初中七年级数学下册 第四章第10讲 解题技巧专题：全等三角形中的动点问题（高阶思维训练教案）

初中七年级数学下册第四章第10讲解题技巧专题：全等三角形中的动点问题（高阶思维训练教案）

一、教学内容分析

【核心素养导向】本节课是七年级数学下册第四章《三角形》的解题技巧专题课，内容承载着几何直观、逻辑推理、建模应用等核心素养的培养功能。全等三角形是初中几何的基础，而动点问题则是几何与代数的首次深度融合，是学生从静态几何思维迈向动态几何思维的关键转折点。【高频考点】【难点】纵观全国各地市期末统考及中考命题，全等三角形中的动点问题历来是区分度极高的压轴题源，它综合考察了全等三角形的判定与性质、路程与速度的关系、分类讨论思想、方程思想以及数形结合思想。【教材地位】本节内容位于北师大版七年级下册，是在学生系统学习了全等三角形的四种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）以及三角形的基本性质之后进行的综合性提升。它不仅是对全等三角形知识的应用与深化，更是为后续学习八年级的等腰三角形、直角三角形、勾股定理以及函数图象中的动点问题奠定坚实的思维基础和模型经验。

二、学情分析

【基础】授课对象为七年级学生，他们的优势在于已经掌握了全等三角形的基本判定方法，具备初步的几何推理能力，对行程问题中的路程、速度、时间关系较为熟悉。【难点痛点】然而，学生的思维仍以静态思维为主，面对“动点”这一动态元素时，普遍存在畏难情绪和心理障碍。具体表现为：无法想象点的运动过程，即“看不懂动”；无法在运动变化中捕捉到满足条件的瞬间静态图形，即“画不出图”；无法根据全等的对应关系进行分类讨论，即“分不清类”；无法利用代数工具解决几何问题，即“列不出方程”。【教学对策】因此，本节课的教学设计旨在通过“化动为静、以静制动”的策略，引导学生掌握解决动点问题的通性通法，通过一题多变、多题归一，帮助学生构建解题模型，突破思维定式，提升数学核心素养。

三、教学目标设定

1.知识与技能目标：学生能够理解动点问题的基本特征，掌握用含时间t的代数式表示线段长度的方法；能够熟练运用全等三角形的判定与性质，解决单动点或双动点问题；能够根据对应顶点的不同，对动点问题中的全等情况进行无遗漏、无重复的分类讨论。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、想象、推理等活动，体验“化动为静”的数学思考过程，掌握“画出瞬间静态图”这一核心解题步骤；通过小组合作探究，体会分类讨论思想、方程思想以及数形结合思想在解决动态几何问题中的价值。

3.情感态度与价值观目标：培养学生不畏困难、勇于探索的科学精神，在解决复杂问题的过程中获得成功的体验，增强学习数学的自信心，初步形成欣赏动态几何美的审美情趣。

四、教学重难点

1.【教学重点】用代数式表示动点运动路径，将动态几何问题转化为静态全等问题；根据对应关系分类讨论，利用全等三角形对应边相等建立方程。

2.【教学难点】理解动点问题中“对应关系”的不确定性，并能据此进行完整且合理的分类；在复杂图形中准确找到全等三角形的对应边和对应角。

五、教学实施过程

（一）课堂导入：唤醒经验，揭示课题

教师首先在大屏幕上展示一个静态的三角形ABC，其中AB=AC=10cm，BC=8cm。随后，一个点P从点B出发，沿BC边向终点C匀速运动。教师提问：这是一个静态的三角形，现在加入一个运动的点P，如果点P的速度为2cm/s，运动时间为t秒，那么你能用含t的式子表示哪些线段的长度？学生们迅速反应：BP=2tcm，PC=(8-2t)cm。教师接着追问：如果此时再引入一个点Q从点C出发沿CA运动，连接AP、AQ、PQ，那么整个图形就“活”了起来。在运动过程中，虽然图形的形状在变，但有些关系却可能保持不变，比如某两个三角形可能全等。这节课，我们就来探究这个极具挑战性又充满魅力的专题——全等三角形中的动点问题。这样的导入，从学生最熟悉的静态图形入手，通过添加动点元素，自然地引出课题，同时复习了路程公式，为后续学习扫清了代数障碍。

（二）核心概念建构：化动为静，四步破题

【基础】这是解决一切动点问题的纲领性步骤，教师必须带领学生深刻理解并内化。教师给出解决动点问题的“四步法”口诀：一动一静画瞬间，用t表示线段长。找准对应来分类，方程求解验情况。

第一步，画出瞬间静态图。这是最关键也最难的一步。教师要强调，无论点如何运动，我们要找的是“当两个三角形全等时”的那个瞬间。在这个瞬间，所有点都“定格”在特定位置，整个图形变成了一个静态图形。学生必须在草稿纸上将这个瞬间的图形画出来，不能只看原题的运动图。

