山东省德州市武城二中学2026届初三4月模拟考试数学试题含解析

山东省德州市武城二中学2026届初三4月模拟考试数学试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC的度数是()A． B． C． D．2．如图，已知，，则的度数为()A． B． C． D．3．半径为的正六边形的边心距和面积分别是()A．， B．，C．， D．，4．下列说法中正确的是（）A．检测一批灯泡的使用寿命适宜用普查.B．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是，如果抛掷10次，就一定有5次正面朝上.C．“367人中有两人是同月同日生”为必然事件.D．“多边形内角和与外角和相等”是不可能事件.5．若数a使关于x的不等式组有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y的分式方程+3=有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．26．如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝，则图中阴影部分的面积等于()A．2﹣ B．1 C． D．﹣l7．某青年排球队12名队员年龄情况如下：年龄1819202122人数14322则这12名队员年龄的众数、中位数分别是（）A．20，19 B．19，19 C．19，20.5 D．19，208．某中学篮球队12名队员的年龄如下表：年龄：（岁）13141516人数1542关于这12名队员的年龄，下列说法错误的是()A．众数是14岁 B．极差是3岁 C．中位数是14.5岁 D．平均数是14.8岁9．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．10．下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（）A． B． C． D．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，为了解全校300名男生的身高情况，随机抽取若干男生进行身高测量，将所得数据（精确到1cm）整理画出频数分布直方图（每组数据含最低值，不含最高值），估计该校男生的身高在170cm﹣175cm之间的人数约有_____人．12．已知边长为5的菱形中，对角线长为6，点在对角线上且，则的长为__________．13．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则a+b+2c__________0（填“>”“=”或“<”）．14．在△ABC中，∠C＝30°，∠A﹣∠B＝30°，则∠A＝_____．15．某个“清涼小屋”自动售货机出售A、B、C三种饮料．A、B、C三种饮料的单价分別是2元/瓶、3元/瓶、5元/瓶．工作日期间，每天上货量是固定的，且能全部售出，其中，A饮科的数量（单位：瓶）是B饮料数量的2倍，B饮料的数量（单位：瓶）是C饮料数量的2倍．某个周六，A、B、C三种饮料的上货量分別比一个工作日的上货量增加了50%、60%、50%，且全部售出．但是由于软件bug，发生了一起错单（即消费者按某种饮料一瓶的价格投币，但是取得了另一种饮料1瓶），结果这个周六的销售收入比一个工作日的销售收入多了503元．则这个“清凉小屋”自动售货机一个工作日的销售收入是_____元．16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是________．17．因式分解：__________．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．19．（5分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE．(1)求证：AC平分∠DAB；(2)求证：PC＝PF；(3)若tan∠ABC＝，AB＝14，求线段PC的长．20．（8分）已知抛物线y=x2﹣6x+9与直线y=x+3交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为C，直线y=x+3与x轴交于点D．（1）求抛物线的顶点C的坐标及A，B两点的坐标；（2）将抛物线y=x2﹣6x+9向上平移1个单位长度，再向左平移t（t＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点E在△DAC内，求t的取值范围；（3）点P（m，n）（﹣3＜m＜1）是抛物线y=x2﹣6x+9上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求m，n的值．21．（10分）先化简，再求值：x222．（10分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下如图（1）∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF=b-aS四边形ADCB=S四边形ADCB=∴化简得：a2+b2=c2请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明，如图（2）中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c223．（12分）铁岭市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0＜x＜20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示：求y与x之间的函数关系式；商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？24．（14分）菏泽市牡丹区中学生运动会即将举行，各个学校都在积极地做准备，某校为奖励在运动会上取得好成绩的学生，计划购买甲、乙两种奖品共100件，已知甲种奖品的单价是30元，乙种奖品的单价是20元．（1）若购买这批奖品共用2800元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？（2）若购买这批奖品的总费用不超过2900元，则最多购买甲种奖品多少件？

