第8章 实数全章题型总结（必考点分类集训）（学生版）-人教版(2024)七下

第八章实数全章题型总结【7个知识点13个题型】【人教版2024】【知识点1平方根的概念及性质】1.定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根2.性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.3.开平方的定义(1)求一个数的平方根的运算，叫作开平方.(2)平方与开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.4.被开方数正数a的正的平方根记为“a”，读作“根号a”，a叫作被开方数.【知识点2算术平方根的概念及性质】1.定义：正数a有两个平方根，其中正的平方根a叫作a的算术平方根.正数a的算术平方根用a来表示.2.性质：(1)一个正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根，0的算术平方根是0(2)算术平方根a的双重非负性：①被开方数一定是非负数，即a≥0；②非负数a的算术平方根为非负数，即a≥0.【知识点3立方根的概念及性质】1.概念及表示：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根.类似于平方根，一个数a的立方根记为“3a”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数.2.性质：①每个数a有且只有一个立方根，其中a可正、可负、可为0.②正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.【题型1平方根与立方根的定义理解】【例1】下列说法正确的有（）①5是25的算术平方根；②±4是64的立方根；③25的平方根是±5；④0A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式1】下列语句，写成式子正确的是（）A．3是9的算术平方根，即9=±3B．﹣3是﹣27的立方根，即3-C．2是2的算术平方根，即2=2D．﹣27的立方根是﹣3，即3【变式2】学完平方根后，当堂检测环节刘老师布置了5道填空题，下面是丛丛的完成情况：①16的平方根是±4；②0的平方根是0；③9的算术平方根是3；④116的算术平方根是是12；⑤1的立方根是±1．若每做对一道题得A．100分 B．80分 C．60分 D．20分【变式3】某同学在作业本上做的五道题：①“4的平方根是±2”，用数学式子表示为4=±2；②-3-23=2；③16的算术平方根是2；④125A．2道 B．3道 C．4道 D．5道【题型2算术平方根的非负性求值】【例1】已知（a﹣1）2+|b+1|+b+c-a=0，则a+b+【例2】代数式3-4-x2的最大值是【变式1】如果1-3x和y-27互为相反数，那么xy的平方根是【变式2】代数式-3-a+b的最大值为，这时a、b满足的关系式是【变式3】已知实数a，b，c满足(1-a)2+a2+b+c+|c+3|=0，且ax2+bx+c＝0【变式4】已知非零实数a，b满足|2a-4|+|b+2|+A．3 B．﹣2 C．1 D．5【题型3立方根的性质求值】【例1】已知：32a-3+37-3【变式1】已知3x-1+1＝x，则x＝【变式2】已知x为有理数，且3x-3-32x+1=【变式3】（1）已知3y-1和33-2y互为相反数，且x﹣5（2）已知x，y是实数，且1+x-(y-1)1-【题型4平方根与立方根中综合求值】【例1】已知M=n-4m+3是m+3的算术平方根，N=2m-4【变式1】已知A=a-2a+b+3是a+b+3的算术平方根，B=a-【变式2】已知：4a﹣11的平方根为±3，13a+b-1的算术平方根为它本身，（1）求a，b，c的值；（2）求a﹣b+c的平方根．【变式3】已知一个正数a的两个平方根分别为2m+1和5n+7，3n+（1）求m和n的值：（2）求3a﹣2m的平方根．【题型5运用开平方或开立方解方程】【例1】解下列方程：（1）8（x﹣1）3=-125（2）4（2x﹣1）2﹣36＝0．【变式1】求下列各式中的x的值：（1）(x（2）2（x2﹣2）3﹣16＝0．【变式2】求下列各式中x的值．（1）6（2x﹣3）2＝54；（2）5（x﹣2）3=-216【变式3】解方程（1）3（8﹣x）3﹣（3）2＝21；（2）21(x-【知识点4实数的概念及分类】1.有理数和无理数统称为实数.2.无理数定义：任何有限小数和无限循环小数都是有理数，无限不循坏小数都是无理数.常见的无理数形式：①开方开不尽的数，如，等；②化简后含有π的数，如π，；③有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001…

3.实数的分类：按定义分：实数按符号分：实数【题型6无理数的定义】【例1】下面几个数：0.1⋅237⋅，1.010010001…（两个1中间的0依次增多），-30.064，3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1】在实数5、﹣3、0、3-1、3.1415、π、144、6，2.123122312223…（1和3之间的2逐次加A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式2】在3.14，π，3.212212221，3，-227，25，2.1212212221…（在相邻两个2之间1A．5 B．2 C．3 D．4【变式3】在实数8，1.732，π，144，39，17，2.123122312223…（1和3之间的2逐次加A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【知识点5实数与数轴的关系】每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的.【题型7实数与数轴的关系】【例1】实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|aA．π+2-2a B．π-2 【变式1】如图1，将面积为2的正方形向外等距扩0.5．在如图2所示的数轴上标示了四段范围，则大正方形的边长数值落在（）A．段① B．段② C．段③ D．段④【变式2】如图，半径为0.5的圆周上有一点M落在数轴上﹣1点处，现将圆在数轴上向左滚动一周后点M所处的位置在两个连续整数m，n之间（m＜n），则-2A．±3 B．-3 C．-12 【变式3】实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么(bA．2a+b B．b C．2a﹣b D．3b【知识点6实数的运算】实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号先算括号内的.