2026年初中数学中考复习专题42 几何最值问题

第第页微专题42几何最值问题类型一利用“垂线段最短”解决最值问题方法解读类型一定一动型一定两动型条件P是直线l外的定点，H是直线l上的动点M是∠BAC内部的定点，N，P分别是AB，AC上的动点图示结论线段PH是点P到直线l的最短距离PM＋PN的最小值为M'N的长1.（人教八上练习改编）如图，在等边△ABC中，AB＝4，点D是BC边上的动点，则线段AD的最小值是.第1题图2.（2024东莞模拟）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是.第2题图3.如图，在△ABC中，∠ABC＝35°，D是边AC上一点，E，F分别是射线BA，BC上异于点B的动点，连接DB，DE，EF，若∠CBD＝10°，BD＝6，则DE＋EF的最小值为.第3题图4.（2024中山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是.第4题图5.（2024梅州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段AB上，PC⊥x轴于点C，则△PCO周长的最小值为.第5题图6.如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC，点P，Q，R分别为边BC，AB，AC上（均不与端点重合）的动点，当△PQR的周长最小时，则∠PQR＋∠PRQ的度数为.第6题图类型二利用“两点之间线段最短”解决最值问题方法解读类型两定点＋一动点型一定点＋两动点型两定点＋定长型条件异侧同侧P是∠AOB内部的定点，M，N分别是OA，OB上的动点A，B是定点，M，N分别是l1，l2上的动点，且MN⊥l1A，B是定点，P是直线l上的动点图示结论PA＋PB的最小值为AB的长PA＋PB的最小值为AB'的长△PMN周长的最小值为P'P″的长AM＋MN＋BN的最小值为A'B＋MN的长1.（北师九上随堂练习改编）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为边AB上一点，且AE＝1，F为对角线BD上一动点，连接EF，CF，则EF＋CF的最小值为.第1题图2.如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，AC＝3，BC的垂直平分线DE分别交AB，BC边于点D，E，F为AC边的中点，P为线段DE上一动点，若△ABC的面积是9，则PC＋PF的最小值为.第2题图3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝34x2＋bx＋c与x轴交于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，－3）.点P是抛物线对称轴上一点，连接AP、CP，当AP＋CP的值最小时，点P的坐标为第3题图4.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，E，F分别是AB，CD上的动点，EF∥BC，则AF＋EF＋CE的最小值为.第4题图5.（2024香洲区二模）如图，点A（1，m）和B（n，2）在反比例函数y＝4x的图象上，点C，D分别是x轴正半轴和y轴正半轴上的动点，连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD周长的最小值为第5题图类型三与圆有关的最值问题（6年5考）考向1点圆、线圆最值问题方法一点圆最值问题方法解读条件：如图，平面内一定点D和☉O，E是☉O上的动点，连接DE.结论：当圆心O在线段DE上时，DE取得最大值（图①），当圆心O在DE的延长线上时，DE取得最小值（图②）.1.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，☉O的半径为1，若圆心O在矩形ABCD的边上运动，则点C到☉O上的点的距离的最大值为.第1题图2.（2024珠海模拟）如图，☉M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是☉M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点.若点A，点B关于原点O对称，则当AB取最小值时，点A的坐标为.第2题图3.（2024东莞一模）如图，抛物线y＝14x2－4与x轴交于A，B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，连接PA，点Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是第3题图方法二线圆最值问题方法解读条件：如图，☉O与直线l相离，设☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，P是☉O上的动点.