第2章 相交线与平行线（单元测试·拔尖卷）（含答案）-北师大版(2024)七下

第2章相交线与平行线（单元测试·拔尖卷）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．已知是直线外一点，以为一个端点作线段，使端点在直线上，并且使线段的长为，这样的线段可以作的条数是（

）．A．0或1 B．1或2 C．0或2 D．非以上答案2．将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（

）A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④3．如图，，，点在上，点在上，设与相等的角的个数为（不包括本身），与互补的角的个数为．若，则的值是（

）A．8 B．9 C．10 D．114．如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角，则反射光束GH与天花板所形成的角不可能取到的度数为（

）A．129° B．72° C．51° D．18°5．如图，ABCD，平分，平分，，，则下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确结论有（

）个．A．5 B．4 C．6 D．26．如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法错误的是（

）A．当α＝15°时，DC∥ABB．当OC⊥AB时，α＝45°C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行7．如图所示，将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中和的两个角顶点O重合在一起．三角板保持不动，将三角板绕点O顺时针方向旋转一周的过程中，若，则的大小为（

）

A．或 B．或 C．或 D．或8．如图1，将一条对边互相平行的围巾折叠，并将其抽象成相应的数学模型如图2，，折痕分别为，，若，，则等于（）

A． B． C． D．9．如图，，点A到直线的距离为3，若在射线上只存在一个点，记的长度为，则的值可以是（）

A．7 B．2 C．5 D．610．如图，于C，E是上一点，，，，，则与与之间的数量关系为（

）A．B．C．D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．已知直线与直线相交于点O，，于点O，则．12．与的两边互相垂直，且，则的度数为.13．如图，平分平分，则．14．已知、是两面互相垂直的平面镜，一束光线沿经、反射后沿射出，若，，则°

15．已知，如图平行，O为平面内一点，，的角平分线相交于G点，则°

16．已知直线，射线、分别平分，，两射线反向延长线交于点，请写出，之间的数量关系：．17．在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间t=秒时，两块三角尺有一组边平行．18．直线，点是直线上一点，点是直线上一点，且点、在直线同侧，点、在直线另一侧，点是直线和之间的一点，若，，则．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）已知：如图，直线与直线交点O，，平分．（1）如图1，求证：平分；（2）如图2，，在直线的下方，若平分，平分，，求的度数．20．（8分）如图，点分别在射线上，．

（1）求证：；（2）如图1，点在上，连接，且相交于点，，当时，求的值．（3）在（2）条件下，若，求证：．21．（10分）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，．

（1）依题意在图1中补全图形，并证明：；（2）过点C作直线．在直线上取点，使．①当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系；②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是________（用含的式子表示）．22．（10分）现有一块含角的直角三角尺，是直角，其顶点在直线上，请你解决下列问题：

