2025-2026学年下学期广东广州高三数学3月一模试卷（含解析）

2026年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学满分150分。考试用时120分钟。注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上:如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若z2+i=5A.−2+iB.2−iC.2.集合A=xA.3B.4C.7D.83.已知函数fx=log3A.-1B.0C.log34.函数fx=sinA.2πB.3π2C.πD.π5.已知向量a=2,3,b=0,1，向量cA.24,+∞B.0,26.函数fx=sinx−xcosA.4B.5C.6D.77.已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，圆M:x+12+y2=16与C交于AA.3B.728.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2,AA1=A.524B.322二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量X(单位:g)服从正态分布Nμ,σ2,且PX<14=18,PX≤18=78.从该流水线上随机抽取A.μB.PC.PξD.E10.已知x≠yA.∃B.∀C.∃D.∀11.已知曲线C的方程为Fx,y=0,集合T=x,y∣Fx,y=0,若对任意的x1,y1∈T,都存在A.x2+y2=5三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆x2m+1+y2m=13.已知函数fx+1为奇函数,当x<1时,fx=ax2−xa≠14.某公园里有一块边长分别为30米,40米,50米的三角形草坪(记为△ABC)，点D，E在△ABC的边上，线段DE把草坪分成面积相等的两部分.如果沿DE铺设灌溉水管，四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知数列an的首项a1=23(1)证明:数列1an(2)若数列1an+n的前n项和Sn小于16.(15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60∘，PA⊥平面ABCD,点(1)求证:AB⊥CE(2)若点B到平面PCD的距离为32，求平面PAB与平面PCD17.(15分)甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束,命中目标者获胜.假设甲每次射击命中目标的概率均为α0<α<1(1)若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为p，求p(用α,β(2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求β的最小值.参考公式:若0<q<118.(17分)已知函数fx(1)若a=1，求f(2)若fx有且仅有1个零点，求a(3)若存在a，使得fx≤a+b对任意x19.(17分)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>(1)求C的方程；(2)点A,B分别在C的两条渐近线上运动，且AB=22，线段AB(i)设E0,3,F0(ii)设P−t,0,Qt,0t>1,点M不在2026年广州市普通高中毕业班综合测试(一)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分,每小题只有一个选项符合要求1.若z2+i=5A.−2+iB.2−iC.【答案】Cz=2.集合A=xA.3B.4C.7D.8【答案】Dx2−2x≤0得0≤3.已知函数fx=log3A.-1B.0C.log3【答案】Blog34.函数fx=sinA.2πB.3π2C.πD.【答案】Cfx5.已知向量a=2,3,b=0,1，向量cA.24,+∞B.0,2【答案】A设c=x,y,则a由x2+y22≥x+y2所以c=6.函数fx=sinx−xcosA.4B.5C.6D.7【答案】Af′x=cosx−cosx−x7.已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F,圆M:x+12+y2=16与CA.3B.72【答案】C由题意知,A,B关于x轴对称,设Ax0,y0,则Bx0,−y0,所以kAM8.在正三棱柱ABC−A1B1C1中,AB=2,AA1=A.524B.322【答案】B设CD=m,AD=n,则原式=n2+1+22m≥n2+1+222−n,当且仅当D在线段C上时取等,二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量X(单位:g)服从正态分布Nμ,σ2,且PX<14=18,PX≤18=78.