1.4 线段垂直平分线与角平分线（第2课时 角平分线的性质）（教学课件）数学苏科版2024八年级上册

1.4线段垂直平分线与角平分线第2课时

角平分线的性质

第一章

三角形

学

习

目

标123经历探索角的轴对称性的过程，进一步体会轴对称的特性，发展空间观念．掌握角平分线的性质定理及其逆定理，并能应用它们进行计算、证明．通过探索、猜测、证明的过程，进一步发展推理能力．操作引入在一张薄纸上画∠AOB，折叠画出角平分线．BAO新知探究角平分线上的任意一点P到角两边的距离有什么关系？如何证明？BAOCDP●

新知归纳角平分线上的点到角两边的距离相等．角平分线的性质定理：任意一点新知归纳符号语言：OABPCDP到OA的距离P到OB的距离角平分线上的点∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC＝PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）.●用途：证明线段相等.注意：一定要表明是两条垂线段.讨论交流如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点一定在这个角的平分线上吗？如何证明？OBACDQ●

新知归纳角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.角平分线性质定理的逆定理：角平分线是到角两边距离相等的点的集合.新知归纳∵QC＝QD，QC⊥OA，QD⊥OB，∴点Q在∠AOB的平分线上.

（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）.符号语言：用途：确定点在角平分线上，即可以判定角平分线.OABQCD注意：一定要表明是两条垂线段.典例分析例1如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P．求证：点P在∠C的平分线上．PABDEFNMCAD是∠BAC的平分线PF＝PNBE是∠ABC的平分线PF＝PMPM＝PN点P在∠C的平分线上典例分析例1如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P．求证：点P在∠C的平分线上．PABDEFNMC证明：过点P作PF⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为F，M，N．∵AD平分∠BAC，点P在AD上，PF⊥AB，PN⊥AC．∴PF＝PN（角平分线的性质定理）.同理PF＝PM．∴PM＝PN．∵PM⊥BC，PN⊥AC，∴点P在∠C的平分线上（角平分线的性质定理的逆定理）.归纳总结

三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.已知角平分线时，常考虑将角平分线上的点到角两边的距离作出来.典例分析例2

利用网格画图：(1)在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等；ABC●P典例分析例2

利用网格画图：(2)在射线AP上找一点Q，使QB＝QC.ABC●P●Q典例分析例3

如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F．求证：AD垂直平分EF．AFECBD1234证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠1＝∠2，∴∠3＝∠4.∴DE＝DF，AE＝AF（角平分线的性质定理）.∴点D、A在EF的垂直平分线上（线段垂直平分线性质定理的逆定理）.∴AD垂直平分EF.讨论交流

如图，把直尺的一边落在∠AOB的边OA上，沿直尺的另一边画出直线CD；再把直尺的一边落在∠AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF，CD与EF相交于点P．连接OP，OP是∠AOB的平分线吗？为什么？ABOCDEFP●MN

MN新知巩固1．如图，判断△ABC的外角∠BAD，∠ABE的平分线的交点是否在∠C的平分线上，并证明你的结论.ABCDEFO●解：△ABC的外角平分线的交点在∠C的平分线上.证明：如图，∠BAD，∠ABE的平分线OA、OB交于点O．过O点作OF⊥CD，OM⊥AB，ON⊥CE，垂足分别为F，M，N.∵点O在∠BAD的平分线上，OF⊥AD，OM⊥AB.∴OF＝OM.同理OM＝ON.∴OF＝ON.∵OF⊥CD，ON⊥CE，∴点O在∠ACB的平分线上.

新知巩固2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，求证：D是BC的中点．ABCDEF

新知巩固3．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE＝CF．ABCDEF

思维提升

如图，直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处？画出它的位置.l1l2l3思维提升P1P2P3P4l1l2l3课堂小结角平分线性质定理