4.2.5.2 正态分布 课件（16）人教B版2019高中数学选择性必修第二册

4.2.5.2正态分布第四章1.了解标准正态分布与正态分布的关系.2.了解3σ原则，会用正态分布以及标准正态分布解决实际问题.正态曲线的解析式：

如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总等于对应的正态曲线φμ，σ(x)与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ

和σ的正态分布，记作X~N(μ

，σ2).xφμ，σ(x)μab正态分布其中μ=E(X)，，σ2=D(X)此时

称为X的概率密度函数.μ=0，σ=1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0，1).标准正态分布：xφ(x)O123-1-2-3如果X～N(0，1)，那么对于任意a，通常记Φ(a)＝P(X＜a)，也就是说Φ(a)表示N(0，1)对应的正态曲线与x轴在区间(－∞，a)内所围的面积.思考：Y~N(μ，σ2)与X~N(0，1)之间有怎样的关系？令即Y~N(μ，σ2)X~N(0，1)若Y~N(μ，σ2)，则结论：任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布.令此时

例1若X~N(μ，σ2)，说说下列概率大小为多少？(1)P(X≤μ)；

(2)P(|X-μ|≤σ)；

(3)P(|X-μ|≤2σ)；

(4)P(|X-μ|≤3σ).解：(1)P(X≤μ)=P(X≥μ)=50%.(2)P(|X-μ|≤σ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.27％.(3)P(|X-μ|≤2σ)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.45％.(4)P(|X-μ|≤3σ)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.73％.正态分布的“3σ原则”：在实际应用中，通常认为服从于正态分布X~N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ

，

μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.由正态曲线的性质及前面例题可知，如果X~N(μ，σ2)，那么：P(X≤μ)=P(X≥μ)=0.5，P(|X–μ|≤σ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.27％，P(|X–μ|≤2σ)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.45％，P(|X–μ|≤3σ)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.73％.说明：解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是概率较小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产生不合格.

例2某厂生产的“T”形零件的外直径(单位：cm)

X~N(10,0.22)，某天从该厂生产的“T”形零件中随机取出两个，测得它们的外直径分别为9.52cm和9.98cm，试分析该厂这一天的生产状况是否正常.例2某厂生产的“T”形零件的外直径(单位：cm)

X~N(10,0.22)，某天从该厂生产的“T”形零件中随机取出两个，测得它们的外直径分别为9.52cm和9.98cm，试分析该厂这一天的生产状况是否正常.解：∵正态变量在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内取值的概率是99.7%，∴认为尺寸落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]外的零件是非正常状态下生产的，∵X～N(10，0.22)，∴μ＋3σ＝10.6，μ－3σ＝9.4，∵9.52∈[9.4,10.6]，9.98∈[9.4,10.6]，∴该厂这一天的生产状况是正常的.

C根据本节课所学，回答下列问题：1.正态分布的均值和方差如何表示？2.什么是正态分布的“3σ原则”？3.如何将一般的正态分布转化为标准正态？1.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为()(附：P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%)A.4.56% B.13.55% C.27.18% D.31.74%2.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