湖南省长沙市高考数学二模试卷(文科)

高考数学二模试卷(文科))

题号一二三总分

得分

一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)

1.已知集合4={1,2,3,4),B={_v|.v=3x-5,xEA],则()

A.{1,2}B.{1,4}C.{2,4}D.{3,4}

2.已知复数z=-；-l，则它的共枕复数；在复平面内对应的点的坐标为()

A.(-1,-1)B.(-1,1)C.(1,2)D.(1,-2)

3.已知双曲线。占一(=1((1>()力>())的两条渐近线互相垂直，焦距为8,则C的离

ab

心率为()

A.2企B.2C.4D.也

4.高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城

市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分

别为R，X2,X3,…即00,它们的平均数为】方差为(；其中扫码支付使用的人数

分别为3为+2,312+2,3心+2,…，3x.oo+2,它们的平均数为屋，方差为s'2,则

『2分别为()

22

A.3人；+2,3s2+2B.3；人,3sC.31人+2,9.0D.31+2,9s+2

/X-2y+4<0

5.已知变量x,)，满足约束条件x+j与vo，则6+2)，的最大值为()

A.9B.8C.7D.6

6.已知ewq,g),贝|J2cosJ+《1-2sbim-e)cos8=()

A.sinO+cosGB.sinO-cosOC.cosG-sinOD.3cosO-sinO

7.已知抛物线产2Px(p>0)上的点M到其焦点b的距离比点M到)，轴的距离大

则抛物线的标准方程为()

A.B.y2=2xC.尸=4上

8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

()

A.3兀

B.4兀

C.6兀

D.8兀

9.在三棱锥AM8C中，PC1底面ABC,ZBAC=9O°,AB=3,AC=4,4PBC=60。,则三

棱锥P-A8C外接球的体积为()

A.100nB.簿C.1257rD.崂r

10.函数/（x）=^isin（2x+0）+cos（2v+0）（|0|<^）的图象向左平移工个单位长度后

得函数g（X）的图象，若g（x）的图象关于点（看，0）对称，则g（X）的单调递

减区间是（）

A」占'2E,小2履],keZB.[-鲁E,言R],keZ

C.[帝加等如，kwZD.[-*E,等砌keZ

11.a,4c分别为锐角AABC内角A,B,。的对边，函数/(x)=x2+c2-a2-ab有唯—零

点，则:的取值范围是（）

A.（1,3）B.（1,2）C.(1,3)D.(1,2)

12.设。V〃匹2,已知函数f（%）=":5<?，对于任意加，12日"2,/川，都有了（用）■/

（X2）|<1,则实数机的取值范围为（）

5412

A.2]B.[j,2]C.[3,1]D.[,1]

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

（X+2,x<0

13.已知函数fCO=|log2*v>0，则/'（/（一3》）=.

14.已知两个单位向量;和;夹角为120。，则（；+；）；=.

15.已知四棱锥尸-AACD的底面边长都为2,P4=PC=2乖，PB=PD,且乙。AB=60。，M

是尸。的中点，则异面直线MB与AP所成的角为.

16.已知定义在R上的偶函数月（户2）,其图象连续不间断，当*>2时，函数产/

（x）是单调函数，则满足/«）可（I-士）的所有彳之积为.

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.已知数列｛小｝的前八项和为S〃，m=3,a〃+尸2S〃+3（吒V）.

（1）求数列｛“”｝的通项公式：

（2）设儿二10g3M若数列｛"一｝的前“项和为逆证明：—VI.

vn^n+1

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18.某电子商务平台的管理员随机抽取了1000位上网购物者，并对其年龄(在10岁到

69岁之间)进行了调查，统计情况如表所示.

年龄[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)

人数100150a20()b50

已知[30,40),[40,50),[50,60)三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减

的等比数列.

(1)求mb的值;

(2)若将年龄在[30,50)内的上网购物者定义为“消费主力军”，其他年龄段内

的上网购物者定义为“消费潜力军”.现采用分层抽样的方式从参与调查的100()

位上网购物者中抽取5人，再从这5人中抽取2人，求这2人中至少有一•人是消费

潜力军的概率.

