河南省郑州外国语中学高三考前热身新高考数学试卷及答案解析

河南省郑州外国语中学高三考前热身新高考数学试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知。=bg374,b=log2m,c=|^,若a>b>c,则正数〃?可以为（）

A.4B.23C.8D.17

2.函数/（x）=J/—5戈+6的定义域为（）

A.卜卜工2或xN3}B.{小工-3或1之-2}

C.1x|2<x<3}D.{x|-2}

3.已知数列{4}的通项公式是4〃=，Jsin——,则4+%+%+…+%2=（）

I27

A.0B.55C.66D.78

4.（，+/+）,2）的展开式中文-5，2的系数是（）

A.160B.240C.280D.320

5.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先

入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，

等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（）

A.多1斤B.少1斤C.多!斤D.少!斤

33

6.已知命题p：若a>l,b>c>\t则log；,a<log.〃；命题q：3X（1（0,-KC）,使得2"clog?/”，则以下命题为真

命题的是（）

A.〃八4B.C.（-1/2）At/D.（-/?）

7.下图所示函数图象经过何种变换可以得到y=sin2x的图象（）

A.向左平移?个单位B.向右平移2个单位

C.向左平移?个单位D.向右平移匚个单位

6

8.设以，/?为两个平面，则a〃/?的充要条件是

A.〃内有无数条直线与“平行

B.a内有两条相交直线与/?平行

C.a,/?平行于同一条直线

D.a,A垂直于同一平面

9.已知抛物线。：f=8y,点?为。上一点,过点?作轴于点Q,又知点4(5,2),则归。+|力的最小

值为()

B.4>/10-2C.3D.5

10.用电脑每次可以从区间(0,3)内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3

个实数，则这3个实数都小于1的概率为()

11.一个四面体所有棱长都是4,四个顶点在同一个球上，则球的表面积为()

4#»兀

A.24乃B.8瓜兀D.124

12.已知/(x)=l-2cos2(s:+4)3>0).给出下列判断:

3

①若/(4)=1,/。2)二一1，且国一天疝口=九，则G=2；

②存在3e(0,2)使得f(.x)的图象向右平移?个单位长度后得到的图象关于y轴对称;

O

4147)

③若/⑴在［0,2可上恰有7个零点，则。的取值范围为

24?24>

7171

④若人力在一7'1上单调递增’则0的取值范围为°5

其中，判断正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列也｝为等差数列，数列他｝为等比数列，满足｛q,%,%｝=%也，4｝=｛。,。,一2｝,其中。＞0,〃＞0,

则Q+力的值为.

14.在jABC中，a=4,b=5,c=6,贝!）cosA=,的面积为.

15.已知。、人为正实数，直线x+y+l=。截圆（/一。）2+（＞-32=4所得的弦长为2近，则答的最小值为

16.设口、“为互不重合的平面，皿，〃是互不重合的直线，给出下列四个命题：

①若in//n,则m//a；

②若/"Ua,nca,n///h则〃〃“；

③若〃〃P，mea,nc.fi,则血〃〃：

④若a_L/?,aC\ft=mfnca,〃?_!_〃，则〃_L/?；

其中正确命题的序号为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、

“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记。分,现随机抽取部分学生的成绩，统计结

果及对应的频率分布直方图如下所示：

等级不合格合格

得分[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)

频数6X24

已知函数“力二打一2|

(I)解不等式.f(x)+/(2x+l)Z6；

(II)对。+6=1(〃力>0)及X/xwR,不等式/(X—〃Z)—/(T)W±+［恒成立，求实数，”的取值范围.

C，C*

20.(12分)已知函数〃同=*+2,曲线)，=/(“在点(I"⑴)处的切线方程为x+2)，-3=O.

-X।1-V

(I)求“，力的值；

(II)若2«(),求证：对于任意X£(l,+8),/(A：)>—+

21.(12分)已知函数f(x)=；依2-(。+l)x+lnx,。£R.

(1)当。=0时，求曲线/。)在点(2J(2))的切线方程；

(2)讨论函数/(幻的单调性.

