初中七年级数学下册第五章《图形的轴对称》复习导学案

初中七年级数学下册第五章《图形的轴对称》复习导学案

一、复习目标与核心素养导向

【基础】能够准确区分轴对称图形与两个图形成轴对称，并能熟练找出常见图形的对称轴。

【重要】深入理解并规范表达轴对称的基本性质，特别是“对应点所连线段被对称轴垂直平分”这一核心性质，并能运用该性质进行简单的推理和计算。

【高频考点·重要】熟练掌握并灵活应用线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形等基本图形的轴对称性及相关性质解决综合性问题。

【难点·挑战】能运用轴对称的性质解决最短路径问题（将军饮马模型），并能利用轴对称进行简单的图案设计和尺规作图。

【核心素养】通过构建本章知识网络，进一步发展空间观念、几何直观和推理能力，体会数学与实际生活的紧密联系以及数学的对称美。

二、本章知识体系构建（思维导图）

请在阅读教材和回顾课堂笔记的基础上，尝试补全以下知识结构图，形成系统化的认知。

图形的轴对称

├─一、轴对称现象

│├─1.轴对称图形：定义、对称轴（条数）

│└─2.两个图形成轴对称：定义、区别与联系

├─二、轴对称的【核心性质】

│├─1.对应点：对应点所连的线段被___________垂直平分。

│├─2.对应线段：___________

│└─3.对应角：___________

├─三、简单的轴对称图形

│├─1.线段

││├─轴对称性：是轴对称图形，对称轴是___________和___________。

││└─【重要性质】线段垂直平分线上的点到___________的距离相等。

│├─2.角

││├─轴对称性：是轴对称图形，对称轴是___________。

││└─【重要性质】角平分线上的点到___________的距离相等。

│└─3.等腰三角形

│├─轴对称性：是轴对称图形，对称轴是___________。

│└─【高频考点·非常重要】等腰三角形性质：

│├─等边对等角。

│├─三线合一（、

、___________重合）。

│└─等边三角形：特殊的等腰三角形，三条对称轴，三个角都是60°。

└─四、轴对称的应用

├─1.尺规作图：作一条线段的垂直平分线；作一个角的平分线；作一个图形关于某条直线的轴对称图形（点→线→面）。

└─2.【难点】设计图案与最短路径问题（将军饮马）。

三、复习过程与核心突破

（一）基础概念辨析与过关

【基础自测】

1.下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A.线段B.角C.含40°、70°、70°的三角形D.含40°、50°、90°的三角形

2.下列说法中，正确的是（）

A.关于某条直线对称的两个三角形一定全等。

B.全等的两个三角形一定关于某条直线对称。

C.若两个图形关于某条直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧。

D.一个轴对称图形的对称轴不可能出现在图形内部。

3.如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，且∠A=50°，∠E=70°，则∠C=______°，∠F=______°。

（二）核心性质深度理解与应用

【非常重要】轴对称性质的精髓

轴对称的实质是图形的全等变换，其最根本的性质是“对应点连线被对称轴垂直平分”。这一性质是连接“位置关系”（对称）与“数量关系”（相等）的桥梁。

1.如图，在△ABC中，DE是线段AB的垂直平分线，交BC于点E。已知AC=5，△ACE的周长为14，求BC的长。

（分析：本题旨在训练将垂直平分线的性质转化为线段相等关系，即AE=BE，从而进行等量代换。）

2.变式训练：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=32，且BD:CD=5:3，则点D到AB的距离为______。

（分析：本题综合考察角平分线性质，即角平分线上的点到角两边距离相等，将距离问题转化为求线段CD的长度。）

（三）基本图形性质综合应用

【高频考点】等腰三角形“三线合一”与方程思想

等腰三角形是本章最重要的轴对称图形，其“三线合一”性质是解决角度计算、线段相等、垂直关系的关键切入点。

1.经典例题：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。求证：DE=DF。

（解法导航：思路一：利用“三线合一”得到AD平分∠BAC，再结合角平分线性质得证。思路二：证明△BDE≌△CDF。）

2.拓展提高：在等腰三角形ABC中，AB=AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分成15和12两部分，求这个等腰三角形的各边长。