结论：点P到直线l的最小距离为d－r（图①），最大距离为d＋r（图②）.4.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心，1为半径作圆，P是☉B上一动点，Q是对角线AC上一动点，则PQ的最小值为.第4题图5.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以点D为圆心，1为半径作☉D，P为☉D上的一个动点，连接AP，OP，OA，则△AOP面积的最大值为.第5题图6.如图，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝90°，半径为1的☉O在斜边AC上滚动，点D是☉O上一点，则四边形ABCD的最大面积为.第6题图考向2利用辅助圆求最值（6年4考）方法一定点定长作圆（2021.10）方法解读原理：圆的定义：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合.情形：在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定.动点轨迹：动点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆或圆弧的一部分.1.（2020广东17题4分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为.第1题图2.（2024烟台）如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝10.E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D'EF，连接AD'，BD'.则△ABD'面积的最小值为.第2题图3.如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，E为BC上一动点，连接DE，作点C关于直线DE的对称点F，连接BF，则BF的最小值为.第3题图方法二定弦定角作圆（6年2考：2021.10、17）方法解读情形：如图，在△ABC中，∠C（α）为定角，所对的弦AB长度固定.动点轨迹：（1）当0＜α＜90°时，点C的轨迹如图①所示，即ACB；（2）当α＝90°时，点C的轨迹如图②所示，即☉O（不含A，B两点）；（3）当90°＜α＜180°时，点C的轨迹如图③所示，即AB.第4题图4.（2024梅州市一模）在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点P是△ABC内一点，满足∠CBP＝∠ACP，则PA的最小值为.5.（2021广东17题4分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3.点D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为.6.（2021广东10题改编）设O为坐标原点，点A，B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB.连接点A，B，过点O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值为.方法三四点共圆（6年2考：2024.22，2023.23）方法解读条件情况一（同侧型）：如图①②，线段AB长度为定值，点C，D为AB同侧两动点，且∠ACB＝∠ADB情况二（异侧型）：如图③，由点A，B，C，D构成的四边形中，∠ADC＋∠ABC＝180°类型图①图②图③结论A，B，C，D四点共圆7.（人教八上练习改编）如图，在△ABC和△ACD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，AC＝6，则AD的最大值为.第7题图8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是斜边AB上一动点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE，O是DE的中点，连接OC，OA，则AO的最小值为.第8题图9.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，点E，F分别是边BC，AB上的点，且AF＝BE，连接CF与AE交于点G，连接DG，则DG的最大值为.第9题图类型四利用二次函数性质解决最值问题[6年2考：2022.23（2），2021.9]方法解读要求y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的最值，可将解析式化为顶点式，确定其对称轴是否在自变量x的取值范围内，再画出图象，利用数形结合思想及所给端点与对称轴的距离，依据二次函数增减性求最值.1.