22.(10分)如图，/5。。=90,区。=。=1,43_1平面3。。,乙4。3=60,七,尸分别是4。,4。上的动点，且

AEAF

(1)若平面3所与平面8CQ的交线为/,求证：EF//h

(2)当平面6Eb_L平面4c及时，求平面吕所与8C。平面所成的二面角的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

首先根据对数函数的性质求出。的取值范围，再代入验证即可;

【详解】

解：,.♦3=log327<a=log374<log381=4,，当〃?=8时，b=log2〃?=3满足，实数可以为8.

故选：C

【点睛】

本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.

2、A

【解析】

根据偶次根式被开方数非负可得出关于X的不等式，即可解得函数），=/（X）的定义域.

【详解】

由题意可得?一5彳十6之0,解得xW2或X之3.

因此，函数>=/（力的定义域为卜,《2或xN3｝.

故选：A.

【点睛】

本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.

3、D

【解析】

先分〃为奇数和偶数两种情况计算出sin（当的值，可进一步得到数列｛4｝的通项公式，然后代入

IN/

q+%+%+―+%转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.

【详解】

=sin['0=siH=-l,

解：由题意得,当〃为奇数时,sin('型里j=sin■+勺

I2)(2)I2)2

sin»sin…

当"为偶数时,1

I2JI2)2

所以当〃为奇数时，⑸二一心当〃为偶数时，氏二",

所以4+/+%+…+《2

=-12+22-32+42----112+122

=⑵一/)+(42-32)+…+(122-1『)

=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+---+(12+11)(12-11)

=1+2+3+4+…+11+12

12x(1+12)

=78

故选：D

【点睛】

此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档

题.

4、C

【解析】

首先把g+X看作为一个整体，进而利用二项展开式求得的系数，再求11+的展开式中工7的系数，二者相乘

即可求解.

【详解】

由一项展开式的通项公式可得(,+式+丁2)的第,.+1项为乙|=Q^-+X))，2"令厂=1,贝IJa=C；('+x)

又的第r+1为Z=C；x2r-7,令，=3,贝!1C；二:35,所以EV的系数是35x8=280.

lxJW

故选：C

【点睛】

本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键,属于基础题.

5、C

【解析】

设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列｛4｝，则4+4+，4=4,%+«)+qo=3,由等差数列的性

441

质得的=§,49=1'二一%=§_]=3»

故选C

6、B

【解析】

先判断命题〃M的真假，进而根据复合命题真假的真值表，即可得答案.

【详解】

.1.111

lolo,因为。所以。所以■;------->------即命题"

g/,^=-------,gc^=------->1,b>c>\f<log“cvlog”〃，

logflog"clog'Clog的

为真命题；画出函数)，=2、和y=log3%图象，知命题q为假命题，所以〃A(->4)为真.

故选:B.

【点睛】

本题考查真假命题的概念，以及真值表的应用，解题的关键是判断出命题〃，q的真假,难度较易.

7、D

【解析】

根据函数图像得到函数的一个解析式为f(x)=sin2x+g,再根据平移法则得到答案.

【详解】

设函数解析式为/(x)=Asin(3x+0)+〃,

根据图像：4=1/=0,工=£-==£,故7=乃，即。=2,

43124

71JT兀TT

=sin(+=1,(p=—+2k兀,keZ,取左=0,得到/(x)=sin2x+—,

12>3\3J

函数向右平移个单位得到)'=sin2工

6

故选：D.

【点睛】

本题考查了根据函数图像求函数解析式，三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.

8、B

【解析】

本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质

定理即可作出判断.

【详解】

由面面平行的判定定理知：a内两条相交直线都与£平行是。//6的充分条件，由面面平行性质定理知，若。〃〃,

则a内任意一条直线都与夕平行，所以a内两条相交直线都与一平行是尸的必要条件，故选B.

【点睛】

面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若

aua、bu/3,al1b,则a///?”此类的错误.

9、C

【解析】

由二|尸耳-2,再运用P,F,A三点共线时和最小，即可求解.

【详解】

|P(2|+|^4|=|PF|-2-t-|M|>|M|-2=5-2=3.

故选：C

【点睛】

本题考查抛物线的定义，合理转化是本题的关键，注意抛物线的性质的灵活运用，属于中档题.

10、C

【解析】

由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为g,结合独立事件发生的概率计算即可.

