相似三角形判定专项练习30题

相似三角形判定专项练习30题相似三角形的判定是平面几何中的核心内容之一，它不仅是证明线段成比例、角相等的重要工具，也是解决许多几何计算问题的基础。掌握相似三角形的判定方法，需要深刻理解各判定定理的条件与适用场景，并能在复杂图形中准确识别出潜在的相似三角形。本专项练习旨在通过一系列有针对性的题目，帮助读者巩固所学知识，提升分析问题和解决问题的能力。以下题目涵盖了不同判定定理的应用、不同图形结构的辨析以及一些常见的辅助线添加技巧，希望能对您的学习有所助益。练习题目基础巩固1.已知在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC。求证：△ADE与△ABC相似。2.在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'=70°，∠B=50°，∠C'=60°。判断这两个三角形是否相似，并说明理由。3.若△ABC的三边长分别为4、6、8，△DEF的三边长分别为2、3、4。试判断△ABC与△DEF是否相似。4.如图，在△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高。求证：△ACD∽△ABC∽△CBD。（请分别证明两对相似）5.已知△ABC中，AB=5，AC=4，BC=6；△A'B'C'中，A'B'=10，A'C'=8，B'C'=12。判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明依据。6.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AD=3，DB=6，AE=2，EC=4。求证：△ADE∽△ABC。7.如图，∠1=∠2，且AB·AD=AC·AE。求证：△ABC∽△AED。8.有两个等腰三角形，它们的顶角相等，试判断这两个等腰三角形是否相似，并说明理由。9.在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，BC=5，AC=4，EF=10，DF=8。判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。10.如图，在□ABCD中，E为BC延长线上一点，AE交CD于点F。求证：△ADF∽△ECF。辨析理解11.判断下列说法是否正确，并说明理由：(1)有一个角对应相等的两个等腰三角形相似。(2)有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形相似。12.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，给出下列条件：①∠ADE=∠C；②∠AED=∠B；③AD/AC=AE/AB；④DE/BC=AD/AB。其中能判定△ADE∽△ACB的条件有哪些？（直接写出序号）13.在△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于点F。请问△DFB与△EFC是否相似？为什么？综合应用14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E为AC的中点，ED的延长线交CB的延长线于点F。求证：FB·BC=FD·DC。15.已知：如图，△ABC中，点D在BC上，且∠BAD=∠C。求证：AB²=BD·BC。16.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D在BC上，且BD=4，过点D作射线DE交AC于点E，使△CDE与△CBA相似。求CE的长。（注意：可能有多种情况）17.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M是BC的中点，CD⊥AM于点D。求证：AM·BD=AB·BM。18.已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AB于点E，交AD于点H，交AC于点G，交BC的延长线于点F。求证：FD²=FB·FC。拓展提升19.如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，作BF⊥AE于点F，过点D作DG⊥AE于点G。求证：△AFB∽△DGA。20.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，点E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F。求证：AB/AC=DF/AF。21.已知：如图，在△ABC外取一点D，连接AD、BD，使∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠CBD。求证：△ABC∽△BDC。22.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过点C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F。求证：BP²=PE·PF。23.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC。点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G。求证：AG=AF。图形构造与变换24.已知△ABC，请你用尺规作图法，在△ABC内作出一个与△ABC相似，且相似比为1/2的三角形。（不写作法，保留作图痕迹）25.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到△ADE，连接BD、CE。若AB/AD=AC/AE，求证：△ABD∽△ACE。动态探究26.如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动。如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？27.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s。设运动时间为t秒（0<t<4）。连接PQ，当t为何值时，△PCQ与△ACB相似？实际应用与建模28.小明想利用标杆测量一棵大树的高度。他将一根长度为2m的标杆垂直插在地面上，测得标杆的影长为1.5m，同时测得大树的影长为9m。