（1）如图1，请直接写出、的数量关系；（2）如图2，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，请写出图中分别与、相等的角，并说明理由；（3）如图3，平分，将直角三角尺绕着点旋转，当时，请直接写出与直线所成锐角的度数．23．（10分）已知四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是边AB上一点，F为边BC上一点（不与B，C两点重合），连接EF，DF，且EF⊥DF．（1）如图1，若∠DFC=∠A，求证：AD⊥FD（2）如图2，∠BEF和∠CDF的平分线相较于点O，当点F在边BC上运动时，探究∠O的大小是否发生变化？若不变，求出∠O的度数；若变化，写出其变化范围．24．（12分）阅读理解：如图，从的顶点出发，在的内部作一条射线，将分得的两个角为和，其中至少有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”．请回答以下问题：（1）若，，请判断此时是否为的“分补线”，并说明理由；（2）若平分，为的“分补线”，①当与重合时，求的度数；②当为的“分补线”时，请画出图形并求出此时的度数．参考答案：1．D【分析】本题考查了点到直线的距离，根据垂线段最短分三种情况解答即可求解，掌握垂线段最短是解题的关键．解：当与的距离小于时，这样的线段可作条；当与的距离等于时，这样的线段可作条；当与的距离大于时，这样的线段可作条；综上，这样的线段可作条或条或条，故选：．2．D【分析】根据∠1+∠2=∠3+∠2即可证得①；根据求出∠1与∠E的度数大小即可判断②；利用∠2求出∠3，与∠B的度数大小即可判断③；利用求出∠1，即可得到∠2的度数，即可判断④.解：∵∠1+∠2=∠3+∠2=90，∴∠1=∠3，故①正确；∵，∴∠E=60，∴∠1=∠E，∴AC∥DE，故②正确；∵，∴，∵,∴∠3=∠B,∴,故③正确；∵，∴∠CFE=∠C，∵∠CFE+∠E=∠C+∠1，∴∠1=∠E=,∴∠2=90-∠1=，故④正确，故选：D.【点拨】此题考查互余角的性质，平行线的判定及性质，熟练运用解题是关键.3．D【分析】设BA的延长线为AM,由和，根据平行线的性质得到与相等的角有因为，即可推出与互补的角的个数，即可求出答案．解：设BA的延长线为AM，如图，∵，和AE//DG，∴∴与相等的角有与互补的角有∴∴故选：D．【点拨】本题主要考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，理解和掌握平行线的性质是解决问题的关键．4．C【分析】分当时，如图1所示，当时，如图2所示，两种情况，利用平行线的性质求解即可．解：当时，如图1所示，过点G作，∵，∴，∴∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∴∠PGB=∠PGQ+∠BGQ=30°+∠ABM，由反射定理可知，∠AGH=∠PGB=30°+∠ABM，∴∠PGH=180°-∠AGH-∠PGB=120°-2∠ABM，∴∠HGQ=∠PGH+∠PGQ=150°-2∠ABM，∴∠PHG=180°-∠HGQ=30°+2∠ABM，∴当时，如图2所示，过点G作，同理可得∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∠PHG=∠HGQ，∴∠AGP=∠HGB=∠HGQ+∠QGB=∠PHG+∠ABM，∴∠PGH=180°-∠AGP-∠HGB=180°-2∠PHG-2∠ABM，∴∠HGP=∠PGQ-∠PGH=2∠PHG+2∠ABM-150°，∴∠PHG=150°-2∠ABM，∴，综上所述，或，故选C．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想求解是解题的关键．5．A【分析】根据垂直得到，根据平行线的性质得到；判断①；由角平分线的定义得到，，根据垂直的定义得到，判断②；由平行线的性质和角平分线可得，即可得到，再根据角平分线求出判断③；根据垂直的定义得到，求得，根据角的和差得到，等量代换得到，判断④；根据角平分线可以求出根据角的和差得到判断⑤；根据,判断⑥．解：∵∴∵，∴，所以①正确；∵平分，平分，∴，，∵，∴，∴，所以②正确；∵ABCD，，∴，∴，又∵平分，∴，∴，所以③错误；∵，∴，∴，∴，，∴，∵，∴；所以④正确；∵，平分，∴，又∵∴，∴所以⑤正确；∵,∴，所以⑥正确．正确的有个故选：A．【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．6．B【分析】设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，当α＝15°时，可得∠OMN＝α＋∠A＝60°，可证DC∥AB；当OC⊥AB时，α＋∠A＝90°，可得α＝30°；当边OB与边OD在同一直线上时，应分两种情况，则直线DC与直线AB相交形成的锐角也有两种情况；整个旋转过程，其中DC边可以与OB，OA，AB分别平行时，之后OC可以和AB平行，OD可以和AB平行，可以得到5个位置，这5个位置再旋转180度又是平行的，所以可以得到10不同的位置．解：设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，当α＝15°时，∠OMN＝α＋∠A＝60°，∴∠OMN＝∠C，∴DC∥AB，故A说法正确，不符合题意；当OC⊥AB时，α＋∠A＝90°或α﹣180°＝90°﹣∠A，∴α＝45°或225°，故B说法错误，符合题意；当边OB与边OD在同一直线上时，此时，，，∴；当边OB与边OD在同一直线且不重合时，此时，，∴故C说法正确，不符合题意；整个旋转过程，其中DC边可以与OB，OA，AB分别平行时，之后OC可以和AB平行，OD可以和AB平行，可以得到5个位置，这5个位置再旋转180度又是平行的，所以可以得到10不同的位置，所以D说法正确不符合题意，故选B．【点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．7．D【分析】由题意，作图如图1，2，根据平行线的性质、三角板的度数进行计算求解即可．解：如图1，，

∴，∴，如图2，，

∴，∴，∴，综上，的度数为或；故选：D．【点拨】本题考查了平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．8．C【分析】根据折叠的性质得出，，根据已知条件得出，进而得出解：如图所示，

根据折叠可得，，设∵，∴，，，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴即又∵，即解得：,∴故选：C．【点拨】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．9．A【分析】根据垂线段最短进行分类讨论即可得到答案．解：根据题意可画图如下：

∵，，∴的最小值为3，根据题意分类讨论：当时，射线上不存在满足条件的点；当时，射线上存在一个点；当时，射线上存在两个点；当时，射线上存在一个点；结合选项时，在射线上只存在一个点，故选：A．【点拨】本题考查垂线段最短，熟练运用垂线段最短，能够根据题意进行分类讨论是解此题的关键．10．C【分析】利用可以证明，，从而得到，再由，，推出，从而得到，继而选出选项.解：过点H作

∵，∴∵，∴∴∴同理可得：又∵，∴∵，，∴，∴∴故选：C．【点拨】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．11．或【分析】根据题意分两类情况，根据垂直定义可得，然后利用角的和与差可得答案．解：分两种情况：如图，