参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、D【解析】

由题意知：△ABC≌△DEC，∴∠ACB=∠DCE=30°，AC=DC，∴∠DAC=（180°−∠DCA）÷2=（180°−30°）÷2=75°．故选D．本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．2、B【解析】分析：根据∠AOC和∠BOC的度数得出∠AOB的度数，从而得出答案．详解：∵∠AOC=70°，∠BOC=30°，∴∠AOB=70°－30°=40°，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=40°+70°=110°，故选B．点睛：本题主要考查的是角度的计算问题，属于基础题型．理解各角之间的关系是解题的关键．3、A【解析】

首先根据题意画出图形，易得△OBC是等边三角形，继而可得正六边形的边长为R，然后利用解直角三角形求得边心距，又由S正六边形=求得正六边形的面积．【详解】解：如图，O为正六边形外接圆的圆心，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，∵六边形ABCDEF是正六边形，半径为，∴∠BOC=，∵OB=OC=R，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=OC=R，∵OH⊥BC，∴在中，，即，∴，即边心距为；∵，∴S正六边形=，故选：A．本题考查了正多边形和圆的知识；求得正六边形的中心角为60°，得到等边三角形是正确解答本题的关键．4、C【解析】【分析】根据相关的定义(调查方式，概率，可能事件，必然事件)进行分析即可.【详解】A.检测一批灯泡的使用寿命不适宜用普查，因为有破坏性；B.抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是，如果抛掷10次，就可能有5次正面朝上，因为这是随机事件；C.“367人中有两人是同月同日生”为必然事件.因为一年只有365天或366天，所以367人中至少有两个日子相同；D.“多边形内角和与外角和相等”是可能事件.如四边形内角和和外角和相等.故正确选项为：C【点睛】本题考核知识点：对(调查方式，概率，可能事件，必然事件)理解.解题关键：理解相关概念，合理运用举反例法.5、D【解析】

由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可．【详解】不等式组整理得：，由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x＞-3的解，得到-3＜a-1≤3，即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4，分式方程去分母得：5-y+3y-3=a，即y=，由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个，故选：D．本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6、D【解析】∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=，∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，AC′=AC=，∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，∴AD=BC=1，AF=FC′=AC′=1，∴DC′=AC′-AD=-1，∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′-S△DEC′=×1×1-×（-1）2=-1，故选D.【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′的长是解题关键．7、D【解析】

先计算出这个队共有1+4+3+2+2=12人，然后根据众数与中位数的定义求解．【详解】这个队共有1+4+3+2+2=12人，这个队队员年龄的众数为19，中位数为=1．故选D．本题考查了众数：在一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数．也考查了中位数的定义．8、D【解析】分别利用极差以及中位数和众数以及平均数的求法分别分析得出答案．解：由图表可得：14岁的有5人，故众数是14，故选项A正确，不合题意；极差是：16﹣13=3，故选项B正确，不合题意；中位数是：14.5，故选项C正确，不合题意；平均数是：（13+14×5+15×4+16×2）÷12≈14.5，故选项D错误，符合题意．故选D．“点睛”此题主要考查了极差以及中位数和众数以及平均数的求法，正确把握相关定义是解题关键．9、D【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知：A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；B不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确；C是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确；D即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.故选D.考点：轴对称图形和中心对称图形识别10、D【解析】

A、根据函数的图象可知y随x的增大而增大，故本选项错误；B、根据函数的图象可知在第二象限内y随x的增大而减增大，故本选项错误；C、根据函数的图象可知，当x＜0时，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，故本选项错误；D、根据函数的图象可知，当x＜0时，y随x的增大而减小；故本选项正确．故选D．本题考查了函数的图象，函数的增减性，熟练掌握各函数的性质是解题的关键.二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、1【解析】

用总人数300乘以样本中身高在170cm-175cm之间的人数占被调查人数的比例．【详解】估计该校男生的身高在170cm-175cm之间的人数约为300×=1（人），故答案为1．本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．12、3或1【解析】