第二步，用含t的代数式表示所有相关线段。这是沟通几何与代数的桥梁。教师要引导学生关注点的起点、终点、运动方向、速度，准确写出涉及动点的线段长度。对于不确定的线段（如点P在线段上某段），也要用含有t的式子正确表示。

第三步，找准对应关系进行分类。这是解决动点问题的精髓所在，也是学生最容易失分的地方。由于题目中往往只告诉两个三角形全等，而没有明确对应顶点，因此必须根据三角形顶点之间的对应关系进行分类讨论。通常可分为两类或三类。

第四步，利用对应边相等列方程求解并验证。将第二步中的代数式代入第三步得到的等式中，得到关于t（或速度v）的方程。解方程后，务必将解代回原题，检查此时点的位置是否在运动范围内（如是否在线段上，是否超出了终点），确保答案的合理性。

（三）典型例题精析：单动点问题与分类讨论的初步体验

【例题1】如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点。点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动。

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由。

（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

【教学实施】

【重要】第一问是为第二问做铺垫的。教师引导学生严格按照四步法操作。第一步画瞬间图：当t=1时，根据速度，BP=3cm，CQ=3cm。因为BC=8cm，所以PC=BC-BP=5cm。又因为D是AB中点，AB=10cm，所以BD=5cm。此时，PC=BD。第二步表示线段已经完成。第三步找对应：在△BPD和△CQP中，我们已经知道BD=PC，∠B=∠C（等腰三角形性质），这是一组边和一组角分别相等。要证明全等，还需要一组边。如果利用SAS，那么BP应该等于CQ。而BP=3cm，CQ=3cm，正好相等。因此可以判定全等。这里教师引导学生自然完成推理，并未涉及分类。

第二问是本例题的精髓。教师提问：题目说△BPD与△CQP全等，但并未指明对应顶点。在已知∠B=∠C（一组对应角相等）的情况下，这两个三角形的全等对应关系有几种可能？引导学生思考：既然∠B=∠C，那么点B与点C已经是对应顶点。那么剩下的对应关系有两种：

情况一：点B与点C对应，那么点P与点Q对应，点D与点P对应（此时用SAS，需BP=CQ，BD=CP）。或者理解为：BD与CP是对应边，BP与CQ是对应边。

情况二：点B与点C对应，那么点P与点P对应？这显然不可能，因为两个三角形是△BPD和△CQP，顶点P在两个三角形中都出现了。实际上，我们需要考虑的是“边角边”中的“边”的对应。由于∠B=∠C，夹这个角的两边分别是BA、BP和CA、CQ。但这里我们用的是△BPD和△CQP，所以更精准的对应是：BD和CQ是对应边，BP和CP是对应边。这是本题最关键的思维突破点。教师可以引导学生利用“SAS”判定中，两个“S”必须是夹角的两边这一性质来分类。

具体操作：在△BPD和△CQP中，∠B=∠C。要使两三角形全等，则夹∠B的两边BP、BD与夹∠C的两边CQ、CP必须对应相等。但这种对应有两种顺序：

第一种：BP=CQ，且BD=CP。

第二种：BP=CP，且BD=CQ。

由于VP≠VQ，即t相同时BP≠CQ，所以第一种情况BP=CQ不成立（因为速度不等，时间相同）。因此只能是第二种情况：BP=CP，且BD=CQ。

由BP=CP，且BP+CP=BC=8，可得BP=CP=4cm。因为BP是P点走的，速度为3cm/s，所以时间t=4/3秒。再由BD=CQ，BD=5cm，可得CQ=5cm。Q点的速度VQ=CQ/t=5/(4/3)=15/4=3.75cm/s。

最后验证：当t=4/3秒时，P在BC中点，Q在CA上且CQ=5cm<CA=10cm，符合题意。

【难点突破】通过此题，教师着重强调：当两个三角形全等且已知一组对应角时，要以该角为突破口，分析其夹边的两种对应情形，完成分类讨论。

（四）变式训练：双动点问题与存在性探究

【例题2】（改编自教材习题）如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→B→C运动，点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿C→D→A运动。当点P到达点C时，两点同时停止运动。设运动时间为t秒。是否存在t，使得△ABP与△QCD全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。

【教学实施】

【热点】此题图形由三角形变为四边形，动点运动路线由单边变为折线，难度进一步加大。教师引导学生先分析运动过程：P从A到B需6s，从B到C需12s，总时间18s。Q从C到D需3s，从D到A需12s，总时间15s。但题目说P到C时同时停止，所以有效时间取较小值，即0≤t≤15？不对，应该是P到C即停止，P到C的时间是18s，但Q最多运动15s就会到A停止，所以t最大为15s。但15s时Q在A，P在？15s时，P已经走完AB（6s），又走了BC上的9s，离B点9cm，还未到C。所以是可行的。

接下来，按照四步法，画出瞬间静态图。但难点在于，P和Q