2025-2026学年下学期广东高三数学3月一模（含答案）

2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(一)数学满分150分。考试用时120分钟。注意事项:1.答卷前，考生务必将自己所在的市(县、区)、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上、将条形码横贴在每张答题卡的“条形码粘贴处”。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2 B3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先画掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1.已知集合A={2,a,B=−A.-2B.0C.2D.42.在1−x4+1−A.-4B.4C.-16D.163.已知i为虚数单位,复数z=cos75∘A.1B.2C.2D.64.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=A.3B.3C.235.已知数据x1,x2,x3的平均数为1,方差为A.4B.5C.6D.76.已知右图是一个边长为3的九宫格(由9个边长为1的小正方形构成)，九宫格中有16个节点(如图加黑的16个点)，从这16个点中任选互不相同的三个点A,B,C,则A.12B.13C.15D.187.如图,正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4,P为正方形BCC1B1A.16B.18C.6438.已知曲线C:x2−y⋅A.112B.2C.22二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列四个函数中，以2π为最小正周期，且在区间π2,A.y=−sinxC.yD.y10.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,根据贝叶斯定理,随机事件A,B存在如下关系:PA∣B=PAPB∣APB.张同学每天的运动计划包括两种主要方式:室内健身和户外运动.张同学第一天选择室内健身的概率为2A.第二天去室内健身的概率为5B.第二天去户外运动的概率为2C.若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为2D.若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为311.在半径为定值的球O的表面上有四个不共面的点A,B,C,D,且AB为球O的直径,已知∠AOC和∠COD的大小,若再添加一个条件,则在确保四面体A.AD的长B.∠BCDC.CD与平面ABC所成角的大小D.二面角C−AB三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.12.已知等差数列an的前n项和为Sn,若a5=313.如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点O和点C，月牙尖的坐标分别为A−1,2，B2,−14.如图,O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:x24+y2=1的两个焦点,过F1,F2分别作椭圆C四、解答题:本题共5小题,共77分.第15题13分,第16、17题15分,第18、19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内,超出指定区域的答案无效.15.(本小题满分13分)如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠(1)求证:C,D(2)设AB=2,BC=BE=1，求平面16.(本小题满分15分)设函数fx=ex−a，已知x(1)求a的值；(2)设函数gx=x−f17.(本小题满分15分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c(1)若A,B,C成等差数列，求(2)若a,b,c成等比数列，求18.(本小题满分17分)设双曲线C:x2a2−y2b2=1a,b>0的离心率为2,其左、右焦点分别是F1,F2,过F2的直线(1)求双曲线C的标准方程；(2)求MF2(3)记△F1MN的内切圆⊙P与双曲线C的一个公共点为Q，双曲线C的左顶点为A19.(本小题满分17分)甲社区有n个女生和n个男生,且每个女生都认识所有男生;乙社区有n个女生g1,g2,⋯,gn和2n−1个男生b1,b2,⋯,b2n−1(1)若n=3，m(2)若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的m队的不同的选法种数为Anm和(i)求Anm,并证明:当2≤m≤n−1(ii)若乙社区将选出的m个男生和m个女生按男、女搭配随机组队,求组队结果满足参赛要求的概率.