菱形ABCD中，边长为1，对角线AC长为6，由菱形的性质及勾股定理可得AC⊥BD，BO=4，分当点E在对角线交点左侧时（如图1）和当点E在对角线交点左侧时（如图2）两种情况求BE得长即可．【详解】解：当点E在对角线交点左侧时，如图1所示：∵菱形ABCD中，边长为1，对角线AC长为6，∴AC⊥BD，BO==4，∵tan∠EAC=，解得：OE=1，∴BE=BO﹣OE=4﹣1=3，当点E在对角线交点左侧时，如图2所示：∵菱形ABCD中，边长为1，对角线AC长为6，∴AC⊥BD，BO==4，∵tan∠EAC=，解得：OE=1，∴BE=BO﹣OE=4+1=1，故答案为3或1．本题主要考查了菱形的性质，解决问题时要注意分当点E在对角线交点左侧时和当点E在对角线交点左侧时两种情况求BE得长．13、＜【解析】

由抛物线开口向下，则a＜0，抛物线与y轴交于y轴负半轴，则c＜0，对称轴在y轴左侧，则b＜0，因此可判断a+b+2c与0的大小【详解】∵抛物线开口向下∴a＜0∵抛物线与y轴交于y轴负半轴，∴c＜0∵对称轴在y轴左侧∴﹣＜0∴b＜0∴a+b+2c＜0故答案为＜．本题考查了二次函数图象与系数的关系，正确利用图象得出正确信息是解题关键．14、90°．【解析】

根据三角形内角和得到∠A+∠B+∠C＝180°，而∠C＝30°，则可计算出∠A+∠B+＝150°，由于∠A﹣∠B＝30°，把两式相加消去∠B即可求得∠A的度数．【详解】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝30°，∴∠A+∠B+＝150°，∵∠A﹣∠B＝30°，∴2∠A＝180°，∴∠A＝90°．故答案为：90°．本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．15、950【解析】

设工作日期间C饮料数量为x瓶，则B饮料数量为2x瓶，A饮料数量为4x瓶，得到工作日期间一天的销售收入为：8x+6x+5x＝19x元，和周六销售销售收入为：12x+9.6x+7.5x＝29.1x元，再结合题意得到10.1x﹣（5﹣3）＝503，计算即可得到答案.【详解】解：设工作日期间C饮料数量为x瓶，则B饮料数量为2x瓶，A饮料数量为4x瓶，工作日期间一天的销售收入为：8x+6x+5x＝19x元，周六C饮料数量为1.5x瓶，则B饮料数量为3.2x瓶，A饮料数量为6x瓶，周六销售销售收入为：12x+9.6x+7.5x＝29.1x元，周六销售收入与工作日期间一天销售收入的差为：29.1x﹣19x＝10.1x元，由于发生一起错单，收入的差为503元，因此，503加减一瓶饮料的差价一定是10.1的整数倍，所以这起错单发生在B、C饮料上（B、C一瓶的差价为2元），且是消费者付B饮料的钱，取走的是C饮料；于是有：10.1x﹣（5﹣3）＝503解得：x＝50工作日期间一天的销售收入为：19×50＝950元，故答案为：950.本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是由题意得到等量关系.16、－1．【解析】

设正方形的对角线OA长为1m，根据正方形的性质则可得出B、C坐标，代入二次函数y=ax1+c中，即可求出a和c，从而求积．【详解】设正方形的对角线OA长为1m，则B（﹣m，m），C（m，m），A（0，1m）；把A，C的坐标代入解析式可得：c=1m①，am1+c=m②，①代入②得：am1+1m=m，解得：a=-，则ac=-1m=-1．考点：二次函数综合题．17、【解析】

先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【详解】解：原式，故答案为：本题考查提公因式，熟练掌握运算法则是解题关键.三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）；（2）这个游戏不公平，理由见解析.【解析】

（1）由把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲胜，乙胜的情况，即可求得求概率，比较大小，即可知这个游戏是否公平．【详解】解：（1）由于三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，故从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为：；（2）这个游戏不公平．画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，∴P（甲胜）=，P（乙胜）=．∴P（甲胜）≠P（乙胜），故这个游戏不公平．本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．19、（1）（2）证明见解析；（3）1．【解析】

