高三数学骨干教师对立体几何专题培训资料：差异、特点及对策

——对立体几何专题的学习体会差异、特点及对策1、全国新课标Ⅰ卷与福建卷考查差异比较2、近几年全国新课标Ⅰ卷考查热点3、2016届高三立体几何复习建议全国新课标Ⅰ卷与福建卷考查差异比较一、考查内容与要求：细微差别《全国考试大纲》《全国考试说明》与《福建考试说明》要求相同的内容考查内容差异之一：空间几何体部分福建：了解平行投影和中心投影；全国：会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图；解读：行为动词“会用”属于“了解”的层次，考试大纲（全国）的表述更清晰。空间几何体部分福建：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。全国：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。解读：试卷上已提供相关公式。考查内容差异之二：空间几何体部分福建：能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。全国：能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。解读：无实质性差别。考查内容差异之三：空间向量与立体几何部分福建：了解向量方法在研究几何问题中的应用。全国：了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。解读：从字面上理解，福建的要求不仅限于立体几何，但由于本部分是研究空间向量，所以可以认为两种表述并没有实质性差异。考查内容差异之四：二、考查分值比较近五年文史福建卷考查情况：2011年2012年2013年2014年2015年15正方体中元素计算4三视图

3圆柱侧面积9三视图20线面垂直，四棱锥体积（四棱锥）19线面垂直，三棱锥体积（长方体）18三视图线面平行，三棱锥体积（四棱锥）19线面垂直，三棱锥体积（三棱锥）20线面垂直，三棱锥体积（组合体）填空题一道，解答题一道，共16分选择题一道，解答题一道，共17分解答题一道，共12分选择题一道，解答题一道，共17分选择题一道，解答题一道，共17分结论：

1、考查分值约17分，选择题和解答题各一道；

2、解答题一般在中间略偏后位置；

3、高频考点有：三视图，线面垂直，多面体体积近五年文史福建卷考查情况：近五年文史全国新课标Ⅰ卷考查情况：2011年2012年2013年2014年2015年8三视图7三视图，三棱锥体积11三视图，组合体体积12三视图6圆锥体积16圆锥与球8球的截面与球的体积15球的截面与球的表面积19二面角（三棱柱倒放）11三视图，组合体表面积18线线垂直，三棱锥的高（四棱锥）19面面垂直，棱柱体积（三棱柱）18线线垂直，三棱锥体积（三棱柱倒放）

18面面垂直，三棱锥体积及侧面积（三棱锥）选择题一道，填空题一道，解答题一道，共22分选择题两道，解答题一道，共22分选择题一道，填空题一道，解答题一道，共22分选择题一道，解答题一道，共17分选择题两道，解答题一道，共22分结论：

1、考查分值22分，选择题一道、填空题一道、解答题一道，或者选择题两道、解答题一道；

2、解答题一般在中间略偏前位置；

3、高频考点有：三视图，垂直，球，体积计算等。近五年文史全国新课标Ⅰ卷考查情况：近五年理科福建卷考查情况：2011年2012年2013年2014年2015年12三棱锥体积4三视图12三视图球的表面积2三视图7线面位置关系20面面垂直，线面角（四棱锥）18线线垂直，线面平行，二面角（长方体）18线面垂直，线面角，四棱柱表面积（四棱柱）17线线垂直，线面角（三棱锥）17线面平行，二面角（组合体）填空题一道，解答题一道，共19分选择题一道，解答题一道，共18分填空题一道，解答题一道，共18分选择题一道，解答题一道，共17分选择题一道，解答题一道，共18分福建卷题量一般是“一小一大”，分值在17分左右，但难度波动较大，例如2011年理科卷立体几何位置在第20题，2013年理科卷立体几何位置在第19题，而2014年和2015年理科卷立体几何位置都在第17题。近五年理科全国新课标Ⅰ卷考查情况：2011年2012年2013年2014年2015年5三视图7三视图，三棱锥体积6球的体积12三视图6圆锥体积15四棱锥体积8球及三棱锥的体积

8三视图，组合体的体积19二面角（三棱柱倒放）11三视图，组合体表面积18线线垂直，二面角（四棱锥）19线线垂直，二面角（直三棱柱）18线线垂直，线面角（三棱柱倒放）