19.在四棱锥M-A8C。中，平面M4O1平面A8C。，底面

A8CD为矩形，AB=2,AM=AD=3,MD=3显E,F分

别为线段8cM。上一点，且CE=1,DF=^2.

(1)证明：AMLBD,

(2)证明：E仆平面MA/3,并求三棱锥Q-AE产的体积.

20.设。是圆。/十丫三胎上的任意一点，机是过点。且与x轴垂直的直线，E是直线

，〃与x轴的交点，点Q在直线机上，且满足2|七0|二8旧。|.当点。在圆。上运动

时,记点Q的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程.

(2)已知点尸(2,3),过尸(2,0)的直线/交曲线。于A,B两点，交直线48

于点判定直线PA,PM,P3的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由.

21.已知函数/(x)=l+liu-ar2.

(1)讨论函数/CO的单调区间;

(2)证明:xf(x)<\*ex+x-axi.

e

22.在直角坐标系立〃，中，曲线G的参数方程为(f为参数)，其中

a=^kn+^Ekez.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C?

的极坐标方程p2-2pcosG-4psin0+4=0.

(1)求曲线Ci和曲线C2的直角坐标方程；

(2)已知曲线G与曲线C2交于A,B两点,点P(-l,2),求俨AF+|P砰的取值

范围.

23.已知函数/(x)=岳1|

(1)解不等式/Cr-2)+fCx+2)>8

(2)若|0|V2存0.求证:f(ab)>\a\f^).

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：8={-2,1,4,7}；

4}.

故选：B.

可求出集合&然后进行交集的运算即可.

考查列举法、描述法的定义，元素与集合的关系，以及交集的运算.

2.【答案】A

【解析】解：z=-；-l=-l+i,z=-l-/,对应点到坐标为(-1,-1),

故选：A.

根据复数的运算，化简得z=-l+i期复数的概念，即可求解.

本题主要考查了复数的运算，以及共挽复数的求解，其中解答中熟记复数的运算法则，

以及共规复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：由题意，双曲线C1一号1(〃>(),h>0)的两条渐近线互相垂直，焦距

ab

为8,

b

£=1

，得匕;邛，所以双曲线的离心率行=£=@

可得2c=8

c2=a2^b2

故选：

根据题意，列出方程组.求得。，儿。的值，再利用离心率的计算公式，即可求解.

本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理.、准

确列出方程组，求得4,b,C的值，再利用离心率的i-算公式求解是解答的关键，着重

考查了推理与运算能力，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】【分析】

根据题意，由平均数公式可得;=上(X1+X2+-+X100),52=i(XI-；)2+(X2-；)2+……+

入1VU1VU人人

(x.oo-Z)2],进而分析数据3箝+2,3x2+2,3叫+2,…，3为oo+2的平均数与方差，即可

得答案.

本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，应该熟记样本数据的平均数和

方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基

础题.

【解答】

解•：根据题意，数据讣X2,…刈X)的平均数为；，方差为己

222

则％(X1+X2+…+片00)»?=布［+(K2-%)+....+(^10()-%)|,

若3汨+2,3制+2,3冷+2,…，3xioo+2的平均数为J,

则】(3xi+2)+13x2+2)++(3xioo+2)]=3%+2,

方差s'2=急(3xi+2-3'-2)2+(3X2+2-3~-2)2+……+(3xioo+2-3；-2)2]=9s2,

故选：c.

5.【答案】A

【解析】解：由题意，作出约束条件所表示的可行区域

（如图所示），

目标函数z=x+2y,可化为y=+1，

当直线y=》过点A时.，此时直线在丁轴上的截距

最大，此时目标函数取得最大值，

又由｛x+j二5=0，解得A（1.4）,

所以目标函数的最大值为Z=I+2X4=9,

故选:A.

作出约束条件所表示的可行区域，结合图形确定目标的最优解，代入即可求解.

本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表

示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重

考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：因为G，»,则sinO>cosO,用三角函数的诱导公司和三角函数的基

本关系式，可得

2cosJ+71-2sin（7r—0）cos0=2cos0+^（sin0—cos0）2=2cos0+sin0-cosO=sin0+cosO.

故选：A.

由Ow（；,夕，则sinO>cosO,再利用三角函数的诱导公司和三角函数的基本关系式，

即可得到答案.

