∴∠QBP=∠PBF，

∴∠ABQ=∠QBP=∠PBF，

∴

23.【答案】91.5;94

补全八年级20名学生安全教育频数分布直方图如图所示，

整体成绩较好的年级为八年级，理由为八年级的平均数，中位数和优秀率都高于七年级

24.【答案】解：（1）∠CBD=2∠ABC，理由如下：

作BH⊥DC于H，连接OC，

∵PD切⊙O于C，

∴OC⊥PD，

∴OC∥BH，

∴∠OCB=∠CBH，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∴∠CBH=∠OBC，

∵BC=BD，BH⊥CD于H，

∴∠CBD=2∠CBH，CD=2CH，

∴∠CBD=2∠ABC；

（2）∵∠OCP=90°，

∴sinP==，

∵AB=6，

∴OC=AB=×6=3，

∴OP=9，

∴PC==6，

∵OC∥BH，

∴PC：CH=PO：OB，

∴6：CH=9：3，

∴CH=2，

∴CD=2CH=4．

25.【答案】【数学思考】证明：∵将矩形ABCD绕着点D逆时针旋转得到矩形EFGD，

∴AD=DE，∠C=∠ADC=90°，

∴∠CDE+∠ADH=90°，

∵AH⊥DE，

∴∠AHD=90°，

∴∠HDA+∠DAHl=90°，

∴∠DAHl=∠CDE，

∴△ADH≌△DEC（AAS）；

【解决问题】解：∵△ADH≌△DEC，

∴AH=CD=，

∵矩形ABCD绕着点D逆时针旋转得到矩形EFGD，

∴CD=DG=，∠GDE=90°，

∴DH==1，

∴DH=AD，

∴∠DAH=30°，

∴∠ADH=60°，

过点G作GM⊥AD，交AD的延长线于点M，

∴∠GDM=30°，

∴GM=DG=，

∴DM==，

∴AM=DM+AD=，

∴AG==；

【拓展研究】解：当线段DE与AG交于点O时，作AV⊥DE于V，

∵O是AG的中点，

∴OG=OA，

∵∠GDO=∠AVO=90°，∠DOG=∠AOV，

∴△DOG≌△VOA（AAS），

∴DG=AV=，OD=OV，

∴DV==1，

∴OV==，VE=DE-DV=2-1=1，

∴OE=OV+EV=，

∴=2×=，

当ED的延长线交AG于点O时，由上知OV=OD=，

∴OE=DE+OD=2+1=3，

∴S△AEG=2S△AEO=2×=2×=3，

综上所述，△AEG的面积是或3．

26.【答案】解：（1）∵点A（1，2）关于x轴对称的对称点（1，-2），点A关于yz轴对称的点A2（-1，2），

∴=×2×4=4；

（2）∵⊙T的圆心为T（2，2），半径为2，

∴四边形OADC是⊙T的外接四边形（如图1中），

∴D（4，4），