已知小明的眼睛离地面高度为1.6m，标杆直立时顶端与小明眼睛在同一水平线上（可忽略标杆粗细）。请你帮助小明计算大树的高度。29.如图，某数学兴趣小组为测量学校旗杆AB的高度，他们在离旗杆底部B点5米的C处放置了一个平面镜，然后后退到D点，从D点恰能看到平面镜中的旗杆顶端A的像，此时测得CD=2米，小明的眼睛离地面高度ED=1.6米。已知光的反射定律：反射角等于入射角。请根据以上数据求出旗杆AB的高度。挑战压轴30.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，求AP的长。答案与提示基础巩固1.提示：利用“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”（预备定理）。2.提示：先求出∠C=60°，则△ABC中∠A=70°，∠B=50°，∠C=60°；△A'B'C'中∠A'=70°，∠C'=60°，则∠B'=50°。三个角对应相等，所以相似。3.提示：4/2=6/3=8/4=2，三边对应成比例，所以相似。4.提示：△ACD∽△ABC：公共角∠A，∠ADC=∠ACB=90°；△ABC∽△CBD：公共角∠B，∠ACB=∠CDB=90°；进而△ACD∽△CBD。5.提示：5/10=4/8=6/12=1/2，三边对应成比例，所以相似。6.提示：AD=3，DB=6得AB=9；AE=2，EC=4得AC=6。AD/AB=3/9=1/3，AE/AC=2/6=1/3，夹角∠A公共，所以相似（SAS）。7.提示：由AB·AD=AC·AE可得AB/AC=AE/AD，结合∠1=∠2（即∠BAC=∠EAD），由SAS判定相似。8.提示：顶角相等，则底角也分别相等（(180°-顶角)/2），所以三个角对应相等，相似。9.提示：∠A=∠D，AC=4，DF=8，AC/DF=1/2；BC=5，EF=10，BC/EF=1/2。所以AC/DF=BC/EF，且夹角∠A=∠D，由SAS判定相似。10.提示：AD∥BC（平行四边形性质），所以∠ADF=∠ECF，∠DAF=∠E，由AA判定相似。辨析理解11.(1)错误。提示：如一个等腰三角形的顶角与另一个等腰三角形的底角相等，不一定相似。例如：顶角30°的等腰三角形与底角30°的等腰三角形。(2)错误。提示：必须是夹角对应相等。若相等的角不是夹角，则不一定相似（SSA不成立）。12.①②③。提示：①②是AA；③是SAS（夹角为∠A）；④若改为AE/AB则可，现有条件对应边不成比例（除非DE∥BC，但题目未说）。13.相似。提示：AB=AC得∠B=∠ACB。∠DFB=∠EFC（对顶角），∠B=∠ACB=∠ECF（∠ACB与∠ECF互补，∠B与∠FDB互补？不，过E作EG∥AB交BC延长线于G，可证△DBF≌△EGF，得EF=FD，∠E=∠FDB，又∠DFB=∠EFC，所以由AA得相似。或直接利用∠B=∠ECF，∠DFB=∠EFC。综合应用14.提示：先证△BDF∽△DCF。易知∠F=∠F，∠BDF=∠DCF（因∠CDE=∠ECD，∠ADF=∠BDF=90°+∠CDE）。所以FB/FD=BD/DC。再证△ACD∽△ABC，得BC/AC=AC/AB，且BD/DC=BC²/AC²（射影定理或相似比）。或更简便：由△BDF∽△DCF得FB/FD=BD/DC，再证△BCD∽△BAC得BC/AB=BD/BC即BC²=AB·BD，而CD²=AD·BD（射影定理），但可能绕远。关键是找到△BDF∽△DCF。15.提示：证明△ABD∽△CBA。∠BAD=∠C，∠B=∠B，所以AB/BC=BD/AB，即AB²=BD·BC。16.提示：两种情况。情况一：∠CDE=∠A，则△CDE∽△CAB，CE/CA=CD/CB，CD=BC-BD=8，CE/10=8/12，CE=20/3。情况二：∠CDE=∠B，则△CDE∽△CBA（注意对应顶点），CE/CB=CD/CA，CE/12=8/10，CE=48/5=9.6。17.提示：证△ABM∽△BDM。先证△ACM∽△CDM（射影定理模型），得CM²=MD·MA，因M是BC中点，BM=CM，所以BM²=MD·MA，即BM/MD=MA/BM，又∠BMD=∠AMB，所以△ABM∽△BDM，得AB/BD=AM/BM，即AM·BD=AB·BM。18.提示：连接AF。FH垂直平分AD，所以FA=FD，∠FAD=∠FDA。∠FAD=∠CAD+∠FAC，∠FDA=∠B+∠BAD。因为AD平分∠BAC，∠BAD=∠CAD，所以∠FAC=∠B。又∠AFC=∠BFA，所以△AFC∽△BFA，得FA/FB=FC/FA，即FA²=FB·FC，又FA=FD，所以FD²=FB·FC。拓展提升19.提示：∠AFB=∠DGA=90°。∠BAF+∠DAG=90°，∠ADG+∠DAG=90°，所以∠BAF=∠ADG。由AA得相似。20.提示：先证△AFD∽△BFD∽△ABC。E是AC中点，AD⊥BC，所以ED=EC=EA，∠EDC=∠ECD=∠BAD。∠FDB=∠EDC=∠BAD，∠F=∠F，所以△FBD∽△FDA，得FD/AF=BD/AD。又△ABD∽△CBA，得AB/AC=BD/AD。所以AB/AC=DF/AF。21.提示：设AC与BD交于点O。由∠ABD=∠CBD，∠BAD=∠BCD，可得△ABO∽△CBO，得BO²=AO·CO。再证△AOD∽△BOC，得AD/BC=AO/BO=DO/CO。进而通过角的关系证明∠BAC=∠BDC，结合∠ABC=∠DBC，由AA得相似。22.提示：连接PC。AB=AC，AD是中线，所以AD垂直平分BC，PB=PC，∠PBC=∠PCB。CF∥AB，所以∠F=∠ABP=∠ACP（因∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠ACB-∠PCB=∠ACP）。又∠FPC=∠CPE，所以△PCE∽△PFC，得PC²=PE·PF，又PB=PC，所以BP²=PE·PF。23.提示：证△AGF≌△AFB或通过计算。易证△AEG∽△CEB，△CDB∽△AEF。设AB=BC=2a，则AD=DB=a。可求出BF=(2√5/5)a，AF=(√5/5)a，AG=(√5/5)a，所以AG=AF。或证∠G=∠ABF，AB=AG。图形构造与变换24.提示：方法不唯一。例如：取AB、AC中点D、E，连接DE，则△ADE∽△ABC，相似比1/2。或在AB上取AD=1/2AB，过D作DE∥BC交AC于E。25.提示：由旋转得∠BAD=∠CAE。又AB/AD=AC/AE，所以△ABD∽△ACE（SAS）。动态探究26.提