18面面垂直，线线角选择题一道，填空题一道，解答题一道，共22分选择题两道，解答题一道，共22分选择题两道，解答题一道，共22分选择题一道，解答题一道，共17分选择题两道，解答题一道，共22分结论：

1、考查分值22分，选择题一道、填空题一道、解答题一道，或者选择题两道、解答题一道；

2、解答题一般在中间略偏前位置；

3、高频考点有：三视图，垂直，球，二面角等。

近五年理科全国新课标Ⅰ卷考查情况：

从上面列表可以看出，近5年来，全国新课标Ⅰ卷在题量上，除了2014年是“一小一大”，分值17分，其他年份的试题都是“两小一大”，分值22分；在考查两个小题的年份，文理科至少都有一个小题相同；解答题位置都在第18题或第19题，文理科试题大都成姊妹题，难度比较稳定。内容课时课时比例应考分值福建卷实测立体几何初步（文科）1818/252=0.0711分

17分立体几何（理科）18+12=3030/324=0.09314分

18分实测分值均远超课时比例，尤其是全国卷内容课时课时比例应考分值全国Ⅰ卷实测立体几何初步（文科）1818/270=0.06710分

22分立体几何（理科）18+12=3030/306=0.09814.7分

22分三、命题风格差异比较

福建卷的试题，注重设问方式的创新，或者不同模块知识之间的交汇，虽然也考查了空间想象能力以及推理论证能力，但总体上，知识立意的痕迹比较明显，一般难度不大。

从选择题和填空题看，福建卷的试题一般以知识立意，试题难度不大；全国卷的试题一般以能力立意，突出对空间想象能力和推理论证能力的考查，难度较大。福建卷对空间想象能力和推理论证能力的考查力度明显弱于全国卷。

从解答题看，福建卷有时放得比较后，希望通过知识交汇等方式来达到选拔的目的。全国卷Ⅰ的题目显得比较“干净”，专注于空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力的考查。与福建卷一样试题都比较常规，难度相当。近几年全国新课标Ⅰ卷考查热点

1、突出三视图问题的考查

全国新课标卷I每年都考查三视图问题，从考查形式来看,以选择题、填空题为主。对有关三视图试题进行分析，可以感受到全国新课标卷对空间想象能力的考查比福建卷要求更高。【例1】(2014年高考全国新课标Ⅰ卷理科第（12）题)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画的是某多面体的三视图所示，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）

（A）（B）（C）6（D）4

【例2】(2013年高考全国新课标Ⅰ卷文科第（11）题)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（A）(B)(C)(D)

2、突出球类问题的考查

球作为优美几何体的典型代表，在新课标全国卷中屡屡出现。近5年来，全国新课标Ⅰ卷只有2014年没有考查球的问题，其他年份都考，而福建卷很少涉及。在以球为载体的问题中：1、考查球的表面积、体积及距离等基本量的计算；2、考查球与多面体的相切接，较好地考查了学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【例3】(2013年高考全国新课标Ⅰ卷理科第（6）题)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）

（A）(B)(C)(D)

图43、注重对平行、垂直特别是垂直关系的考查

全国新课标Ⅰ卷文理科解答题将垂直关系作为考查的重点。近5年来，全国新课标Ⅰ卷在解答题中都考查垂直关系，未涉及平行问题，且5年中有3年都考查了直线与直线垂直的判定。【例5】(2015年高考全国新课标Ⅰ卷理科第（18）题)如图，四边形ABCD为菱形，,E,F是平面ABCD同一侧的两点，平面ABCD，平面，BE=2DF，.

（Ⅰ）证明：平面平面AFC;

（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

【例6】(2015年高考全国新课标Ⅰ卷文科第（18）题)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.

（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；

（Ⅱ）若，，三棱锥E-ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积.

