定积分的几何应用

定积分的几何应用回顾曲边梯形求面积的问题abxyo一、元素法面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值abxyo（4）求极限，得A的精确值提示面积元素微元法的一般步骤：这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．[f上(x)

f下(x)]dx,它也就是面积元素.二、平面图形的面积设平面图形由上下两条曲线y

f上(x)与y

f下(x)及左右两条直线x

a与x

b所围成.

因此平面图形的面积为在点x处面积增量的近似值为

1.直角坐标情形讨论：由左右两条曲线x

j左(y)与x

j右(y)及上下两条直线y

d与y

c所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？提示：

面积为面积元素为[j右(y)

j左(y)]dy,

例1

计算抛物线y2

x与y

x2所围成的图形的面积.

解

(2)确定在x轴上的投影区间:(4)计算积分[0,1];(1)画图;

例2

计算抛物线y2

2x与直线y

x

4所围成的图形的面积.

(2)确定在y轴上的投影区间:(4)计算积分(3)确定左右曲线:[-2,4].

解

(1)画图;

例3

因为椭圆的参数方程为x

acost,

y

bsint,

所以

解

椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍.于是

ydx,椭圆在第一象限部分的面积元素为曲边扇形曲边扇形的面积元素曲边扇形是由曲线

(

)及射线

,

所围成的图形.曲边扇形的面积2.极坐标情形

例4

计算阿基米德螺线

a

(a>0)上相应于

从0变到2

的一段弧与极轴所围成的图形的面积.

解

例5

计算心形线

a(1

cos

)(a>0)所围成的图形的面积.

解

曲边扇形的面积：三、体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.这直线叫做旋转轴.

1.旋转体的体积旋转体都可以看作是由连续曲线y

f(x)、直线x

a、a

b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体.

1.旋转体的体积旋转体的体积元素考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片,

用圆柱体的体积

[f(x)]2dx作为切片体积的近似值,旋转体的体积

于是体积元素为dV

[f(x)]2dx.

例6

连接坐标原点O及点P(h,

r)的直线、直线x

h及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体.计算这圆锥体的体积.

旋转体的体积：

解

解

轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体.

旋转椭球体的体积为旋转体的体积：

例7

计算由椭圆所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积.

设立体在x轴上的投影区间为[a,

b],立体内垂直于x轴的截面面积为A(x).

立体的体积元素为立体的体积为2.平行截面面积为已知的立体的体积A(x)dx.截面面积为A(x)的立体体积：

例9

一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角

.计算这平面截圆柱所得立体的体积.

建立坐标系如图,则底圆的方程为x2

y2

R2.

所求立体的体积为

解

立体中过点x且垂直于x轴的截面为直角三角形,其面积为四、平面曲线的弧长设曲线弧由直角坐标方程y

f(x)(a

x

b)给出,其中f(x)在区间[a,

b]上具有一阶连续导数.现在来计算这曲线弧的长度.

在曲率一节中,我们已经知道弧微分的表达式为这也就是弧长元素.因此,曲线弧的长度为直角坐标情形

例11

长度.

因此,所求弧长为

解

曲线y

f(x)(a

x

b)的弧长：

设曲线弧由参数方程x

(t)、y

(t)(

t

)给出,其中

(t)、

(t)在[

,

]上具有连续导数.于是曲线弧的长为曲线y

f(x)(a

x

b)的弧长：

参数方程情形曲线x

(t)、y

(t)(

t

)的弧长：

例12

求摆线x

a(q

sinq),

y

a(1

cosq)的一拱(0

2

)的长度.

解

于是所求弧长为曲线y

f(x)(a

x

b)的弧长：

弧长元素为微元法的提出、思想、步骤.（注意微元法的本质）求在直角坐标系下、参数方程形