2026年高考数学总复习重点专题精讲

第一部分高中数学思想方法解题聚汇函数思想方程思想真|题示|例1.(2024·新课标I卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),A.—2B.—1【解题关键】根据已知条件中向量垂直，可得b.(b—4a)=0,建立关于x的方程即可求解.答2.(2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4,前8项的和等于68,则这个数列的公比等于_【解题关键】设等比数列的首项为a1,公比为q,由等比数列的前n项和公式解方程组求出公比q.答案：2.3.(2024·新课标I卷)若曲线y=e+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则【解题关键】令f(x)=eˣ+x,则f(x)=e+1,所以f(0)=2,所以曲线y=eˣ+x在点(0,1)处的切线方程为y=2x+1.令g(x)=ln(x+1)+a,则设直线y=2x+1与曲线y=g(x)相切于立的x的取值范围是()2.(2025·衡水模拟)已知正数a,b,c满足aea=bInb=eClnc=1,则a,b,c的大小关系为A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b焦点，P是双曲线C上一点，若直线PF₁和OP的倾斜角分别为α和2a,且则双曲线C的思想2数形结合思想数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”,把直观图形数量化，使形更加精确.【解题关键】画出函数y=sinx和函数在[0,2π]上的图象，由图可知，两函数图象有6个交点.答案：C.C.f(x)≥2当且仅当x≥√3f(x)在x=1处取得极小值，故奇函数f(x)在x=-1处取得极大值.对于选项C,作出f(x)的大致图象，由图可知C选项错误.答案：ABD.xx【解题关键】因为x=2是函数f(x)的极值点，所以由数轴标根法可得a=2,作出f(x)的图象如图所示，所以a=2符合题意，则f(x)=(x-1)(x-2)².答案：-4.C.[2√2-2,2√2+2]D.[2√2-2,2]A.(一∞,0)B.(一∞,1)C.[-2,1]3.(2025-湖北模拟)已知抛物线y²=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线交抛物线于点A,BA在第一象限),过A,B两点分别作准线的垂线，垂足为C,D.连接CF交y轴于点H,若DH//AB,则直线AB的斜率为()4.(2025·河南模拟)过双曲线的右支上一点P,分别向圆C1:(x+7)²+y²=4和圆C2:(x-7)²+y²=1作切线，切点分别为M,N,则|PM²—|PM²的最小值为_·思想3转化与化归思想转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.1.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)²-1,g(x)=cosx+2ax,当x∈(一1,1)时，曲线y=【解题关键】令h(x)=f(x)一g(x),x∈(一1,1),原问题等价转化为h(x)有且仅有一个零点，可知h(x)为偶函数，根据偶函数图象的对称性可知h(x)的零点只能为0,即可得a=2,并代入检验即可.答案：D.A.x+y≤1B.x+y≥-2C.x²+y²≥1【解题关键】结合三角函数的性质分别求出x+y与x²+y²的取值范围.答案：BD.【解题关键】将函数转化为在每段函数中借助导数分析函数的单调性，进而求解最小值.答案：1.1.(2025·株洲模拟)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C:1(a>0)的离心率则椭圆C的蒙日圆的方程为()A.x²+y²=9B.x²+y²=7C.x²+y²=52.(2025·太原模拟)某工件是底面半径为1,母线长为3的圆锥，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的材料利用率为(材料利用率=新工件的体积/原工件的体积)()b,c的大小关系不可能是()A.a=b=cB.a>b>cC.b>c>a思想4分类讨论思想分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.1.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b),若f(x)≥0,则a²+b²的最小值为()【解题关键】解法一：f(x)的定义域为(一b,+o),分类讨论—a与一b,1-b的大小关系，结合符号分析判断，即可得b=a+1,代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析In(x+b)的符号，通过分类讨论进而可得x+a的符号，即可得b=a+1,代入可得最值.答案：C.2.(2024·全国甲卷)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3次，每次取1个球.设m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于的概率为_·【解题关键】根据排列可求样本点的总数，设前两个球的号码为a,b,第三个球的号码为c,则a+b—3≤2c≤a+b+3,就c的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.