数列极限课件1

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数列极限数学语言描述:一、数列极限的定义引例.设有半径为

r

的圆,逼近圆面积S.如图所示,可知当

n无限增大时,无限逼近S

(刘徽割圆术)

,当n

>

N时,用其内接正

n

边形的面积总有刘徽目录上页下页返回结束例如,趋势不定机动目录上页下页返回结束趋向于确定常数定义:按一定顺序排列的可列个数称为一个数列,记作称为通项(一般项).若数列及常数a有下列关系:当n>

N

时,总有记作此时也称数列收敛

,否则称数列发散

.几何解释:即或则称该数列的极限为a,机动目录上页下页返回结束定义:机动目录上页下页返回结束1.由于ε可以任意小,因此领域U(a,ε)也可以任意小,但无论多么小,都能使{xn}从某一项以后所有项都落在这个领域内,而在领域外至多只有N个点,这表明数列{xn}所对应的点列除前面有限个点外,都能够凝聚在点a的任意小的领域内,即{xn}中的项到一定程度是变化很微小,呈现出一种稳定的状态,这种稳定状态就是称为收敛的一种涵义.说明:2.ε是与xn,a,n有关的任意小的正数,它具有二重性,即任意性和相对固定性,且任意性通过无穷多个相对固定性表现出来.3.N依赖于ε,一般来说,ε越小,N越大,N不唯一.机动目录上页下页返回结束“ε-N”

方法(1).给定任意小的正数ε.3.寻找N的一般方法和规律：1.“ε-N”方法的步骤:2.“ε-N”方法运用的关键：(2).解不等式|xn–a|<ε.(3).选取自然数N,并令n>N.(4).由|xn–a|<ε成立,推出a为{xn}的极限.对于任意给定的ε>0,选取满足定义要求的N.(1).直接法:即从|xn

–a

|<ε中直接解出n>N(ε)再选取

N

.机动目录上页下页返回结束(2).间接法:N的选取并不是唯一的,在很多情形下,直接解|xn

–a

|<ε很不方便,这是将间接寻找N.首先将|xn

–a

|适当放大,使得再由不等式来确定N.例1.已知证明数列的极限为1.

证:欲使即只要因此,取则当时,就有故机动目录上页下页返回结束例2.已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N

与

有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:

取机动目录上页下页返回结束例3.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当n>N

时,就有故的极限为

0.机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例4.证明证:记得由所以则当n>N

时,有取即只要要使二、收敛数列的性质证:

用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有1.收敛数列的极限唯一.使当n>N1时,假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当n>N

时,故假设不真!满足的不等式机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束2.有限变动不变性:若数列{xn}收敛于a,则改变其前有限项,所得新数列仍收敛于a.3.排列不变性:若数列{xn}收敛于a,则其项的顺序重新排列后所得新数列仍收敛于a.Def.有界数列:若存在数A,B(A<B),数列{xn}中的每一项都在[A,B],即则称数列{xn}有界,A称为下界,B称为上界.或定义为:若存在M>0,使得4.收敛数列一定有界.证:

设取则当时,从而有取则有由此证明收敛数列必有界.说明:

此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.有数列机动目录上页下页返回结束Def.子列:{xn}为一数列,是一个自然数列,且满足:则称为{xn}的一个子列.说明:(1)子列的下标是k,而不是nk.(2)子列收敛:时,有(3)设h,k

为两个正整数,则h≥k当机动目录上页下页返回结束5.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证:设数列是数列的任一子数列.若则当时,有现取正整数K,使于是当时,有从而有由此证明机动目录上页下页返回结束(1).由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，

发散!则原数列一定发散.机动目录上页下页返回结束说明:(2).若{xn}有两个子列并起来就是整个数列{xn},且,则6.收敛数列的逐项可比性.且a>

b,则存在正整数N,若当n>N

时,有xn>yn.推论:若则a≥b.充分条件,而非必要条件.注:

推论说明Prop.6的逆命题不成立,即Prop.6只是且存在正整数N,当n>N

时,有xn>yn,机动目录上页下页返回结束7.收敛数列的保号性.若且时,有证:对a>0,取推论:若数列从某项起(用反证法证明)机动目录上页下页返回结束三.极限存在准则(柯西审敛原理)数列极限存在的充要条件是:存在正整数N,使当时,证:“必要性”.设则时,有使当因此“充分性”证明从略.有柯西目录上页下页返回结束内容小结1.数列极限的“

–N

”

定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则:柯西准则机动目录上页下页返回结束思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.

找一个趋于∞的子数列;方法2.

找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处机动目录上页下页返回结束刘徽(约225–295年)我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的《重差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献.他的“割圆术”求圆周率“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想.

的方法:柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微