在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(例如，比计算结果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五人.【题型8实数的混合运算】【例1】计算：（1）36⋅（2）364【变式1】计算：（1）|2-6（2）30.125【变式2】计算：（1）6425（2）16+【变式3】计算下列各题：（1）21（2）|2-3（3）-81【知识点7实数大小比较】1.利用数轴比较实数大小（1）正数大于零，负数小于零，正数大于负数；（2）两个正数，绝对值大的数较大；（3）两个负数，绝对值大的数反而小。2.无理数大小的比较估算法：（1）若，则；（2）若，则；根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则．常见实数的估算值：，，．【题型9实数的大小比较】【例1】比较2，5，37A．2＜5＜37 B．2＜37【变式1】5-2，2+52，A．2+2＞2+52＞5-2 B．5C．2+52＞5-2＞2+2 D．【变式2】214、226、15三个数的大小关系是（）A．214＜15＜226 B．226＜15＜C．214＜226＜15 D．226【变式3】已知甲、乙、丙三数，甲＝5+15，乙＝3+17，丙＝1A．丙＜乙＜甲 B．乙＜甲＜丙 C．甲＜乙＜丙 D．甲＝乙＝丙【题型10无理数的整数与小数部分】【例1】阅读材料：我们知道5是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此5的小数部分我们不可能全部写出来，而因为4＜5＜9，即2＜5＜3，于是请你结合以上材料，解答下列问题：（1）26的小数部分是，7+19的整数部分是（2）如果17的小数部分为m，3+51的整数部分为n，求5m+2n（3）已知16+62=p+q，其中p是整数，且0＜q【变式1】因为31＜33＜38，即1（1）求330（2）若m是7-320的整数部分，且（x+1）2＝m，求【变式2】阅读材料：3是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此3的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜3＜2，于是我们可用（1）15的整数部分是，小数部分是；（2）如果6的小数部分为a，23的整数部分为b，求（a+b﹣2）2的值；（3）已知：98+99=x+y，其中x是整数，且0＜y【变式3】材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5﹣2得来的，类比来看，2是无理数，而1＜2＜2，所以2的整数部分是1，于是可用2-1材料2：若10-122=a+b2，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足a＝10根据以上材料，完成下列问题：（1）17的整数部分是，小数部分是；（2）3+3也是夹在相邻两个整数之间的数，可以表示为a＜3+3＜b，求a（3）若20-16+15=x+y5，则x＝，【题型11估算无理数的近似值】【例1】下面是小李同学探索107的近似数的过程：∵面积为107的正方形边长是107，且10＜∴设107=10+x，其中0＜x＜∵图中S正方形=102+2×10x∴102+2×10x+x2＝107，当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即107≈10.35（1）74的整数部分是；（2）仿照上述方法，探究74的近似值；（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到0.1）（3）结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若a＜m＜a+1，且m＝a2+b，请估算m≈【变式1】小李同学探索167的近似值的过程如下：∵面积为167的正方形的边长是167且12＜∴可设167=12+x，其中0＜x＜1，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积S正方形=122+2×12x+x2，又∵S正方形＝167，∴12由x2＜1，可忽略x2，得144+24x≈167，得到x≈0.96，即167≈12.96（1）写出249的整数部分为，360的整数部分为；（2）仿照上述方法，探究解答230的近似值．（要求：画出图形，标明数据，结果保留两位小数）【变式2】阅读材料1．2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分不能全部写出来，但由于1＜2＜2，所以2的整数部分为1，将2减去其整数部分（1）直接写出6的小数部分是；37的小数部分是（2）已知12+3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1阅读材料2．小明在查阅了乘法公式（a+b）2＝a2+2ab+b2后，想出了一个估算无理数近似值的方法，例如求107的近似值（结果精确到0.01），设107=10+x，其中0＜x＜1，则107＝100+20x+x2，因为0＜x＜1，所以0＜x2＜1，所以107≈100+20x，解得x≈0.35，所以（3）利用小明的方法估算125的近似值（结果精确到0.01）【变式3】阅读材料学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算14的近似值．小明的方法：∵9＜14＜16，设14=3+k（0∴(14)2=(3+k)2，∴14＝9+6k+k解得，k≈56，∴14问题：（1）请你依照小明的方法，估算30的近似值．（2）已知非负整数a、b、m，若a＜m＜a+1，且m＝a2+b，结合上述材料估算m的近似值（用含a、【题型12平方根与立方根中小数点移动规律】【例1】观察下列各式解决问题：已知15≈3.873，1.5≈1.225，则150≈已知310≈2.154，3y≈-0.2154，则y＝【变式1】已知0.1587≈0.3984，1.587≈1.260，30.1587≈0.5414，31.587≈1.166，聪明的同学你能不用计算器得出：（1）15.87≈【变式2】观察：0.06137=0.2477，6.137=2.477，36.137=1.8308，36137=18.308；填空：①613.7=，②若3x【变式3】观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题：b0.0040964.0964096409600040960000003b0.161.6161601600（1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向移动位．（2）运用你发现的规律，探究下列问题：已知313≈2.35，则30.013≈，3（3）类比上述立方根运算：已知3.66≈1.913，则366≈，36600≈【题型13实数中的新定义问题】【例1】对于整数n，定义[n]为不大于n的最大