答案：3.(2022·新课标Ⅱ卷)曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为_【解题关键】当x>0时设切点为(xo,Inxo),求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出xo=e,即可求出切线方程当x<0时，同理可求出切线方程.答案：1.(2025·保定模拟)已知函数(a∈R),若函数f(x)有四个零点，则a的取值范围是()A.(一∞,0)B.(e,+○)=0,则实数m的取值范围是→为椭圆C:的两个焦点，若C上存在点M满足MF₁·MF₂4.(2025·德阳模拟)已知函若函数f(x)有两个不同的零点，则a的取值范围为·第②步检验与排除直接取特殊自变量、特殊点、特殊图形、特殊位置、特殊函数、特殊数列等特值检验：对于定性、定量问题，直接通过特值简化题干，速求结论根据检验结果，直接选出除错误选项1.(2025·全国一卷)已知2+log2x=3+log₃y=5+logsz,则x,y,z的大小关系不可能是()【多想少算】令则得x>y>z;令x=8,则y=9,z=1,得y>x>z;令x=64,则y=243,z=125,得y>z>x.排除A、C、D.答案：B.C.λμ=13.(2025·上饶模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数且f(O)=-1,g(x)=f(x-1)是奇函数，则f(24.(2025-河北模拟)已知抛物线C:y²=8x的焦点为F,准线为lo,过焦点F且倾斜角为的直线1与抛物线交于A,B两点，则方法2验证法A.{0,1,2}B.{1,2,8}C.{2,8}【多想少算】因为2不满足x³=x,所以2∈(A∩B),排除A,B,C.答案：D.则r的取值范围是(A.(0,1)B.(1,3)C.(3,+○)【多想少算】圆心(0,一2)到直线y=√3x+2的距离d=2,当r=1时，圆上有一个点到直线的距离为1,当r=3时，圆上有三个点到直线的距离为1,所以要使圆上有且仅有两个点到直线的距在R上单调递增，则a的取值范围A.[一∞,0]B.[-1,0]【多想少算】当a=1时，f(x)=—(x+1)²在(一∞,0)上不单调，可2时，对于函数f(x),当x从0的左侧趋近于0时，f(x)→2,而fO)=1,所以f(x)在R上不单调，可排除A选项.答案：B.的通项公式bn=()2.(2025·安徽模拟)已知函数,且f(4—1)>f(3),则实数x的取值A.(2,+∞)B.(一∞,2)C.(1,+∞)D.(一∞,1)3.(2025·衡阳模拟)已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，图象最契合的函数是()A.y=sin(e+ex)C.y=cos(e—e⁻x)D.y变),然后向左平移个单位长度得到函数fx)的图象，则()A.是函数f(x)的一个解析式B.直线是函数f(x)图象的一条对称轴方法3构造法问题常采用构造新函数，等1.(2024·天津高考)一个五面体ABC-DEF如图所示，已知AD//BE//CF,且两两之间的距离为1,AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的体积为()【多想少算】采用补形法将五面体ABC-DEF补成一个棱柱，再利用体积公式求解即可.答案：A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b【多想少算】构造函数f(x)=e—(x+1),利用导数性质求出e≥x+1,由此可得a<b;构造函数g(x)=xeˣ+In(1—x),0<x≤0.1,由g(x)的单调性可得出a>c,由此能求出结果.答案：C.3.(2024·全国甲卷)曲线y=x³-3x与y=—(x-1)²+a在(0,十o)上有两个不同的交点，则的取值范围为_【多想少算】令x³-3x=—(x-1)²+a,分离参数a,构造新函数g(x)=x³结合导数求得g(x)的单调区间，画出g(x)的大致图象，数形结合即可求解.答案：(一2,1).1.(2025-湖北模拟)已知定义在R上的函数满构解集为()A.(一∞,2)B.(1,十∞)C.(一∞,1)D.(2,+∞)长为2的正三角形，E,F分别是PA,AB的中点，∠CEF=90°,则球O的体积为()A.8√6πB.4√6π方法4估算法对于选择题中的有些题目解答无需过程，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次.1.(2025·全国一卷)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的√7倍，则C的离心率为()【多想少算】由题意得c>b=√7a,故C的离心率因为选项A,B,C都小于或等于√7,所以正确选项为D.答案：D.A.45°B.60°C.120°【多想少算】由题意得BC<AB<AC,所以A<C<B.因为A+B+C=180°,所以A<60°,通过选项可以判断A=45°.答案：A.3.(2023·新课标I卷)(多选题)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有()A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4m的四面体C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体【多想少算】直径为0.99m的球体可直接放入棱长1m的正方体容器，所以A正确；连接题目中正方体的对角线，可得棱长为√2m的四面体，所以B正确；正方体内最长的线段为体对角线，长为√3m,所以C错误；通过作图计算可得D正确.