2025-2026学年高中函数定义教案

2025-2026学年高中函数定义教案科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）课程基本信息1.课程名称：函数的定义

2.教学年级和班级：高一（3）班

3.授课时间：2025年9月10日第2节课

4.教学时数：1课时（45分钟）核心素养目标二、核心素养目标通过具体实例抽象函数概念，培养数学抽象素养；分析函数定义中的“两个非空数集”“唯一对应关系”等核心要素，发展逻辑推理素养；运用函数定义解释生活中的变量关系，提升数学建模素养；结合函数图像直观理解函数概念，增强直观想象素养。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：高一学生已通过初中数学课程学习变量概念、一次函数和二次函数的基本性质，理解变量间的依赖关系，但对函数的严格定义（如课本强调的两个非空数集和唯一对应关系）缺乏深入理解，仅停留在表面应用。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：学生对数学在现实生活中的应用表现出浓厚兴趣，具备一定的代数运算能力，但抽象逻辑推理能力较弱；学习风格倾向于直观教学和小组合作，通过图像和实例辅助理解。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在抽象函数定义的学习中，学生可能难以准确把握“唯一对应关系”的核心要素，尤其在区分函数与一般关系时易混淆；在解决实际问题时，应用定义分析变量关系的能力不足，需要教师引导强化概念理解。教学资源四、教学资源多媒体设备（投影仪、电子白板）；实物教具（坐标系模板、函数图像示例卡）；课程平台（学校智慧校园平台）；信息化资源（课本配套函数定义动画、互动习题库）；教学手段（PPT课件、GeoGebra绘图软件、小组讨论活动、板书设计）教学过程设计**导入环节（5分钟）**

1.**情境创设**：播放城市24小时气温变化动画（投影展示），提问："温度随时间变化有什么规律？能否用数学方式描述这种关系？"

2.**问题引导**：学生观察后回答，教师追问："时间t与温度T是否一一对应？若同一时间有两个温度值，这种关系还成立吗？"

3.**揭示课题**：结合学生回答，引出"函数"概念，板书课题——《函数的定义》。

**讲授新课（20分钟）**

1.**概念建构（8分钟）**

-**实例分析**：展示课本例题（如正方形面积与边长关系），引导学生归纳共同点："两个非空数集""唯一对应关系"。

-**定义解读**：逐句解析课本定义，强调"对应关系f"的抽象性，板书核心要素：定义域、值域、对应法则。

-**反例辨析**：呈现"y²=x"图像，提问："这是函数吗？为什么？"（学生讨论后明确违反"唯一对应"原则）。

2.**师生互动（7分钟）**

-**互动问答**：

教师："函数f(x)=2x+1中，f(3)的值是多少？如何计算？"

学生："7，代入x=3得2×3+1=7。"

教师追问："若f(x)=x²，f(-2)与f(2)结果相同，是否违反唯一对应？"

学生辨析："不违反，因定义域中不同x可对应相同y。"

-**小组活动**：每组列举1个生活函数实例（如购物金额与单价），并说明定义域和对应法则。

3.**图像理解（5分钟）**

-**动态演示**：用GeoGebra绘制y=|x|图像，拖动点观察y值随x的变化，强化"唯一对应"的直观性。

-**关键提问**："垂直于x轴的直线与图像交点有几个？交点个数与函数定义有何关系？"（学生总结：交点唯一则满足函数定义）。

**巩固练习（15分钟）**

1.**基础判断（5分钟）**

-快速问答：给出关系式（如x+y=1、y=√x），学生举牌判断是否为函数，教师纠错并强调定义域限制。

2.**分层任务（8分钟）**

-**基础层**：课本习题1（判断图像是否为函数，如圆、抛物线）。

-**提升层**：分析"人均收入与年份"案例，讨论定义域的实际意义（如年份需为正整数）。

-**创新层**：设计一个"非函数"关系，并说明如何修改使其成为函数。

3.**师生互动（2分钟）**

-**巡视指导**：教师分组观察，针对"分段函数"理解困难的学生，用阶梯电价案例辅助解释。

-**即时反馈**：抽取典型练习投影点评，重点解析"多值对应"的错误根源。

**课堂总结（5分钟）**

1.**知识梳理**：学生闭眼复述函数定义三要素，教师板书关键词：数集、对应、唯一。

2.**思想升华**：提问："函数定义如何体现数学的严谨性？"（学生回答："通过'唯一对应'排除歧义"）。

3.**作业布置**：课本习题2（收集生活中的函数实例并标注定义域）。

**时间分配总览**：导入5分钟+新授20分钟（含互动12分钟）+练习15分钟+总结5分钟=45分钟。拓展与延伸1.拓展阅读材料

（1）《函数概念的演变》——阅读教材“阅读与思考”栏目，了解17世纪莱布尼茨首次使用“function”一词描述曲线与点的依赖关系，到18世纪欧拉提出“函数是由一个变量与常量组成的解析表达式”，再到19世纪狄利克雷给出“函数是两个变量之间的对应关系”的严格定义，体会函数概念的抽象化过程。