【详解】

1<IA3I

;每次生成一个实数小于1的概率为二.，这3个实数都小于1的概率为士=—.

故选：C.

【点睛】

本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生基本的计算能力，是一道容易题.

11、A

【解析】

将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可.

【详解】

解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，

・・,四面体所有棱长都是4,

.,.正方体的棱长为2百，

设球的半径为乙

则2-=«2五y+42,解得,二振，

所以S=44产=244，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对

角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题.

12、B

【解析】

对函数/'⑴化简可得/*)=sin(2④E+与，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换,

对四个命题逐个分析，可选出答案.

【详解】

因为fM=l-2cos2(ryx+—)=-cos(2<yx+—)=sin(269x+-),所以周期7=—=—.

336Icoco

Ijr1

对于①，因为=兀=大r，所以7=2兀=一，即。=三，故①错误；

I21mm2CO2

对于②，函数/1)的图象向右平移？个单位长度后得到的函数为y=sin(20x-竿+与，其图象关于)'轴对称，则

636

--+-=-+WeZ),解得<y=-l-3&(A€Z),故对任意整数3q任(0,2),所以②错误；

362

对于③，令/(x)=sin(2<yx+£)=0,可得2公丫+色=E(AeZ),则工=包———,

662。\2(o

因为/(0)=sin£>0,所以/")在［0,2可上第1个零点X>0,且X二:上一启，所以第7个零点

612a)

717171Tl37141H八人—j

x；=------——+3T=-------—+—,若存在第8个零点九，则

2(012692691269co126y

itit7it7i7n477r

%=iT=i=,

2co12022(o12o>2co12。

41jr477r4147

所以与$2兀</,即」$2兀<一，解得故③正确；

126912。2424

.(71、兀、兀

--12d)14-2

对于④，因为f(O)=sin=,且Ow-?,二，所以，,)62,解得0又。>o,所以0<362,

6L64Jr兀兀兀33

2cox—+—<—

462

故④正确.

故选：B.

【点睛】

本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算

求解能力与推理能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、5

【解析】

根据题意，判断出仇二一2,根据等比数列的性质可得f=44=(—2『=4,再令数列｛4｝中的"二-2,%=〃，

4=b,根据等差数列的性质，列出等式2a=—2+。，求出。和人的值即可.

【详解】

解:由｛%,O2，%｝=｛4也也｝=｛〃。-2｝,其中a>0,Z?>0,

可得打=-2,则其=白&=(一2『=4,令济=a,b3=ht

可得必=4.①

又令数列｛%｝中的4=-2,a2=a,%=b,

根据等差数列的性质，可得2%=4+%，

所以2a=—2+〃.②

根据①②得出〃=1,/?=4.

所以a+6=5.

故答案为5.

【点睛】

本题主要考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.

4

【解析】

利用余弦定理可求得cosA的值，进而可得出sinA的值，最后利用三角形的面积公式可得出AAC的面积.

【详解】

由余弦定理得cosA=b———=5,6———=—,贝I)sinA=\/l-cos2A=—,

2bc2x5x644

因此，，A3C的面积为S=—bcsinA=—x5x6x^-=,

ABC2244

故答案为：2.史巨.

44

【点睛】

本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于基础题.

15、3+2叵

【解析】

先根据弦长，半径，弦心距之间的关系列式求得〃-1=0,代入牛整理得刀~二一―2一-利用基

ab+----7+J

本不等式求得最值.

【详解】

解：圆（工一a『+（y—〃）2=4的圆心为（。/）,

则（。力）到直线x+），+1=0的距离为：+纣，

由直线工+），+1=（）截圆（x—4+（y『=4所得的弦长为2夜可得

1。+〃+1|丫

+A/22=22,整理得(a+/?+l)2=4,

<72；

解得一1=0或a+Z?+3=0(舍去)，令〃?=•^■^■(4>(),〃>())

ab

a+1674-1Q+11

••"?=—'"—;="

°b〃(1-。)-(〃+1)~+3(。+1)-2+一-?_+3

')Q+1

又(“+1)+高"2忘’当且仅当"+1=及时，等号成立'

贝！+--—+3<-2>/2+3

。+1

m=------------------------>f==3+2>/2

_（〃+1）_2+33—2^

I7a+\

故答案为：3+2夜.