4、强调数学的应用意识

【例7】(2015年高考全国新课标Ⅰ卷理科、文科均第（6）题)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图3，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛

5、突出对空间角及体积的考查

新课标卷Ⅰ对立体几何解答题的考查，一般分成两部分，前一部分主要考查空间中点、线、面的位置关系，后一部分理科主要考查空间角、文科主要考查体积的计算问题。对空间角问题，全国新课标Ⅰ卷特别青睐二面角的考查，2011——2015五年中有三年都考查了二面角问题。2016届高三立体几何复习建议

立体几何是考查空间想象能力的重要载体，涉及的问题包括识图与画图、证明与计算等。因此，在高三复习教学中，我们必须先找准“出发点”——立足考纲，了解命题特点，再努力尝试占领“制高点”——决胜高考。

（一）把握考试要求，了解命题特点，提高备考实效性《全国考试大纲》《全国考试说明》是指导高考命题与复习教学的权威性文件，要认真研读、仔细推敲，准确把握定位和要求，做到四个明确：（1）明确各部分考查的知识点；（2）明确各知识点的要求层次；（3）明确哪些知识是重点要求的；（4）明确其中隐含的数学思想、数学能力及其考查要求。1、吃透考纲，明确复习方向2、了解命题特点，找准复习“效”度

有效的复习教学不仅要弄清高考考什么，还要明确怎么考，因此必须对近年来的全国新课标卷进行研究。通过研究，帮助教师了解立体几何的命题特点，有效指导立体几何教学中“度”的把握，提高复习教学的针对性和实效性。文理科通用的考点中，要重点复习的内容有：简单几何体的三视图与直观图；简单几何体的表面积与体积的计算；线线、线面、面面平行和垂直的判定与性质.理科选修内容要重点复习用空间向量证明平行与垂直关系、计算各类角等问题，还应兼顾“一题两法”，形成基本技能。（二）立足基础,熟练掌握通性通法

通性通法是指具有某些规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的数学思想方法，是解决问题的基本方法，是学生应该重点掌握的方法。我们要按《全国考试大纲》《全国高考考试说明》对立体几何内容的要求，从知识的内在联系出发，引导学生将立体几何知识点串联起来，促进知识的系统化、条理化、综合化,提高学生灵活运用有关知识分析问题、解决问题的能力。1、空间几何体的三视图与直观图

（1）复习教学中，要从对空间几何体的整体观察入手，采用“直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算”等方法认识和探索几何图形及其性质，达到能识别三视图所表示的立体模型，能画简单空间图形的三视图，会用斜二测法画出它们的直观图，培养学生的空间想象能力。通过复习，让学生熟悉常见几何体的三视图；牢记“长对正，高平齐，宽相等”；虚实线，要细看。

（2）重视简单几何体（包括简易组合体）的三视图与几何体的表面积、体积的求解问题，引导学生对不规则的几何体进行“分割”、“补形”等方法转化为可求的几何体进行求解，提高学生的运算求解能力。2、球类问题在以球为载体的问题中：一是考查球的表面积、体积及距离等基本量的计算。二是考查球与特殊的几何体的相切接问题。在复习教学中，要充分利用教材中关于球与几何体相切（相接）的几个模型（如：球与正方体相切（相接）、球与正四面体相切（相接）），对球类题型进行有针对性的训练，引导学生做到面对球类问题游刃有余。3、直线与平面的位置关系的判定与证明

空间直线与平面之间的位置关系，其主要内容包括“平面的基本性质、空间两条直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系”等，是立体几何的核心内容，因而是高考必考的重点内容。题型一般是以空间几何体为载体，考查其中的线线、线面、面面的平行与垂直关系。

全国新课标Ⅰ卷对线线、线面、面面的垂直关系的考查是重中之重。在复习备考中，要紧紧抓住重点进行教学并加强训练，强化学生对线面有关位置关系的定义、公理、定理的深刻理解，熟练掌握“文字语言、图形语言、符号语言”这三种语言之间的互译与转换，培养学生的推理论证能力。

此外，在课堂教学中，要注意训练学生思维的严谨性、书写表达的规范性。教师要做好示范，每一节课至少要有一道规范板演的解题过程，逐步培养学生书写规范的习惯。

重视探究与开放问题的训练，加强对条件或结论不完备的情形下的开放性问题的研究由于全国新课标卷解答题的考查往往是中档题，所以在复习中要控制好题目的难度，设置问题时要循序渐进、步步深入。4、应用性问题

全国新课标卷Ⅰ的立体几何试题体现了“大稳定、小创新”的设计理念，强调数学的应用意识，关注对考生文化素养的考查.这些问题在考查基础的同时，适度创新，题目新颖而不困难，给考生发挥自己的真实数学水平提供了很好的平台，并引导学生形成良好的数学文化素养．

5、空间向量的应用（理科）

向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，融数与形于一体，