（2）《生活中的函数实例集锦》——结合教材例题，收集并整理以下三类函数案例：①分段函数：出租车计价规则（起步价3公里内8元，超过后每公里1.5元）、居民阶梯电价（月用电量0-220度0.5元/度，221-400度0.6元/度，400度以上0.8元/度）；②隐函数：圆的方程x²+y²=1中y与x的对应关系（非显式函数但满足唯一对应）；③复合函数：邮资计算（首重100克内10元，每增加20克加2元，其中邮资是重量的分段函数，重量又是物品数量的函数）。

（3）《函数定义与集合语言的关联》——研读教材“集合与函数”章节，理解函数定义中“非空数集A、B”即集合元素的范围，“对应关系f”是从A到B的映射，明确“唯一对应”即集合A中每一个元素在集合B中有且仅有一个元素与之对应，深化对函数与集合关系的认知。

2.课后自主学习和探究

（1）**函数定义域的深度探究**

①收集3个生活中函数实例，分别写出其定义域，并说明实际意义。例如：某超市商品打折活动（购买数量x与折扣率y的关系，定义域x∈N*且x≤100）、手机流量套餐（每月使用流量x与费用y的关系，定义域x∈[0,+∞)）。

②思考：函数f(x)=√(x-2)的定义域在数学中为[2,+∞)，若表示“正方形面积与边长关系”，定义域是否相同？为什么？（提示：实际问题中边长需为正实数，定义域仍为[2,+∞)；若表示“人数与年龄关系”，定义域需为整数，需进一步限制）。

（2）**“非函数”关系的辨析与转化**

①判断下列关系是否为函数，并说明理由：①气温与日期的关系（同一天可能有多个气温值）；②等腰三角形顶角与底角的关系（顶角确定后底角唯一确定）；③x与y满足y²=x（x≥0，每个正x对应两个y值）。

②尝试将“非函数”关系转化为函数：对y²=x，限定y≥0，得到y=√x，说明如何通过限制定义域或值域使关系满足函数定义。

（3）**函数定义的跨学科应用**

①物学：匀速直线运动中，路程s与时间t的关系为s=vt（v为速度常数），分析其定义域（t≥0）、值域（s≥0）及对应法则（乘法运算）。

②经济学：某商品需求量Q与价格p的关系为Q=100-2p（p>0），当p=30时，Q=40；当p=40时，Q=20，验证是否满足函数定义，并说明“唯一对应”在实际问题中的意义（即价格确定时，需求量唯一确定）。

（4）**数学史中的函数思想**

查阅资料，了解中国古代数学家对函数关系的早期认识，如《九章算术》中“粟米互换”比例问题（“粟率五十，粝率三十”，即粟米与粝米的兑换比例为50:30，可视为函数关系y=3/5x），体会函数思想在古代数学中的应用。

（5）**挑战性探究**

定义“函数的复合”：若y是u的函数（u=f(x)），u是x的函数（y=g(u)），则y关于x的函数称为复合函数，记作y=g(f(x))。例如：y=√(x+1)由y=√u和u=x+1复合而成。尝试写出以下复合函数的对应关系：①y=(2x-1)²；②y=1/x²（提示：可分解为y=1/u和u=x²）。思考：复合函数的定义域与原函数定义域有何关系？（例如y=√(x+1)的定义域需满足x+1≥0，即x≥-1，由u=x+1的值域u≥0和y=√u的定义域u≥0共同决定）。板书设计①**概念要素**

-非空数集A（定义域）

-非空数集B（值域）

-对应关系f（唯一对应）

-函数符号：y=f(x)

②**定义本质**

-核心条件：A中任意元素x，在B中有且仅有一个元素y与之对应

-反例辨析：多值对应（如y²=x）、未定义域（如分母为零）

-几何特征：垂直于x轴的直线与图像交点唯一

③**应用要点**

-分段函数：不同区间对应不同解析式（如阶梯电价）

-隐函数：由方程隐含确定的对应关系（如x²+y²=1）

-实际意义：定义域需结合实际问题限制（如时间t≥0）重点题型整理1.题型：判断关系y=3x+2是否为函数。答案：是，因为每个x值对应唯一的y值。

2.题型：求函数f(x)=√(x-1)的定义域。答案：x≥1。

3.题型：求函数f(x