本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简问题，其中解答中

熟记三角函数的基本关系式和三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了运算与求

解能力，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：抛物线）2=2px（p>0）上的点M到其焦点厂的距离比点M到），轴的距离

大T

可得T=3可得p=l,

所以抛物线的标准方程为：尸二2匕

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故选：B.

利用抛物线的定义，转化列出方程求出〃，即可得到抛物线方程.

本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，是基本知识的考查.

8.【答案】A

【解析】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个

半圆柱，底面的半径是1，高为：4,

右侧是一个半圆柱，底面半径为1,高是2,

组合体的体积是：|xrrxI2x2=3兀，

故选：A.

几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1,

高为：4,右侧是一个半圆柱，底面半径为1,高是2,根据体积公

式得到结果.

本题考查由三视图求儿何体的体积，考查由三视图还原直观图，本

题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题FI.

9.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考第/与球有关的组合体中球的体积的计算，其中解答中根据组合体的结构特

征和球的性质，准确求解球的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中

档试题.

在三棱锥P-A8C中，求得8c=5,又PCI底面ABC,所以PC18C,在直角△P8C中，

求得PB:10,进而得到三楂锥P-48C外接球的直径，得至|JR=5,利用体积公式，即可

求解.

【解答】

解：由题意知，在三棱维A48C中，Z/MG90。，48=3,AC=4,所以8c=5,

又由PCI底面ABC,所以PCL8C,PC1AC,

在直角APBC中，BC=5,4P8060。，

所以PA=IO,PC=5yj3,

故PA=^PCTTAC2=^

^PA2^-AB2=PB2^PALAB,

根据球的性质，可得三棱锥P-A8c外接球的直径为2R=PB=10,即代5,

所以球的体积为g薪/?3=,*53=哼，

故选：B.

1().【答案】C

【解析】解：•.•函数/'(、)=4sin(2x+9)+cos(2v+6)=2sin(2x+0+^)(|8|<g)的图

象向左平移盘个单位长度后，

得函数g(x)=2sin⑵+看+9+、)=2sin(2x+0+g)的图象,

再由函数g(x)的图象关于点((，0)对称，.,・H+,E+g,依Z,.,.。三,得到函数g(x)

_・/27r、

=2sin(2x+—).

令弧+注2A誓2也+9可得E-把旦7T嗒故函数的减区间为［E-各E+自，依Z.

故选：C.

利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，利用函数尸Asin(3"(p)的图象变换规

律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得0的值，再利用正弦单

调性求得g(x)的减区间.

本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三

角函数的图象变换，以及合理、准确应用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查

了推理与运算能力，属于基础题.

11.【答案】D

【解析】解：由题意，函数/(x)为偶函数且有唯一零点，则/(0)=0,

所以c2=a2+ab.

由余弦定理，得：c2=a2+〃2-2a〃cosC=〃2+〃〃，整理得：b2-2abcosC=ab,

即b-2acosC=a,

所以'l+2cosC,

a

由正弦定理，得:sinB-2sinAcosC=sinA,即：sin(A+C)-2sinAcosC=sinA,

所以：sinCcosA-sinAcosC=sin>4,

所以：sin(C-A)=sinA,

所以：C-A=A,或CA+AF(舍)，

故：C=2A,

结合锐角ZiABC,3A+8=兀，

则0V7r-3AV$0V2AV,

所以，VAV：,

由空l+2cosC,

a

又因为2<C=2AV；,

所以：1<5=1+2COSC<2,

a

即:的取值范围是(1,2).

故选：Q.

由/(())=0,可得好=出+时，再利用余弦定理，得：b-2acosC=a,再由正弦定理，得：

sin(C-A)=sinA,求得G2A,结合锐角AAAC,求得：£vcvg,根据，=l+2cosC,即

可求解:的取值范围.

本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问

题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，

利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数侑.利用

正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积

公式，结合正、余弦定理解题.

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12.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查利用导数分析函数的最值，注意分析g(x)=/_］2A+50的最值.

根据题意，设g(x)=xM2x+50,求出其导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析

其单调性，结合/〃的范围分析可得g(x)在［，小2,切上为减函数，进而可得函数

/•(%)='；：：：5°在麻2,〃”上也为减函数，据此求出/(工)在尿2,〃?］上的最大值与最

小值：结合题意分析可得必有/(幻max/(X)min<l,即/(“2)-fCm)

=佃-2)3-：.-2)+50"-普+50口,变形解可得小的取值范围，即可得答案.