答案：ABD.1.(2025·安庆模拟)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9√3,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()2.(2025·江西模拟)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2,则此三棱锥的体积为()3.(2025·滨州模拟)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则方法5关联法逻辑推理快解多选确)选项D:多选题在判断选项D的正误时较为困难.这时若在选项ABC中排除两个错误选项，则另一个选项与选项D均为正确项；若能判断选项ABC为正确选项，则选项D必错误C.S₅=8【多想少算】选AD.因为a5+S₅≠8,所以选项BC与选项D明显矛盾第②步(计算关键选项)由条件得出ai=4,则第③步(逻辑推理下结论)D.AC²+BC²=3【多想少算】选ABC.第①步(关联法发现矛盾选项)由余弦的二倍角公式化简得sinC=sin²A+sin²B,所以A正确；分类讨论得出发现选项B和选项D明显矛盾，必有其中一个选项错误第②步(计算关键选项)由则,可以取确第③步(逻辑推理下结论)A正确，B正确，C正确，所以D必然错误1.(2025·衡水模拟)(多选题)等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a4=1B.an=3n—3D.若bn=(一1)"an,则{bn}的前20项和T₂o=20A.f(x)图象的一个对称中心B.f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象D.若y=f(x)的图象在区间(0,m)上与直线y=1有且只有6个交点，则=2FB.记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V1,V₂,V₃,则()C.V₃=V₁+V₂第二部分高考六大专题题型解法攻略微专题1三角恒等变换、三角函数图象与性质1.同角三角函数的基本关系式的变形2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.二倍角的正弦、余弦、正切公式4.半角公式5.辅助角公式6.恒等变换常用结论D(2)1+cos2a=2cos²α,1—cos2a=2sin²a.7.三角函数的性质性质最小正周期单调性对称中心：(kπ,递增区间：递减区间：对称中心：十π],k∈Z无对称轴；对称中心：π递增区间：无递减区间8.关于三角函数奇偶性的常用结论A.—3mD.3mamnpq微点二三角函数的图象考向1三角函数图象的变换例2(1)将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为()(2)将函的图象向左平移m(m>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则m[听课记录]考向2三角函数的图象与解析式[听课记录]图象的一个对称中心为,则微点三三角函数的性质A.f(x)与g(x)有相同的零点B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴[听课记录] 研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)=Asin(wx+φ)+h的形式，然后结合正弦函数y=sinx的性质求f(x)的性质.思路①:根据y=sinx的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；思路②:另一种是由x的值或范围求得t=wx+φ的范围，然后由y=sint的性质判断各选项.A.f(x)的最小正周期为2πB.f(x)上单调递增C.直线是曲线y=f(x)的一条对称轴D.将y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到y=—2cos2x的图象上单调递增，则正实数w的取值范围是把握高考微点，实现素能提升完成P117微练(一)1和差化积与积化和差公式及应用和差化积与积化和差公式在数学中，特别是在三角函数的计算和化简过程中，是非常有用的工具，能将复杂的三角函数和差或乘积形式转化为更简单的形式，从而简化计算过程.2.积化和差公式题型一和差化积公式的应用角度1:和差化积公式的直接应用 角度2:和差化积公式的融合应用例2(1)若则sinA+sinB的最大值是_ 题型二积化和差公式的应用角度1:积化和差公式的直接应用角度2:积化和差公式的融合应用例4(1)(2025-湖北联考)(多选题)如图所示，已知角α,)的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为A,B,M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C,则下列说法正D.点M的坐标为(2)1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法，要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分，高斯基碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α,[听课记录]把握高考微点，实现素能提升完成P119微练(二)2三角函数中w的取值范围问题三角函数中求w的取值范围是高考的热点.