（2021广东9题3分）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝a＋b＋c2，则其面积S＝p（p－a)(p－b)(p－c）A.5 B.4 C.25 D.52.如图，二次函数y＝－12x2－32x＋2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且D（m，n）是第二象限内抛物线上一点，则四边形OCDA的面积的最大值为第2题图3.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点D是AC的中点，点E是AB上一动点，点F是BC上一动点，且点E不与端点重合，∠DEF＝45°，则BF的最大值为.第3题图类型一利用“垂线段最短”解决最值问题1.23【解析】如解图，过点A作AD'⊥BC于点D'，根据垂线段最短可知，当点D与点D'重合时，AD的值最小.∵△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝4，∴BD'＝CD'＝12BC＝2，∴AD'＝AB2－BD'2＝23第1题解图2.332【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝6，如解图，过点D作DQ'⊥CQ于点Q'，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，∴点Q为射线CQ上的动点，又∵∠ACB＝60°，∴∠BCQ＝120°，∵点D是AC边的中点，∴CD＝12AC＝3，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，此时，点Q与Q'重合，∠CDQ'＝30°，∴CQ'＝12CD＝32，∴DQ'＝DC2第2题解图3.33【解析】如解图，作点D关于BA的对称点D'，连接DD'，BD'，过点D'作BC的垂线交BA于点E，交BC于点F，由对称的性质得D'E＝DE，∴DE＋EF＝D'E＋EF＝D'F，此时DE＋EF的值最小，最小值为线段D'F的长.∵∠ABC＝35°，∠CBD＝10°，BD＝6，∴∠DBA＝∠D'BA＝∠ABC－∠CBD＝25°，BD'＝BD＝6，∴∠CBD'＝35＋25°＝60°，∴D'F＝BD'·sin60°＝6×32＝33，∴DE＋EF的最小值为33第3题解图4.22【解析】∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中点，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，∠B＝∠MCGBM＝CM∠BMH＝∠CMG，∴△BMH≌△CMG(ASA)，∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四边形ACGH的周长＝AC＋CG＋GH＋AH＝AB＋AC＋GH＝14＋GH，如解图，当GH最小时，即GH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，∵∠A＝90°，GH⊥AB，∴GH∥AC，∴四边形ACGH为矩形，∴GH＝AC＝8第4题解图5.32＋6【解析】由直线y＝x＋6的解析式得，当x＝0时，y＝x＋6＝6，当y＝0时，x＋6＝0，解得x＝－6，∵一次函数y＝x＋6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A(－6，0)，B(0，6)，则OA＝OB＝6，∴△ABO是等腰直角三角形，由题意，可设点P的坐标为(a，a＋6)(－6＜a＜0)，∵PC⊥x轴，∴OC＝－a，PC＝a＋6，∴△PCO的周长为OC＋PC＋OP＝－a＋a＋6＋OP＝6＋OP，则求△PCO周长的最小值只要求出OP的最小值即可，如解图，过点O作OD⊥AB于点D，则OP的最小值为OD的长，即此时点P与点D重合，∵OD⊥AB，∴AD＝BD，∴OD＝12AB＝12×62＋62＝32，∴△PCO周长的最小值为6＋OD第5题解图6.90°【解析】如解图，作点P关于AB的对称点P'，关于AC的对称点P″，连接P'P″，分别交AB，AC于点Q，R，连接AP'，AP″.则P'Q＝PQ，P″R＝PR，AP＝AP'＝AP″，∠P'AQ＝∠PAQ，∠P″AR＝∠PAR，∴C△PQR＝PQ＋QR＋PR＝P'Q＋QR＋P″R＝P'P″，∠P'AP″＝∠P'AQ＋∠PAQ＋∠P″AR＋∠PAR＝2∠BAC＝2×45°＝90°，∴△AP'P″为等腰直角三角形，AP＝AP'＝AP″，∴P'P″＝2AP，当AP⊥BC时，AP最短，即△PQR周长最小，此时∠AP'Q＝∠APQ＝45°，∠AP″R＝∠APR＝45°，∴∠QPR＝90°，∴∠PQR＋∠PRQ＝90°.