湖北省武汉市武昌区2025届高三上学期期末质量检测数学试题 答案

湖北省武汉市武昌区2025届高三上学期期末质量检测数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】化简集合，根据集合的交集运算求解.【详解】集合

，，则.故选：A.2.若复数z满足，则（）A.2B.-2C.2iD.【答案】B【解析】【分析】利用复数的四则运算及共轭复数的定义计算即可.【详解】解：因为，所以，所以所以故选：3.已知双曲线C的渐近线方程为，则C的离心率为（）A.B.C.或D.不能确定【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用双曲线焦点位置设出方程，借助渐近线方程求出离心率.【详解】当双曲线方程为

时，其渐近线为，

，则离心率

；当双曲线方程为

时，其渐近线为，

，则离心率

，所以双曲线的离心率为

或

.故选：C4.已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，则（）A.B.C.13D.【答案】C【解析】【分析】利用等差数列求和公式以及等差数列的性质可求得的值.【详解】因为公差不为零的等差数列的前项和为，且，因为，整理可得，故，所以，.故选：C.5.中国冶炼铸铁的技术比欧洲早2000年左右，冶炼铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始．现将一个表面积为cm2的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭(浇铸过程体积无变化)，该铁锭的上、下底面的边长分别为cm和cm，则该铁锭的高为（）A.30cmB.C.36cmD.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用球的表面积、体积公式及棱台的体积公式列式计算得解.【详解】解：设实心铁球的半径为R，则

，解得，则实心铁球的体积为

，设正四棱台的实心铁锭的高为h，因为实心铁球的体积和正四棱台的实心铁锭体积相等，则

，解得

故选：6.已知函数在与上的最小值均为，最大值也相同，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题干的定义域，求出的定义域，再得到值域，列不等式，得到答案.【详解】解：由题，，当时，；当时，；要使在与上的最小值均为，最大值也相同，显然，且，则有，解得，故实数a的取值范围是，故选：7.已知平面向量，，，满足，则的最小值是（）A0B.3C.2D.2【答案】D【解析】【分析】不妨设，计算，当时，【详解】解：向量满足，则不妨设，则，则，且，则，当时，故选：D.8.已知函数在定义域上单调递减，，均有，则函数的最小值是（）A.8B.6C.4D.【答案】A【解析】【分析】记，由，利用函数单调性知，结合，首先求出的解析式，可得函数，再利用配方法求最值即可求解.【详解】记，用y替换

中的x得，且，，因为函数在定义域0,+∞上单调递减，所以，因为，所以

，或，又函数在定义域上单调递减所以有满足题设条件.所以，，当即x=-1时，函数的最小值是故选：A【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是用y替换