【点睛】

本题考查直线和圆的位置关系，考核基本不等式求最值，关键是对目标式进行变形，变成能用基本不等式求最值的形

式，也可用换元法进行变形，是中档题.

16、④

【解析】

根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.

【详解】

对于①，当加〃〃时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出〃，〃处①错误；

对于②，当mua,〃u“，且小〃//,/时，由两平面平行的判定定理，不能得出“〃/?,②错误；

对于③，当。〃/?,且加u”，时，由两平面平行的性质定理，不能得出〃〃〃，③错误；

对于④，当QJL//,且naaf〃时，由两平面垂直的性质定理，能够得出〃JL/?,④正确；

综上知，正确命题的序号是④.

故答案为：④.

【点睛】

本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（I）详见解析；（II）详见解析；（ID）不需要调整安全教育方案.

【解析】

（D根据题目所给数据填写好2x2列联表，计算出《2的值，由此判断出在犯错误概率不超过90%的前提下，不能

认为性班与安全测试是否合格有关.（ID利用超几何分布的计算公式，计算出X的分布列并求得数学期望.（III）由

（II）中数据，计算出O（X）,进而求得用的值，从而得出该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.

【详解】

解：（I）由频率分布直方图可知，得分在［20,40）的频率为0.005x20=0.1,故抽取的学生答卷总数为4=6（）,

y=60x0.2=12,x=18.

性别与合格情况的2x2列联表为:

是否合格

不合格合格小计

性别

男生141630

女生102030

小计243660

一缥

即在犯错误概率不超过90%的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关.

(II)“不合格”和“合格”的人数比例为24:36=2:3,因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人，所以X可

能的取值为20、15、103、0,

P（X=20）=*4,P（X=15）=等吟P（X=10）=普］

尸—5)=等崂尸20)唔噎.

X的分布列为:

X20151050

18341

P

21735210

所以Eg=20x'+15x色+10x』+5xq+0x」-

=12.

1421735210

（ID）由（H）知：D（X）=（20-I2）2X-1-4-（15-12）2X^-+（10-12）2X14-（5-12）2X^+（0-12）2X-^=16

E（X）123

/.M=—^4=—=->0.7,

D（X）164

故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.

【点睛】

本小题主要考查2x2列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列、数学期望和方差的计算，所以中档题.

18、(1)证明见解析(2)45°

【解析】

（1）连接力力，交AC与。，连接MO,由MO//F9,得出结论；

（2）以A为原点，AC,AB,A尸分别为x,V,z轴建立空间直角坐标系，求出平面ACM的法向量，利用夹角

公式求出即可.

【详解】

（1）连接80,交AC与。，连接M。，

在△£>/为中，MO//FB,

又尸平面ACM,MOu平面ACM,

所以/8//平面ACM;

（2）由平面4BC7）_L平面ABEF,AC1AB,A8为平面ABC。与平面ABEF的交线，故AC_L平面ABE/L故

AF1AC,又所以AbJL平面A8CD,

以A为原点，AC,AB,A产分别为1,z轴建立空间直角坐标系，

A（0,0,0）,C（4,0,0）,3（020）,D（4,-2,0）,尸（0,0,2）,Af（2,-l,l）,

设平面ACM的法向量为m=(My,z),AC=(4,0,0),AM=(2,—1,1),

tn-AC=4x=0

由,得加=(0,1,1),

"?•AM=2x-y+z=0

平面ACF的法向量为AB=（0JO）,

由cos^AB,fn^=-^==^-

故二面角M-AC-F的大小为45°.

本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

19、(I)(YO,-l]U[3,+co).

(II)-13<m<5.

【解析】

3-3x,x<一,

详解：（I）/（x）+/（2x+l）=|x-2|+|2x-l|=-x+1,—<x<2,

2

3x-3,x>2.

当x<不时，由3-3x26,解得xW-1；

2

当!时，x+lN6不成立；

2

当x>2时，由3%一326,解得xN3.

所以不等式>6的解集为("「I]L艮笆).

(II)因为a+b=l(q力>0),

所卜I41/,414Z?a14ba

所以一+—=(4+人)一+—=5+—4-—>5+2J-------=9.

ab'\ab)ab\ab

由题意知对WxwR,,-2一/“一卜无一2|49,

即g2_*r_2|)皿49,

因为卜_2_利|_卜工-2|勿z)_(x+2)=,

所以一9工机+4K9,解得一13《加工5.