（分析：【难点】本题未明确哪部分是15，哪部分是12，也未说明是哪条腰上的中线，因此必须进行分类讨论。体现了分类讨论思想在几何中的应用。）

（四）难点突破：轴对称下的最短路径问题

【难点·热点】“将军饮马”模型

数学问题：在直线l上找一点P，使得点P到直线同侧两点A、B的距离之和AP+BP最小。

解决方法：作其中一点（如A）关于直线l的对称点A‘，连接A’B，与直线l的交点即为所求点P。其原理是利用轴对称将折线段转化为直线段，依据“两点之间，线段最短”。

1.实践应用：如图，在河道l的同侧有两个村庄A和B，现要在河道上修建一个水泵站P，向两个村庄供水。为了节省管道，应如何确定点P的位置？请画出图形并简要说明理由。

四、典型例题精讲（讲练结合）

【例1】（概念辨析与性质简单应用）

在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D。求∠DBC的度数。

【解题思路】1.由AB=AC且∠A=50°，利用“等边对等角”可求出∠ABC的度数。2.由MN垂直平分AB，可得AD=BD，进而推出∠ABD=∠A=50°。3.最后根据∠DBC=∠ABC-∠ABD得出结论。

【规范解答】（此处留白，供学生当堂书写，教师强调推理的逻辑性和格式的规范性。）

【例2】（轴对称性质与方程思想综合）

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC。求证：AD+BC=AB。

【解题思路】

1.思路分析：证明一条线段等于两条线段之和，常用“截长补短”法。

2.方法导航（截长法）：在线段AB上截取AF=AD，连接EF。若能证明BF=BC，则问题得证。

3.推理路径：

（1）由AD=AF，AE平分∠DAF，可得△ADE≌△AFE（SAS），推出∠D=∠AFE。

（2）由AD∥BC，可得∠D+∠C=180°。又∠C=90°，所以∠D=90°。从而∠AFE=90°，则∠EFB=90°=∠C。

（3）由BE平分∠ABC，可得∠EBF=∠EBC，结合公共边BE，可证△BEF≌△BEC（AAS），从而得出BF=BC。

（4）因此，AB=AF+FB=AD+BC。

【方法提炼】“截长补短”法是解决线段和差问题的核心几何方法，其理论基础就是全等三角形的判定与性质。

五、探究与拓展：跨学科融合与美育渗透

【实践活动】请利用你所学的轴对称知识，结合七年级美术课所学的纹样设计，为学校即将举办的艺术节设计一个徽标。

要求：

1.徽标必须是轴对称图形。

2.简要说明你的设计意图，以及用到了哪些本章所学的数学元素（如线段垂直平分线、等腰三角形等）。

3.此举旨在培养“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”的核心素养，体会数学的应用价值与文化价值。

六、当堂检测与反馈

【基础关】（每题10分，共40分）

1.下列四个图形中，对称轴最多的图形是（）

A.等边三角形B.正方形C.线段D.圆

2.点P在线段AB的垂直平分线上，若PA=5，则PB=______。

3.等腰三角形的一个角是80°，则它的另外两个角的度数是______。

4.如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AD∥BC，则下列结论中，错误的是（）

A.AO=COB.AB=ADC.AB⊥BCD.AC⊥BD

【应用关】（20分）

如图，在一条河的同岸有A、B两个村庄，河岸近似看作一条直线l。现在要在河岸边修建一个码头M，使得码头M到两个村庄的距离之和MA+MB最短。请你画出码头M的位置，并写出作图依据。

【挑战关】（40分）

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接AD。求证：BD=DC/2。

（提示：本题难度较大，需连接辅助线，构造含3