【解答】

解：根据题意，设g(A)=xM2x+50,

其导数g'(x)=3x2-12=3(x2-4),

当xV-2时，g1(x)>0,即函数g(A)在(-oo,-2)上为增函数，

当-2&及2时，屋(x)<0,即函数g(x)在［-2,2］上为减函数，

当x>2时，"(x)>0,即函数g(x)在(2,+oo)上为增函数，

又由0VmS2,则向2m］u［・2,2］,

则在［m-2,〃?］上，g(x)为减函数，

又由ov〃w2,则函数/〔为=.-；：：：s。

在〃“上也为减函数，

则/(x)max=f(m-2)

_(m-2)3-12(rn-2)+50

16m，

f(\.-f()_m3-12m+50

Jvmin-J-----------»

若对于任意xi,X2E[IH-2,m],

都有If(r)7*(X2)|<h

则有/(X)max-f(X)mi区1,

即-f(m)

_(m-2)3-12(m-2)+50m3-12m+50<]

16rn16m

变形可得：3m2+2/»-8>0,

解可得：心-2或〃读，

4

又由0V,d2,则m的取值范围为［§,2J；

故选：B.

13.【答案】-1

(X+2,x<0

【解析】解：,函数/(x)=^log2x,x>0,

331

・寸匕)廿a

W(一务月(9=10g2；l.

故答案为：-1.

推导出/（-$=-|+2=i,从而/（/■（奇月中，由此能求出结果.

本题考杳函数值的求法.考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

14.【答案】I

【解析】解：根据向量的数量积的运算公式,

可得（3）m+；=l・I・cosl20"l6.

故答案为：

根据向量的数量积的运算公式，即可求解（；+；）.；的值，得到答案.

本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，合理

准确运算是解答的关键.着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

15.【答案】30°

【解析】解：如图所示，连接AC与8。相交于M则MNIIPA,

根据异面直线所成角的定义，可得MB,AP所成的角为乙NMB

或乙NMB的补角，

由题意，在AMNB中，NB=1,MN=m，BN1MN,

则la叱NMB;黑=，，

M/V3

••zNMB=30。，

故答案为：30。.

根据异面直线所成角的定义，可得则MB,A尸所成的角为々NMB或乙NMB的补角，在

△MN3中即可求解.

本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中熟记异面直线所成角的概念，把异

面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了运算与求解能刀，

属于基础题.

16.【答案】39

【解析】解：因为函数产ra+2）是连续的偶函数，所以直线x=o是它的对称轴,

从面直线x=2就是函数）可（X）图象的对称轴.

因为/"（幻=/（1一占），所以％=1一±或%+1-为=4.

由得/十343=0,设方程的两根为，?，〃，所以XIX2=-3；

由％+1-774=%得x2+.r-13=O,设方程的两根为普，田所以川4=13,

所以*以丫玳4=39.

故答案为：39.

由题意首先确定函数的对称性，然后结合题意和韦达定理整理计算即可求得最终结具.

本题主要考查函数的对称性，分类讨论的数学思想，韦达定理的应用等知识，属于中等

题.

17.【答案】（1）解：因为。”+产25+3,①

a“=2S”」+3.②

①-②得■4"+]-4〃=2。“，即。”+1=3“〃（/仑2），

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所以｛〃〃｝为从第2项开始的等比数列，且公比q=3,

又勾=3,所以42=9,所以数列（为｝的通项公式为二列（应的.

当片1时,，尸3满足上式,所以数列｛斯｝的通项公式为如二3〃.

（2）证明：由（1）知b”=log3an=log33"二〃，

U匚1111

所以b/n+1=n（n+1）=n-Jm*

所以A1=a-3++…+（:一系）二1-；1得证.

【解析】（1）利用。/尸2S”+3,①斯=2S〃/+3.②，①-②得/”｝为从第2项开始的等

比数列，且公比行3,然后求解通项公式.

（2）通过裂项消项法转化求解数列的和，证明即可.

本题考查数列递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力.