中的x，然后利用函数的单调性求出函数的解析式.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某射击运动员在一次训练中一共进行了10次射击，成绩依次为6，5，7，8，6，7，9，7，9，单位：环)，则下列说法中正确的是（）A.这组数的众数为7B.这组数的第80百分位数为8C.若每个数都减去2，则这组数的均值也会减去2D.若每个数都乘以2，则这组数方差也会乘以2【答案】AC【解析】【分析】分别求出运动员成绩的众数，均值，方差、以及第80百分位，再用均值，方差性质，判断四个选项即可．【详解】解：将成绩从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，7，8，9，9，对于A、这组数的众数为7，故A正确；对于B、因为，则这组数的第80百分位数为，故B错误；对于C、若每个数都减去2，则这组数的均值也会减去2，故C正确；对于D、若每个数都乘以2，则这组数方差会乘以4，故D错误.故选：AC.10.已知函数，则（）A.B.若函数单调递增，则C.当时，函数的图象关于点中心对称D.若存在m>0，使得，则a的最大值是1【答案】BCD【解析】【分析】利用配方法判断A；利用导数判断B；利用中心对称的性质判断C；分类讨论判断【详解】解：因为，所以，A错误；求导数，，所以，所以，B正确；当时，，所以，所以函数的图象关于点中心对称，C正确；当时，，满足题意；当时，若x>0,则f(x)=x故在上无解，故，所以a的最大值是1，D正确.故选:11.已知非常数数列，其前n项和为Sn，若，，，使得，则称为包容数列．下列说法错误的是（）A.数列0，0，1，1，，是包容数列B.任何包容数列的前三项中一定存在两项互为相反数C.若一个包容数列从第k项开始连续三项可以构成一个各项均为正数的等差数列，则k的最小值为5D.由，0，1三个数生成的包容数列中，如果去掉一项后依然是包容数列，这项一定是0【答案】ACD【解析】【分析】根据包容数列的定义和性质可判断ABD的正误，利用枚举法可判断C的正误.【详解】对于A，当时，不存在使，所以数列0，0，1，1，，不是包容数列，故A错误；对于B，当为包容数列，则或或，即或或，故B正确；对于D，，0，1去掉后，得到0，1仍是包容数列，故D错误；对于C，可为任意数，考虑前2项，或，得或，所以包容数列的前2项中必有1个数为0，设包容数列的前2项为m，0或0，m，考虑前3项，由B项知的前3项中必有2项互为相反数，则的前3项为m，0，0或0，m，0或m，0，或0，m，同理可知的前n项中必有项之和为0，的前4项为m，0，0，0①或m，0，0，②或0，m，0，0③或0，m，0，④或m，0，，n⑤或0，m，，n⑥，从第5项开始：对于①，对于②，对于③，；对于④，；对于⑤，对于⑥，综上所述，中要么会有一个0，要么会有一组相反数，所以不可能全为正，故C错误.故选：ACD.【点睛】思路点睛：对于数列新定义问题，注意根据数列新定义展开计算与讨论，对于新定义下数列的性质的探究，可以从具体中找到一般的性质.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.展开式中只有第7项的系数最大，则__________.【答案】12【解析】【分析】由题意利用二项式定理，二项式系数的性质，得出结论．【详解】解：的展开式中，只有第七项的系数即二项式系数最大，故展开式共有13项，则，故答案为：13.已知随机变量X，Y均服从分布，若，且，则__________.【答案】【解析】【分析】根据两点分布的概率特征，结合互斥事件特征和对立事件概率性质计算即可.【详解】解：因为随机变量X，Y均服从分布，且，所以，因为，所以，且因为，所以，因此，所以故答案为：1314.设圆与抛物线交于点，为圆的直径，过点的直线与抛物线交于不同于点的两个点D，E，则直线AD与AE的斜率之积为__________.【答案】2【解析】【分析】由题意得出，，设，，由B，D，E三点共线可得，结合，，化简得，代入即可求.【详解】将代入圆的方程中，得，故，又因为为圆与抛物线的交点，所以，代入得，即抛物线，由AB为圆的直径可得，A，B关于O对称，则，设，，则由B，D，E三点共线可得，整理得，又因为，，所以，整理得，由题意，所以，所以，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足（1）求B；（2）若的面积为3，，求中线BD的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理将已知的正弦关系转化为边的关系，再利用余弦定理求出角。（2）先由三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，最后利用向量关系求出中线BD的长。【小问1详解】因为，所以，又因为所以，，得，所以，由余弦定理得，又B为三角形内角，所以，【小问2详解】因为的面积为，，，所以，，所以，又，因为BD为的中线，所以，，所以，，所以16.