考查内容主要是函数的单调性、对称性、极值与最值、零点等知识的综合，需要学生能够熟练运用三角函数的基本性质和图象.试题多以单选题、多选题、填空题形式呈现.题型一与函数的单调性有关例1已知函上单调递减，则w的[听课记录] 题型二与函数的最值、极值有关取值范围是()[听课记录] 例3设函数,若对任意的实数x都成立，则w的最小值为[听课记录] 题型三与函数的对称性有关若C关于y轴对称，则w的最小值是()[听课记录] 题型四与函数的零点有关例5(2023·新课标I卷)已知函数f(x)=coswx—1(w>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点，则把握高考微点，实现素能提升微专题2平面向量及其应用1.平面向量数量积的性质设a,b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与b的夹角，则(2)a⊥b⇔a·b=0.(5)|a·b|≤|a||b|.(1)向量a在向量b上的投影向量等于(2)已知OA=λOB+μOC(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1.以题梳点·知考法梳理最新题知考法明规律微点一平面向量的模与夹角向量的模与夹角问题的求解方法(1)平方法：若已知两个向量的模的关系或者向量方程，则常常通过平方运算求解；(2)坐标法：若向量之间存在垂直关系，则可建立平面直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算；(3)几何法：若存在或可以得到动端点的向量的模为定值，则可应用几何法(需尝试与圆有关)求解有关的模或角的范围问题.训练1(1)已知向量|a|=|b|=1,且a+b—2c=0,则cos<a,微点二平面向量的数量积—_·[听课记录]求非零向量a,b的数量积的方法三x1x2+y1y2;②若未知向量的坐标，则可通过建立平面直角坐标系写出向量的坐标，进而利用坐标运例3(1)已知向量a=(t,2),b=(2,—1).若a与b的夹角的余弦值为则实数[听课记录] 问题解决方法的基础上，应用方程思想求解.训练3(1)如图，边长为2的等边三角形ABC的外接圆为圆O,P为圆O上任一点，若AP=xAB+yAC,则2x+2y的最大值为() (2)(2025·贵州毕节一模)已知正方形ABCD的边长为2,且CE= 1.(2025·全国二卷)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a—A.x=-3是a⊥b的必要条件B.x=1+√3是a//b的必要条件C.x=0是a⊥b的充分条件A.3m—2nB.—2m+3n把握高考微点，实现素能提升完成P121微练(四)微专题3解三角形核心整合1.正弦定理3.三角形的面积公式 以题梳点·知考法梳理最新题知考法明规律微点一正、余弦定理解三角形——教考衔接定理、两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式等相结合；第二问一般与长度、周长、面积等有关.形面积公式，建立关系式求解，有时也可以用等面积法或几何法解决.B,a²+b²—c²=√2ab.A=2.变式1记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC=cosB.微点二最值、范围问题BcosA=0.(2)若△ABC外接圆的直径为2√3,求2c—b的取值范围.线中，并解答问题.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.微点三解三角形中的情境问题一个示意图，现有A,B,C三点，且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C满足∠A'C'B′=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面的高度差约为.(精确到1)[听课记录] 解三角形的实际应用问题的步骤(1)分析：明确已知与所求，画出示意图.(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量集中在有关的三角形中，建立解三角形问题的数学模型.(3)求解：解三角形，求得数学模型的解.(4)检验：检验求出的解是否具有实际意义.训练2如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南.某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB=60米，BC=60米，CD=40米，∠ABC=60°,∠ 真题巧用·明技法这些高考题值得再做一遍②的最小值.2.(2022·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S₂,S3.已知把握高考微点，实现素能提升完成P123微练(五)“爪型”三角形及应用在解三角形中，“爪型”结构三角形问题是近几年高考的热点.所谓“爪型”结构三角形是指在给定的一个三角形中，连接一个顶点和对边上的任意一点构成的图形，这类问题可分为三角形的中线，高线以及角平分线问题，主要考查学生的数学运算，逻辑推理和直观想象等数学核心素养.