第6题解图类型二利用“两点之间线段最短”解决最值问题1.5【解析】如解图，连接CE交BD于点F'，∴EF＋CF≥CE，∴当点F与点F'重合，即C，F，E三点共线时，EF＋CF有最小值，最小值为CE的长.∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，∵AE＝1，∴BE＝3，在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE＝BE2＋BC2＝5，∴第1题解图2.6【解析】如解图，连接BP.∵DE是线段BC的垂直平分线，∴点B与C关于DE对称，BP＝CP，∴PC＋PF＝BP＋PF≥BF，当B，P，F三点共线时，PC＋PF最小.∵F为AC边的中点，AB＝BC，∴BF⊥AC，∴S△ABC＝12AC·BF＝9.∵AC＝3，∴BF＝6，∴PC＋PF的最小值为6第2题解图3.(32，－158)【解析】如解图，连接BC交抛物线对称轴于点P，此时AP＋CP的值最小，∵抛物线过(4，0)，(0，－3)两点，∴12+4b＋c=0c＝－3，解得b＝－94c＝－3，∴抛物线表达式为y＝34x2－94x－3，∴抛物线对称轴为直线x＝32，设直线BC的表达式为y＝mx＋n(m≠0)，将B(4，0)，C(0，－3)代入y＝mx＋n中，得n＝－34m＋n=0，解得m＝第3题解图4.7【解析】由题意知EF＝BC＝AD＝2，如解图，过点F作FG∥CE，交BC延长线于点G，连接AG，∵EF∥BC，∴四边形EFGC为平行四边形，∴CE＝GF，CG＝EF＝2，则AF＋CE＝AF＋FG≥AG，∴当A，F，G三点共线时，AF＋CE取得最小值，最小值为AG的长，∵BG＝BC＋CG＝4，∴在Rt△ABG中，AG＝AB2＋BG2＝5，∴AG＋EF＝7，∴AF＋第4题解图5.45【解析】∵点A(1，m)和B(n，2)在反比例函数y＝4x的图象上，∴m＝4，n＝2，∴A(1，4)，B(2，2)，∴AB＝5，如解图，分别作点A关于y轴的对称点A'，作点B关于x轴的对称点B'，连接A'B'交y轴于点D，交x轴于点C，此时四边形ABCD的周长最小，最小值为A'B'＋AB的值.根据对称的性质，得A'(－1，4)，B'(2，－2)，∴A'B'＝35，∴四边形ABCD周长的最小值为35＋5＝45第5题解图类型三与圆有关的最值问题考向1点圆、线圆最值问题1.6【解析】如解图，在☉O上任取一点E'，连接OE'、CE'，则CE'≤CO＋OE'，当C、O、E'三点共线时，CE'取得最大值，即当点E与E'重合时，CE取最大值，要求CE的最大值，即求CO的最大值.连接AC，∵CO≤AC，∴当点O与点A重合时，CO取得最大值时.在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，∴OC最大＝5，∴CE最大＝OC最大＋OE＝6.∴点C到☉O上的点的距离的最大值为6.第1题解图2.(－6，0)【解析】如解图，连接PO，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵点A、点B关于原点O对称，∴AO＝BO＝PO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM交☉M于点P'，当点P位于P'位置时，OP取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，∵M(6，8)，则OQ＝6，MQ＝8，∴OM＝10，又∵MP'＝r＝4，∴OP'＝MO－MP'＝10－4＝6，∴OA＝OP'＝6，∴点A坐标为(－6，0).第2题解图3.72【解析】如解图，连接BP，当y＝0时，14x2－4＝0，解得x1＝4，x2＝－4，则A(－4，0)，B(4，0)，∴OB＝4，∵Q是线段PA的中点，∴OQ为△ABP的中位线，∴OQ＝12BP，当BP最大时，OQ最大，当BP过圆心C时，PB最大，如解图，当点P运动到P'位置时，BP最大，此时，OQ取得最大值，最大值为12BP'，∵C(0，3)，∴OC＝3，∴BC＝OB2＋OC2＝5，∴BP'＝5第3题解图4.75【解析】如解图，过点B作BQ⊥AC于点Q，交☉B于点P，此时PQ的值最小.∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，☉B的半径为1，∴AC＝AB2＋BC2＝42＋32＝5，BP＝1，∴sin∠ACB＝ABAC＝BQBC＝45，解得BQ＝125.∴PQ第4题解图5.174【解析】如解图，连接OC，当点P到AC的距离最大时，△AOP的面积最大，过点D作AC的垂线，与☉D在矩形ABCD外交于点P，交AC于点M，此时△AOP的面积最大.∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝AB2＋BC2＝5，AD＝4，∴OA＝52，∵12AD·DC＝12AC·DM，∴DM＝125，∴PM＝PD＋DM＝1＋125＝175，∴△AOP面积的最大值为第5题解图6.4＋25【解析】∵AB＝4，BC＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝AB2＋BC2＝25.