如图，四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，（1）已知G为AF的中点，求证：平面DCF；（2）若直线BF与平面ABCD所成的角为，二面角的余弦值为23，求点B到平面DCF的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取DF的中点K，可证明四边形KGBC为平行四边形，即可证明平面；（2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设，求出平面DCF的法向量为，应用公式即可求点B到平面DCF的距离.【小问1详解】取DF的中点K，连接GK、KC，因为G为AF中点，所以，，因为，，所以，，所以四边形KGBC为平行四边形，所以，因为平面DCF，平面DCF，故平面DCF；【小问2详解】因为平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，所以FA，AD，AB两两垂直，以A为坐标原点，AF，AB，AD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，直线BF与平面ABCD所成的角为，有，设，，则，，，，所以，，，设平面DCF的法向量为，所以，即，令x=1，则，，所以，所以AF→>=n→⋅AF因为，所以点B到平面DCF的距离17.已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当x<1时，，求实数a取值范围．【答案】（1）在，单调递增，在，单调递减.（2）【解析】【分析】（1）先将代入函数，然后对求导，根据导数的正负来确定函数的单调区间.（2）当时，通过移项参变分离变形，构造新函数，利用导数研究新函数的性质来确定实数的取值范围.【小问1详解】当时，，则，令，解得x=0或32，当或时，f′x当或时，所以在，单调递增，在0,1，单调递减.【小问2详解】因为x<1时，，所以，得，即，令，则，令，且φx在上单调递增，且，所以，当时，，即当时，，即h′x>0.所以，hx在上单调递减，在0,1上单调递增，所以，故18.已知椭圆C：的长轴长是短轴长的2倍，焦距为，点A，B分别为C的左、右顶点，点P，Q为C上的两个动点，且分别位于x轴上、下两侧，和的面积分别为，，记（1）求椭圆C的方程；（2）若，求证直线PQ过定点，并求出该点坐标；（3）若，设直线AP和直线BQ的斜率分别为，，求的取值范围．【答案】（1）（2）证明见解析，定点坐标为（3）【解析】【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆方程；（2）由图形对称性可知定点在x轴上，设，由题意得，求解即可.（3）设直线PQ的方程为，，，并表示联立由韦达定理得，，代入化简并结合即可得所求.【小问1详解】由题意知，，，又，，，所以椭圆C的方程为：【小问2详解】证明：由知，，由图形对称性可知，定点M在x轴上，设直线PQ方程为：，，，，，解得，即定点坐标为【小问3详解】设直线PQ的方程为，，联立可得，则，，且于是，，，即的范围是19.有五张背面完全相同的数字卡片，正面分别写着，将它们背面朝上随机放在桌子上（不叠放），翻开这些卡片时，要求按照从小到大的数字顺序依次翻开，如果翻开了一张卡片其顺序不符合要求，应该立刻将它翻回至背面朝上（翻回不计入次数）并记住此卡片出现的数字，以保证翻卡片的次数尽可能少，直到所有卡片正面朝上为止．（1）求第三次恰好翻开数字为的卡片且不再翻回的概率；（2）记为需要翻开的次数，求的分布列及数学期望；（3）将卡片数量改为张，并依次写上数字，记为翻开这些卡片需要的平均次数，求证：.附：数学期望具有线性可加性，即【答案】（1）（2）分布列见解析，次（3）证明见解析【解析】【分析】（1）分两种情况讨论如果第一张翻出了和第二张翻出了，利用互斥事件的概率公式即可求解；（2）根据题设可得次数可取，再分别求出相应的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算公式，即可求解；（3）记为需要翻开写有点数的纸卡片的次数，根据题设有，从而得到，即可求解.【小问1详解】由题知，前两次一定会翻到，否则第三次翻到也会被翻回，故分两种情况：如果第一张翻出了，那么第二次一定不能翻，因此，如果第二张翻出了，那么有两种情况，第一种情况第一张翻出了并翻回，另一种情况是第一张没有翻出2，第三张恰好翻到2，因此，所以.【小问2详解】根据题意可以推断出下面两点：首先，错误翻开的卡片即使被翻回至背面朝上，也会知道这张卡片的点数，因此第二次翻开它时并非随机事件；其次，如果在翻一张卡片时，点数比它小的所有卡片没有被翻开，那么这张卡片就需要被翻两次，可以看作是考虑随机对翻开五张卡片的进行排列，从左往右依次翻开卡片，遇到不符合顺序的进行调整，因此需要翻开的次数可取，①当时，恰好按照从小到大的顺序翻开了所有卡片，因此，；②当时，点数为到的扑克卡片恰好全部在1之前翻开，因此，；③当时，只有一张卡片没有在所有比它小的卡片翻开时翻开了，因此，；④当时，有三张卡片错误地翻开了，因此，；⑤当时，易知，列出分布列有1