类型一中线问题例1(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为√3,D为BC的中点，且AD=1.(2)设AB=5,求AB边上的高.训练2在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,为边BC的中点，求AD的长.类型二高线问题的对边分别为且(2)若a=8,b=5,CH是边AB上的高，且CH=mCA+nCB,类型三角平分线问题例3(2025·江西一模)如图，在△ABC中，∠ACB的平分线与AB交于点D,AD:AC:CD=3:5:7.(1)求cos∠ACB;(1)求∠BAC的大小；的对边分别为a,b,c,且acosB+bcosA=2ccosA.的角平分线，求AD的长.类型四“爪型”三角形的拓展例4(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°,AD=2,取得最小值时，BD=_[听课记录] ·方法提炼·型问题训练4记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若AD⊥BC,交BC边于D点，∠BAC把握高考微点，实现素能提升完成P125微练(六)规范答题一三角函数(考前观摩大题解题规范)考题(2025全国二卷)(13分)已知函数fx)=cos(2x+φ(O≤9<π),(1)求φ;,求g(x)的值域和单调区间.(2)设函数,求g(x)的值域和单调区间.[解题关键]根据和φ∈(0,π),求得φ第①步：根据(1)求得f(x)的解析式，将其代入g(x)第②步：根据两角和的余弦公式将其展开，再合并第③步：“逆用”两角和的余弦公式将其化简第④步：结合余弦型函数的值域求得g(x)的值域第⑤步：将’看作一个“整体”,分别代入余弦函数的单调递减区间和单调递增区间，进而求得g(x)的单调区间且O≤φ<π,所以[规范解答]78分分因为余弦函数y=cosθ的值域是[-1,1],令那么函数y=√3cosθ的值域就是[一√3,√3所以g(x)的值域为[-√3,√3].9分所以g(x)的单调递增区间为11分所以g(x)的单调递减区间为.13分[得分保障]得分点第(1)问的关键是根据得出ø的值.第(2)问化简得到得1分，用辅助角公式化简正确得1分，求出值域得1分，写出单调递增区间和单调递减区间各得2分.失分点第(1)问忽略φ的范围，导致答案错误.第(2)问两角和的余弦公式展开错误，导致后续合并项错误；辅助角公式应用失误(如特殊角取错),导致值域和单调区间全错；值域求解错误，如化简后的系数错误，则值域必然错误；单调区间端点错误或周期遗漏，部分学生可能仅写出一个周期内的单调区间(如k=0时的单调区间);求解复合函数单调区间时，未考虑内层函数，导致结果错误.[教材链接]本题源自人教A版必修第一册第255页复习参考题5综合运用第21题；湘教版必修第一册第206页复习题五第9题，必修第二册第81页习题2.2第5题.专题二数列微专题4等差数列、等比数列 核心整合1.等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)(1)等差数列的通项公式：an=a₁+(n—1)d.(2)等比数列的通项公式：an=a1·q"-1.(3)等差数列的前n项和公式：(4)等比数列的前n项和公式：,q≠1,na1,q=1.2.等差数列、等比数列的性质N*),则对于等差数列，有am+an=ap+aq=2ak;对于等比数列有aman=apaq=ak.(2)前n项和性质：对于等差数列有Sm,S₂m—Sm,S3m—Szm,…成等差数列；对于等比数列有Sm,Szm—Sm,S3m—S2m,…成等比数列(q=-1且m为偶数情况除外).(3)若{an}是等差数列，则也是等差数列.(4)在等差数列中，若项数为奇数2n-1,则S2n-1=(2n—1)an;S一S偶=an; 微点一等差、等比数列基本量的运算例1(1)(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S₅=S10,as=1,则a1=()则下列选项正确的是()A.数列{an}的公差为2D.数列{|anl}的前10项和为50 (2)(2025·南昌一模)已知等差数列{an}各项不为零，前n项和为Sn,若Sn=anan+1,则a13=.微点二等差、等比数列的性质例2(1)(多选题)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题正确的是A.若d<0,则S1是数列{Sn}的最大项B.若数列{Sn}有最小项，则d>0C.若数列{Sn}是递减数列，则对任意的n∈N*,均有Sn<0D.若对任意的n∈N*,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列[听课记录] 训练2(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S₃=S₉=6,则S12的值为()(2)已知{an}为正项等比数列，若1ga2,lga2024是函数f(x)=3x²—12x+9的两个零点，则a1a2025A.10B.10⁴C.10⁸微点三等差、等比数列定义的证明(1)若a1,a2,a3依次成等差数列，求a1;(2)若证明数列为等比数列，并求数列{an}的前n项和Sn.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式. 这些高考题值得再做一遍1.