（1）由PD切⊙O于点C，AD与过点C的切线垂直，易证得OC∥AD，继而证得AC平分∠DAB；

（2）由条件可得∠CAO=∠PCB，结合条件可得∠PCF=∠PFC，即可证得PC=PF；

（3）易证△PAC∽△PCB，由相似三角形的性质可得到，又因为tan∠ABC=，所以可得=，进而可得到=，设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，利用勾股定理可得PC2+OC2=OP2，进而可建立关于k的方程，解方程求出k的值即可求出PC的长．【详解】（1）证明：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD，又∵AD⊥PD，∴OC∥AD，∴∠ACO=∠DAC．∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB；（2）证明：∵AD⊥PD，∴∠DAC+∠ACD=90°．又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠PCB+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠PCB．又∵∠DAC=∠CAO，∴∠CAO=∠PCB．∵CE平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF，∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，∴∠PFC=∠PCF，∴PC=PF；（3）解：∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P，∴△PAC∽△PCB，∴．又∵tan∠ABC=，∴，∴，设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，∵PC2+OC2=OP2，∴（4k）2+72=（3k+7）2，∴k=6（k=0不合题意，舍去）．∴PC=4k=4×6=1．此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．20、（1）C（2，0），A（1，4），B（1，9）；（2）＜t＜5；（2）m=，∴n=.【解析】分析：（Ⅰ）将抛物线的一般式配方为顶点式即可求出点C的坐标，联立抛物线与直线的解析式即可求出A、B的坐标．（Ⅱ）由题意可知：新抛物线的顶点坐标为（2﹣t，1），然后求出直线AC的解析式后，将点E的坐标分别代入直线AC与AD的解析式中即可求出t的值，从而可知新抛物线的顶点E在△DAC内，求t的取值范围．（Ⅲ）直线AB与y轴交于点F，连接CF，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥x轴于点N，交DB于点G，由直线y=x+2与x轴交于点D，与y轴交于点F，得D（﹣2，0），F（0，2），易得CF⊥AB，△PAB的面积是△ABC面积的2倍，所以AB•PM=AB•CF，PM=2CF=1，从而可求出PG=3，利用点G在直线y=x+2上，P（m，n），所以G（m，m+2），所以PG=n﹣（m+2），所以n=m+4，由于P（m，n）在抛物线y=x2﹣1x+9上，联立方程从而可求出m、n的值．详解：（I）∵y=x2﹣1x+9=（x﹣2）2，∴顶点坐标为（2，0）．联立，解得：或；（II）由题意可知：新抛物线的顶点坐标为（2﹣t，1），设直线AC的解析式为y=kx+b将A（1，4），C（2，0）代入y=kx+b中，∴，解得：，∴直线AC的解析式为y=﹣2x+1．当点E在直线AC上时，﹣2（2﹣t）+1=1，解得：t=．当点E在直线AD上时，（2﹣t）+2=1，解得：t=5，∴当点E在△DAC内时，＜t＜5；（III）如图，直线AB与y轴交于点F，连接CF，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥x轴于点N，交DB于点G．由直线y=x+2与x轴交于点D，与y轴交于点F，得D（﹣2，0），F（0，2），∴OD=OF=2．∵∠FOD=90°，∴∠OFD=∠ODF=45°．∵OC=OF=2，∠FOC=90°，∴CF==2，∠OFC=∠OCF=45°，∴∠DFC=∠DFO+∠OFC=45°+45°=90°，∴CF⊥AB．∵△PAB的面积是△ABC面积的2倍，∴AB•PM=AB•CF，∴PM=2CF=1．∵PN⊥x轴，∠FDO=45°，∴∠DGN=45°，∴∠PGM=45°．在Rt△PGM中，sin∠PGM=，∴PG===3．∵点G在直线y=x+2上，P（m，n），∴G（m，m+2）．∵﹣2＜m＜1，∴点P在点G的上方，∴PG=n﹣（m+2），∴n=m+4．∵P（m，n）在抛物线y=x2﹣1x+9上，∴m2﹣1m+9=n，∴m2﹣1m+9=m+4，解得：m=．∵﹣2＜m＜1，∴m=不合题意，舍去，∴m=，∴n=m+4=．点睛：本题是二次函数综合题，涉及待定系数法，解方程，勾股定理，三角形的面积公式，综合程度较高，需要学生综合运用所学知识．21、12【解析】

这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先化简，然后再代入求值．【详解】解：原式=•﹣=﹣=﹣=，当x=1时，原式==．本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的运算法则.22、见解析.【解析】

首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．【详解】证明：连结BD，过