从该流水线上随机抽取A.μ=16B.P14≤【答案】ABD由正态分布性质可知,X=14与X=18关于X对于A选项,μ=16,故A对于B选项,P14≤对于C选项,ξ−B4,34对于D选项,Eξ=10.已知x≠yA.∃x,C.∃x,【答案】BC对于A选项,sinx+sin对于B选项,sinx+siny=sinx+y2+x对于C选项,sinx−sin对于D选项,sinx−siny=2sin11.已知曲线C的方程为Fx,y=0,集合T={x,y∣Fx,y=0},若对任意的x1,y1∈TA.x2+y2=5【答案】ABD由x1y2−2=x2y1得:y1x1=y2−2x2,设Ax1,y1,B对于A选项:k1∈对于B选项:k1∈{对于C选项:k1∈−∞,1e,由lnxe3≤x对于D选项:k1∈三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分12.已知椭圆x2m+1+y2m=【答案】4由题知,m+1>m>0,即a2=m+1,b2=m13.已知函数fx+1为奇函数,当x<1时,fx=ax2−xa≠【答案】[因fx+1是奇函数,关于点则fx关于点1,0中心对称且当x<1时,当x>1时,令t=x−1>0得fx当a<0时,对称轴x当a>0时,对称轴x=2−12a≥314.某公园里有一块边长分别为30米,40米,50米的三角形草坪(记为△ABC),点D,E在△ABC的边上,线段DE把草坪分成面积相等的两部分.如果沿【答案】20由302+402=502知①当DE在直角边上,设CD=即xy=600,则②当DE在AC,AB上，设AD即xy=750,又DE2=③当DE在BC,AB上,设即xy=1000,又DE2=综上,水管最短20米四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.已知数列an的首项a1=23(1)证明:数列1an(2)若数列1an+n的前n项和Sn小于(1)1a两边同时-1，有1an所以1an所以1an−1是首项为12(2)设数列1an的前n项和为所以Tn−n=1所以Sn因为Sn小于120,所以16.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60∘，PA⊥平面ABCD，点(1)求证:AB⊥CE(2)若点B到平面PCD的距离为32，求平面PAB与平面PCD(1)取AB中点F,连接AC因为平行四边形ABCD是菱形,∠ABC=60∘,所以又因为F是AB中点,所以CF又因为E,F分别是PB,AB又因为AP⊥底面ABCD,所以EF又因为FC⊥AB,EF所以AB⊥平面又因为EC⊂平面EFC,所以(2)连接AC,BD交于点O,以O为原点,分别以OB,OC平行于AP的直线为x轴,y轴,z设AP=a,所以设平面PCD的法向量为nCDCD令z1=6,则y1又因为DB=所以点B到面PCD的距离d所以a=3,所以平面PCD的法向量又因为A0,−1,设平面PAB的法向量nAF令x2=1,则y2设平面PAB与平面PCD夹角为θ，所以cosθ17.甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标者获胜.假设甲每次射击命中目标的概率均为α0<α<1(1)若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为p，求p(用α，β表示)；(2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求β的最小值.参考公式:若0<q<1(1)甲先射,甲第2次射且胜的概率为p第1次甲不中,1−第1次乙不中,1−第2次甲中,α,所以p=(2)乙先，乙胜为pZ，甲胜为p甲乙胜:第1次乙中,β,第1次乙不中,第1次甲不中,第2次乙中,1−第1,2均未命中,第3次乙中,1−因为构成等比,首项q1=β,公比故pZ同理,甲胜:p甲因为pZ>p甲又α∈0,118.已知函数fx(1)若a=1，求f(2)若fx有且仅有1个零点，求a(3)若存在a,使得fx≤a+b对任意xff(1)当a=1时,所以f′x单调递减,又f′1=0,所以f′x在所以fx在0,1为r,1(2)f所以f′x单减,①由(1)知，a=1时，f1=0，0,1，1,+∞↘②当a>1时，f′1=a−1>0，∃x0>1，使ff′f==lnx设hx=lnx+所以fxmax=lnx0所以fx③当a<1时,f′1=a−1fxmax=fx0=lnx0+综上,a(3)fx≤a+b即若对∀x>0恒成立,即又gg且x→0时,g′x故∃x0>0,使g′x0=此时g==−ln欲证a−b≤4所以a=设pp所以a−b19.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>(1)求C的方程；(2)点A,B分别在C的两条渐近线上运动，且AB=22，线段AB(i)设E