(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S₄=—5,S₆=21S₂,则S₈=()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件{an},{bn}的前n项和.微专题5数列求和以题梳点·知考法梳理最新题知考法明规律a2n=2an+1(n∈N*).(2)若bn=3n-1,令Cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.(2)设,求数列{bn}的前n项和Tn.了哪些项，保留了哪些项.需要反其道而行之，先消去an,求出Sn,然后利用an=Sn—Sn-1(n≥2)求出an(n≥2).训练1(1)已知Sn为正项数列{an}的前n项和.若Sn+2an=Sn+1-1,且Ss=57,则a4=()(2)已知数列{an}的首项为-1,设Sn是数列{an}的前n项和，且an+1=2SnSn+1,则Sn=微点二相邻两项的递推关系(2)记{an}的前n项和为Sn,求证：Sn<2.模型1:形如an+1=pan+q(其中p,q均为常数且p≠0)的递推式：①当p=1时，数列{an}为等差数列；②当q=0时，数列{an}为等比数列；③当p≠1且q≠0时，数列{an}为线性递推数列，其通项公式可通过待定系数法构造等比数列来求.模型2:形如an+1=pan+f(n)(p≠1)的递推式：其中f(n)可以是关于n的一次型函数或指数型函数，此类题型主要采用待定系数法构造相应的等比数列进行求解.模型3:形如q,r是不为0的常数)的递推式，可变形训练2(1)在数列{an}中，a1=5,an+1=3an—4,则数列{an}的通项公式为(2)已知数列{an}满足an+1=2an+4.3-1,a1=-1,则数列{an}的通项公式为_微点三相邻三项的递推关系例3已知在数列{an}中，a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),则这个数列的通项公式为[听课记录] 已知形如an+2=pan+1+qan的递推式问题的求解方法：方法一：用待定系数法，化为特殊数列{an+1—kan}的形式求解.设an+2—kan+1=h(an+1—kan),比较系数得h+k=p,—hk=q,可解得h,k,于是{an+1—kan}是公比为h的等比数列，这样就转化为an+1=kan+f(n)再继续求解.方法二：直接构造法，根据问题中所给的引导提示，有倾向性地进行构造数列，进而求解.训练3(1)在数列{an}中，a1=8,a4=2,且满足an+2=2an+1-an(n∈N*),则数列{an}的通项公式为_ A.48B.112C.801,2,…).下列正确的是()A.{an}的第2项小于3B.{an}为等比数列C.{an}为递减数列前16项和为540,则a1=把握高考微点，实现素能提升完成P131微练(九)4数列中的子数列和增减项问题数列子数列问题(包括数列中的奇偶项、公共项数列等)与数列的增减项问题是近几年高考的重点和热点.一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列.题型一数列的公共项问题例1记由数列{an}和{bn}的公共项组成的数列为{cn},已知an=3n-2,bn=2”,若{cn}为递增数列，且c₅=bm=ar,则m+t=_ (1)解答数列中公共项问题的关键在于观察这些公共项的规律，判断其是否构成等差数列或等比数列.(2)两个等差数列的公共项是等差数列，公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数.训练1已知数列{an}的前n项和,{bn}为等比数列，公比为2,且bi,b₂+1,b为等差数列.题型二数列的奇偶项问题(2)求{an}的前20项和.可以把a2k-1+a₂k看作一项，求出S₂k,再求S₂k-1=S₂k—a2k.训练2已知数列{an}满足a1=3,an=an-1+2n-1(n≥2,n∈N*).题型三数列的增减项问题例3已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=2Sn+2(n∈N).是否存在3项dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列，且m≠k≠p)成等比数列?若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.有等差或等比特征的数列，然后按照各自的性质进行求解.b4.把握高考微点，实现素能提升完成P133微练(十)规范答题二数列(考前观摩大题解题规范)(1)证明：数列{nan}为等差数列；(2)给定正整数m,设函数f(x)=aix+a2x²+…+amx",求f(一2).[解题关键]通过变形利用等差数列定义证明第①步：求数列{nan}的通项公式第②步：求出函数f(x)的导函数f(x)第④步：代入x=-2,进而求得f(一2)的值[规范解答]解(1)证明：已知等式两边同乘n(n+1),得(n+1)an+1=nan+1,又因为1×a1=3,所以数列{nan}是首项为3,公差为1的等差数列.5分(2)解法一：由(1)知，数列{nan}的通项公式为nan=3+(n—1)×1=n+2,因为f(x)=ax+a2x²+a3x³+…+a所以f(x)=ai+2a2x+3aʒx²+…+mamxm-1,8分则f(x)=3+4x+5x²+…+(m+2)x-1,①(1-x)f(x)=3+(x+x²+…13分14分15分解法二：由(1)可知，数列{nan}的通项公式为nan=3+(n—1)×1=n+2,故f(一2)=3+4×(一2)+…+(m+2)×(一2)m-1,9分所以—2f(一2)=3×(一2)+4×(一2)²+…+(m+2)×(一2)".11分14分15分[得分保障]得分点第(1)问关键在于得到等差数列的定义式；第(2)问得出数列通项公式得1分，求出导函数得2分，利用错位相减法计算并化简正确得4分，代入-2得1分，写出最终答案得1分.