∵S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S△ABC＝12AB·BC＝4，∴当S△ACD取得最大值时，S四边形ABCD有最大值.如解图，过点D作DE⊥AC于点E，过点O作OF⊥AC于点F，连接OD，∵DE≤OD＋OF，∴当D，O，F三点共线，即当点E与点F重合时，DE取得最大值，最大值即为OD＋OF的值.∵☉O在AC上滚动，∴OF＝1，∴DE最大＝OD＋OF＝2，∴S△ACD最大＝12AC·DE最大＝12×25×2＝25，∴S四边形ABCD最大＝S△ABC＋S第6题解图考向2利用辅助圆求最值1.25－2【解析】如解图，连接BE，BD.由题意得BD＝22＋42＝25，∵∠MBN＝90°，MN＝4，E为MN的中点，∴BE＝12MN＝2，∴点E的运动轨迹是以点B为圆心，2为半径的弧，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为第1题解图2.203－16【解析】如解图，以点E为圆心，EC长为半径作圆，过点E作EG⊥AB交BA的延长线于点G，交☉E于点D'，此时△ABD'的面积最小，∵在▱ABCD中，∠C＝120°，∴∠ABC＝60°，∵BC＝10，易得AB与CD间的距离为53，∴EG＝53，∵E为边CD的中点，∴DE＝D'E＝12CD＝4，∴GD'＝53－4，∴S△ABD'的最小值为12×8×(53－4)＝203－第2题解图3.63－6【解析】如解图，连接DF，根据对称性质可知DF＝CD，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝CD＝DF＝6，∴点F的运动轨迹为以点D为圆心，CD长为半径的AC，连接BD交AC于点G，当B，F，D三点共线，即点F与点G重合时，BF的值最小，最小值为BG的长，过点A作AM⊥BD于点M，∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ABD＝30°，在Rt△ABM中，BM＝AB·cos30°＝33，∴BD＝63，∵DG＝AD＝6，∴BG＝BD－DG＝63－6，即BF的最小值为63－6.第3题解图4.2【解析】如解图，取BC的中点O，以BC为直径作☉O，与AB交于点E，连接OP，AO，∵∠ACB＝90°，∴∠ACP＋∠BCP＝90°，∵∠CBP＝∠ACP，∴∠CBP＋∠BCP＝90°，∴∠CPB＝90°，∴点P在以BC为直径的圆弧CE上运动，AP≥AO－OP，∴当点P，A，O三点共线时，PA有最小值，∵点O是BC的中点，BC＝6，∠BPC＝90°，∴PO＝CO＝12BC＝3，在Rt△ACO中，∵AC＝4，∴AO＝OC2＋AC2＝32＋42＝第4题解图5.5－2【解析】如解图，根据定弦定角，确定△ABD的外接圆☉O，点D在☉O的优弧ADB上运动，连接AO，BO，DO，CD，OC，过点O作OF⊥BC于点F，∵∠ADB＝45°，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，AB＝2，∴△OAB是等腰直角三角形，∴OA＝OB＝22AB＝2，∠ABO＝45°，∴∠OBF＝∠ABC－∠ABO＝45°，∴△OBF是等腰直角三角形，∴OF＝BF＝22OB＝1，∵BC＝3，∴FC＝BC－BF＝2，∴OC＝OF2＋FC2＝5，∵OD＋CD≥OC，∴当点D运动到OC与☉O的交点E时，CD的值最小，最小值为OC第5题解图6.12【解析】设A(a，a2)，B(b，b2)，则直线OA的解析式为y＝ax，∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，∴kOB＝－1a，∴直线OB的解析式为y＝－1ax，将点B(b，b2)代入y＝－1ax中，得b2＝－1a·b，∴b＝－1a，∴B(－1a，1a2)，设直线AB的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，∴a2＝ma＋n1a2＝m·(−1a)＋n，解得m＝a－1an=1，∴直线AB的解析式为y＝(a－1a)x＋1，如解图，设AB与y轴交于点D，当x＝0时，y＝1，∴D(0，1)，即OD＝1，∵OC⊥AB，∴点C在以OD为直径的圆上，当点C在半圆OD的中点处时，点C到第6题解图7.62【解析】∵∠ABC＝∠ADC＝45°，∴A，B，C，D四点共圆，AC为☉O的弦，如解图，当AD为☉O的直径时，AD取得最大值，此时∠ACD＝90°，∵AC＝6，∠ADC＝45°，∴AD＝2AC＝62.第7题解图8.22【解析】如解图，过点C作CO'⊥AB于点O'，连接OO'，则∠AO'C＝90°，∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