18.【答案】解：（1）由题意得：

a+b=500

ab=40000

a>b'

解得a=400,6100.

（2）由题意可知在抽取的5人中，有3人是消费主力军，分别记为0,。2,43，

有2人是消费主力军，分别记为从，岳，

记“这2人中至少有一人是消费潜力军”为事件4

从这5人中抽取2人所有可能情况有10种，分别为：

（〃1,42），（4I，。3），（0，b\）,（41，bl）,（«2»。3），

（42，b\）,（42，。2）,（43,b\）,（43,岳），出，岳）.

符合条件A的有7种，分别为：

（。1,bl）,（6/1，历），（42，bl）,（42，历），（43,bl）,（43,岳），（历，力2）,

这2人中至少有一人是消费潜力军的概率/.

【解析】（I）由频率分布表和等比数列的性质列出方程组，能求出“，b.

（2）在抽取的5人中，有3人是消费主力军，分别记为s,。2,。3,有2人是消费主力

军，分别记为从，岳，利用列举法能求出这2人中至少有一人是消费潜力军的概率.

本题考查等差数列、随机事件所包含的基本事件•、古典概型及概率计算公式等等基础知

识，考查运用概率知识解决简单简单实际问题的能力，考查运算求解能力，是基础题.

19.【答案】解：证明：（1）「AM=AO=3,MD=3也,8=

.-.AA/2+AZ）2=MD2,：.AMLAD,

•••平面M八。1平面ABC。，平面MAOn平面ABCD=AD,

二AM_L平面48C£）,/D

又BOu平面"CO,

（2）在棱A。上取一点M使得ND=1,

vC£=l,:.CE=ND,乂BCIIAQ,

:.ECJf_ND,又人8||CQ,.・.EN||AB,

NDFD_1

：~AD=MD-3*••/WIIAM,

•./NCIE2M.•.平面七MHI平面MAB,又EFu平面ENF,

.•.E*平面MAB,

平面ABC。，KFD=-MD,AM=3,

••.F到平面ABCD的距离d=^AM=1，

-'■VD-AEF-VFAD^xlx1x3x2=l.

Jto

【解析】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、

面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

（1）推导出4ML4。，从而AMJ_平面4BCD,由此能证明AM_L8。.

（2）推导出CE=ND,6cliA。，EN\\AB,FN\\AM,从而平面ENr||平面进而£网

平面MA8,由匕NE尸后山羽能求出三棱锥O-AE9的体积.

20.【答案】解：（1）设Q（x,y）,D（A-o,,-2\EQ\=^\ED\,。在直线加上，

2

.•.M=X,伙）1=1荐|.①

•・,点。在圆片+）2=16上运动，

.*.xo2+}\）2=16,

将①式代入②式即得曲浅C的方程为X24'2=I6,即。葬1，

丁16IN

（2）直线PA,PM,PB的斜率成等差数列，证明如下：

由⑴知椭圆C：3小+4>2=48,

直线/的方程为广攵（x-2）,

代入椭圆方程并整理，得（3+4R）x2-16Z:2.r+16^-48=0.

设A（xi,yi）,B（X2,”），直线PA,PM,P8的斜率分别为心，依，心,

贝I」有Xl+X2=>X1X2=""一：,

3+4fc223+4kz

可知M的坐标为（8,6k）.

（）（）

,,八一3y2-3fcx1-2-3fcx2-2-3

••A+依一胃+^Fx「2+x「2

Xi+必一4—I?

二2曲不•五=2"

6k-3

2&2=2・=261.

8-2

：.k\+ky=2ki.

故直线P4,PM,PB的斜率成等差数列.

【解析】（1）由题意设Qy）,D（xo,和），根据2出。|二m比。|,。在直线，〃上,

则椭圆的方程即可得到：

（2）设出直线/的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到心+心，并求得依

的值，由心+依=2匕说明直线04,PM,PB的斜率成等差数列.

本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的

关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要

求考试具备较强的运算推理的能力，该题是中档题.

21.【答案】解：（l）/（x）的定义域是（0,+00）,

rt/、l-2ax2

故把0时，f（X）>0,/（X）在（0,+8）递增,

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当4>0时，令，（X）=0,解得:

故/（外在（0,谿递增，在（票，+8）递减;

（2）证明：要证划'（x