失分点第(2)问中，未能正确求导；使用错位相减法时过程中出现了计算错误；最终答案忘记除以3.[教材链接]本题对数列定义、导数及数列求和进行融合考查.试题源自人教A版选择性必修第二册第40页习题4.3第3题.专题三立体几何微专题7空间几何体[听课记录].训练1(2025湖南模拟)亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭(图①)是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆A.3.6πm²B.3.8πm²C.4.2πm²例2(1)(2024·新课标I卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为√3,则圆锥的体积为()A.2√3πC.6√3π(2)(2025·湘潭模拟)楔形构件在建筑工程上有广泛的应用.如图，某楔形构件可视为一个五面体A.18cm³C.30cm³[听课记录]训练2如图，四羊方尊(又称四羊尊)为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台(上、下底面的边长分别为40cm,20cm,高为24cm),则四羊方尊的容积约为()C.44800cm³微点三空间几何体的“切接”与“容球”问题考向1空间几何体的“切接”问题例3(1)(2025·榆林模拟)在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长均为2,其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()(2)(2025·汉中模拟)如图，圆台的上、下底面半径分别为n,r2,且2ri+r2=12,半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为()A.36π[听课记录] ·方法提炼·(1)“接”的策略：把一个多面体的几个顶点放在球面上即球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体顶点的距离等于球的半径.(2)“切”的策略：解决与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体的有关问题，解答时要先找准切点，通过作截面来解决，如果内切的是多面体，则多通过多面体过球心的对角面来作截面.训练3(1)已知一个正四棱锥的底面边长为2√2,内切球的体积为则这个正四棱锥的体积A.B.CD.16(2)(2025.延边一模)在直三棱柱ABC-A₁B₁C1中，且则该三棱柱的外接球的体积为()考向2空间几何体的“容球”问题例4(2025·全国二卷)一个底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm.[听课记录] 训练4棱长为6的正方体空盒(盒子厚度忽略不计)中，有四个半径为r的小球分布在盒底四角，且均与所在角落处的正方体的三个面相切.另有一个半径为R的大球放在四个小球之上，与四个小值为_;大球半径R的最小值为_ 真题巧用·明技法这些高考题值得再做一遍1.(2023·新课标Ⅱ卷)(多选题)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为0,AB为底面直径，∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上，且二面角P-AC-0为45°,则()A.该圆锥体积为πB.该圆锥的侧面积为4√3π2.(2022·新课标I卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km²;水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km².将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(√7≈2.65)()A.1.0×10⁹m³B.1.2×10⁹m³C.1.4×10⁹m³D.1.6×的体积为_4.(2023·全国乙卷)已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角温馨提示 微专题8空间点、线、面的位置关系面面平行面面平行面面平行的性质线面垂直的判定线面垂直的判定线面垂直的定义 以题梳点·知考法梳理最新题知考法明规律微点一空间线、面位置关系的判定D.若n与α,β所成的角相等，则m⊥nA.ADLA₁CD.CC₁//平面AA₁D 判断空间线、面位置关系常用方法(1)借助定理：根据空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判(2)借助模型：如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定.(3)反证法：当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断.训练1(多选题)一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD为正方形，E,F