★启用前注意保密2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(一)数学参考答案一、单项选择题题号12345678答案BDADBCDA二、多项选择题题号91011答案BDACDABC三、填空题12.27 13四、解答题15.(1)方法一:因为CE=BE且AD=2所以DF=AF所以EC//DF又因为点C,D所以EC//DF所以C,D,E方法二:如图1,因为AD=所以AD//BC,且AD=2BC,AF延长AB,DC交于点P1,延长AB,FE因为BCAD=所以点P1,P2为同一点,记为点即FE与DC交于点P,故直线FE与DC共面,5分所以C,D,E图1图2(2)因为平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB,FA⊂平面所以FA⊥平面ABCD,7又因为AD⊥所以，如图2，以点A为坐标原点，AB，AD，AF所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A0AD=0设平面ADE的法向量为n1则n1⋅AD=0,n1取x1=1,则设平面CDE的法向量为n2则n2⋅DE=0,n2取z2=2,则所以cos<n1所以平面ADE与平面CDE夹角的余弦值为55.1316.(1)因为fx所以y=y′=因为x=0是函数y所以y′x=0=1当a=1时,方法一:当x>0因为x+所以x+1ex>1,即y′>当x<0因为x+所以x+1ex<1,即y′<综上所述，x=0是函数y=xfx的极小值点，符合题意.方法二:令φx当x<−2时,φ′x<0,当故φx在−∞,−2上单调递减,在−2,+∞上单调递增,6分易知,当x≤−又因为φ0=0,且φx在所以−1<x<0时,φx故当x<0时,φx<0,即y′<0,函数y=xfx单调递减,当x>0时,φx>0,即y′>0,函数(2)由(1)得fx=ex−1，所以g由(1)可知,x=0是函数y所以对任意的x≠0即证x−ex−1令hx=当x∈−∞,0时,h′x<0,hx单调递减,当x所以hx>综上所述,gx=x−ex−117.(1)m=sin因为A,B所以2B=又因为A+所以B=π又因为A≤所以0<A因为A+所以sinC所以m=sinCsinA=sinA+π因为0<所以tanA故当A=π3时,m(2)因为a,b所以b2=由(1)知m=因为asin所以m=sin将b=ac代入a−c<同除以ac,得ac−2+c所以m2−解得3−5又因为A≤所以a≤b,即a≤ac,解得故m的取值范围为1,318.不妨设点M在第一象限,点N在第四象限.(1)离心率e=c当x=c时,y=±b2a,所以MN又因为c2=解得a=1所以双曲线C的标准方程为x2−(2)由(1)得F22当直线MN斜率为0时,直线MN与双曲线的两个交点分别在左支和右支,不符合条件;6分当直线MN斜率不为0时,设直线MN为x=联立x化简得3ty1+由题意得3t2−1≠0M−3+因为0≤所以0<1−3t所以−3所以MF2⋅N图3(3)如图3，设⊙P与边MN切于点E由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得,2ME所以点F2与点E重合,即⊙P与边MN切于点13分设⊙P与边F1M切于点所以GF在直角三角形PGF1中,PF12=PG2+则x0解得x0=所以点P在直线x=12过点Qx3,y3作直线x=12其中QF2设点Q关于x=12的对称点为点所以QF因为点Q与点D,点A与点F2分别关于直线x=所以DA=QF2=QD,PA=PF2且PQ=PD,所以点A19.(1)设事件A1表示“甲社区的参赛选手都是女生”，事件B1表示“乙社区的参赛选手都是女生”,事件A2表示“甲社区的参赛选手都是男生”,事件B2则PA1所有参赛队伍的参赛选手性别相同只有两种情况:都是男生或者都是女生，即A1B因为A1所以A1B1∩A2B2=□易知事件A1与B1相互独立,事件A2与B2相互独立,3分所以所求事件的概率(2)(i)方法一:因为甲社区中男生和女生都认识，因此Anm当2≤m≤n−An−观察结构,运算得AnAA8分因为1m+两边同时乘以n−1!2n−方法二:因为甲社区中男生和女生都认识,因此AnmAnm表示甲社区从n个女孩和n个男孩选出m队,考虑甲社区中的女生X和男生Y①女生X和男生Y都没被选上，此时剩下n−1个男生和n−1个女生，从中选出m队,其有A②女生X选上了，男生Y没被选上，第一步，从除女生X和男生Y外的n−1个男生和n−1个女生中选出m−1队，共有An−1m−1种选法;第二步，男生还剩下n−m+1人，排除男生Y③女生X没选上，男生Y选上了，情况与②类似，共有n−mAn④女生X和男生Y都被选上,若女生X和男生Y组队,此时剩下n−1个男生和n−1个女生,从中选出m−1队,共有An−1m−1种选法,若女生X不和男生Y组队,可以把她的搭档和男生Y互换,此时可以等价看作女生X和男生Y