【点睛】

⑴绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：①绝对值定

义法；②平方法；③零点区域法.

⑵不等式的恒成立可用分离变量法.若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化

为求主元函数的最值，进而求出参数范围.这种方法本质也是求最值.一般有：

①/W<g⑷(〃为参数)恒成立。g(〃)>/(。皿

②/(x)>g(a)(a为参数)恒成立u>g(a)〈为x)111ax.

20、(I)a=l,b=\(II)见解析

【解析】

(1)根据导数的运算法则，求出函数的导数，利用切线方程求出切线的斜率及切点，利用函数在切点处的导数值为曲

线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出。，值；(2)首先将不等式转化为函数，即将不等式右边式子

左移，得

Inxk1

----+—

x-1x\-xX

构造函数〃3=22+。-1""7并判断其符号，这里应注意x的取值范围，从而证明不等式.

【详解】

^1-lnx

解।（1）/r（A）=--xb

-1)27

由于直线x+2y-3=0的斜率为-g,且过点（1,1）,

"1)=1，b=l,

1即1

故、/0)=4a.1解得a=\,b=l.

----b=——,

122

由知

(2)(1)f(x)=^-+-

X+1X

Inxk

所以/（力-------+—---721nx+

A-lX1-A-

考虑函数〃(x)=21nx+^-----------»(戈>1)，

X

(女-1乂%2+l)+2x^(x2+l)-(x-1)~

则"(x)=

2<0-

厂

而〃(1)=0,故当X£(l,+oo)时，/?(A)<0,

1x/?(x)>0,即/(工)>等十人

所以T

1-XX1X

【点睛】

本题考查了利用导数求切线的斜率，利用函数的导数研究函数的单调性、和最值问题，以及不等式证明问题，考查了

分析及解决问题的能力，其中，不等式问题中结合构造函数实现正确转换为最大值和最小值问题是关键.

21、（1）x+2y+2-21n2=0；（2）当巴。时,/3）在（0,1）上单调递增，在（1,+8）上单调递减；当OVLVI时,/（%）

在（0,1）和j,+8）上单调递增，在［1,1

上单调递减；当。=1时在（0,+8）上单调递增；当。＞1时,/"）在

a

和（1,+x）上单调递增，在）上单调递减.

【解析】

⑴根据导数的几何意义求解即可.

⑵易得函数定义域是(0,+8)，且f\x)=("T)(D.故分4,o,0<〃<1和a=1与〃>1四种情况,分别分析得极值

x

点的关系进而求得原函数的单调性即可.

【详解】

(1)当。=0吐/(x)=r+lnxj'a)=-1+L则切线的斜率为r⑵

x22

又/(2)=-2+ln2，则曲线fM在点(2,/(2))的切线方程是y-(-2+In2)=-1(x-2),

即x+2y+2-2In2=0.

(2)/(幻=5&，一(〃+1)工+皿大的定义域是(°，+8).

ar-(6/+l)x+1_(ar-l)(^-l)

f\x)=cix-(a+\)+-=

xxx

①当a,0时,ar-IvO,所以当x£(0,l)时J'(x)>0；当x£(l,+8)时J'(x)<0,

所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,内)上单调递减;

1I>(1>

②当0<以<1时，一>1,所以当X£(()』)和一,+8时J'(x)>0；当1,一时J'(x)<0,

a\aJ<a)

1)(1A

所以/(x)在(0,1)和一,+8上单调递增，在1-上单调递减;

a)I

③当a=1时」=1,所以f'(A)..0在(0,+oo)上恒成立.所以f(x)在(0,+oc)上单调递增;

a

④当a>1时,0<,<1,

所以xJ0-］和(1,+co)时J'(x)>0；xeljU,.r(x)<0.

ka)

1)f1A

所以/5)在0-和(1,2)上单调递增，在一』上单调递减.

a)

<1)

综上所述，当4,0时,/(幻在(0,1)上单调递增，在(1,+<功上单调递减；当0<。<1时,/。)在(0,1)和一,+8上单调递

(|)上单调递减；当