，，，；如图，

，，．故答案为：或．【点拨】本题考查了垂线的性质及角的计算，熟练掌握垂线的性质及角的计算的方法进行计算是解答此题的关键．12．130°或50°解：【分析】作图分析，若两个角的边互相垂直，那么这两个角必相等或互补，可据此解答．解：如图∵β的两边与α的两边分别垂直，∴α+β=180°故β=130°，在上述情况下，若反向延长∠β的一边，那么∠β的补角的两边也与∠α的两边互相垂直，故此时∠β=50；综上可知：∠β=50°或130°，故正确答案为：【点拨】本题考核知识点：四边形内角和.解题关键点：根据题意画出图形，分析边垂直的2种可能情况.13．【分析】首先过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，由AB∥CD，即可得EM∥AB∥CD∥FN，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由∠BED=110°，即可求得∠ABE+∠CDE=250°，又由BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，根据角平分线的性质，即可求得∠ABF+∠CDF的度数，又由两只线平行，内错角相等，即可求得∠BFD的度数．解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD∥FN，∴∠ABE+∠BEM=180°，∠CDE+∠DEM=180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°，∵∠BED=110°，∴∠ABE+∠CDE=250°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，∴∠ABF+∠CDF=（∠ABE+∠CDE）=125°，∵∠DFN=∠CDF，∠BFN=∠ABF，∴∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=125°．故答案为125°【点拨】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．14．【分析】根据入射角等于反射角得出，，由得出，得出，即可得答案．解：∵入射角等于反射角，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点拨】此题考查的是平行线的性质，熟知入射角等于反射角和掌握平行线的性质是解题的关键．15．或【分析】根据O的位置，分两种情况讨论：再分别画出图形，当在，之间，当不在，之间，再利用数形结合的方法解答即可．解：如图，过作，而，∴，

∴，，∵，∴，∵的角平分线相交于G点，∴，过作，同理：，同理可得：．如图，过作，而，∴，

∴，，∵，∴，∵的角平分线相交于G点，设，，∴，∴，即，过作，则，∴，，∴；故答案为：或【点拨】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，清晰的分类讨论是解本题的关键．16．【分析】分别过点，作，，根据，可得，根据平行线性质可得，，根据角平分线定义可得，进而证出，同理，根据平角定义可得，，由此证出，进而证出结论．解：分别过点，作，∵，∴∵射线平分∴∵∴∴∵∴∴∵射线平分∴∵，，∴∴∴∴∴∵∴同理：∴∴故答案为：【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识点，能熟记平行线的性质是解本题的关键．17．6或9或15或33【分析】分五种情形分别构建方程即可解决问题．解：根据题意，∠MPA=2t，∠NPD=3t，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则运动时间为t=（秒）；当PA∥CD时，即∠APC=∠C=90°，∠CPD=60°，∴∠MPA+∠APC+∠CPD+∠NPD=180°，即2t+90+60+3t=180，解得：t=6（秒）；当PD∥AB时，即∠B=∠BPD=90°，∠BPA=45°，∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+90+3t=180，解得：t=9（秒）；当CD∥AB时，即PB与PC重合，∠BPA=45°，∠CPD=60°，∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+60+3t=180，解得：t=15（秒）；当CP∥AB时，则四边形BECP为长方形，∠CPB=90°，∴∠D=∠BPD=30°，∴∠APD=∠APB-∠BPD=45°-30°=15°，∴∠MPA+∠APD+∠NPD=180°，即2t+15+3t=180，解得：t=33（秒）；当CD∥PA时，则∠D=∠APD=30°，∴∠MPA+∠NPD-∠APD=180°，即2t+3t-30=180，解得：t=42>40，不符合题意；综上，当运动时间t为6或9或15或33秒时，两块三角尺有一组边平行．故答案为：6或9或15或33．【点拨】本题是几何变换综合题，主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18．或【分析】分两种情况，利用平行线的性质计算即可解：当点M在EF左侧时，作MG∥AB∵AB∥CD，又MG∥AB∴CD∥MG∴∠AEM=∠EMG，∠CFM=∠FMG∵∠EMF=∠EMG+∠FMG∴∠EMF=∠AEM+∠CFM∵2∠CFM=∠AEM∴∠EMF=3∠CFM∴3∠CFM=150°∴∠CFM=50°②当点M在EF右侧时，作AB∥M∵AB∥M，AB∥CD∴MG'∥CD∴∠EMG'=180°-∠AEM∠CFM+∠MF=180°∴∠MF=180°-∠CFM∵∠EMF=∠EMG'+∠FM∴∠EMF=180°-∠AEM+180°-∠CFM∵2∠CFM=∠AEM∴150°=360°-3∠CFM∴∠CFM=70°故答案为：或【点拨】本题考查平行线的性质、添加辅助线、角的和差关系、分类讨论是关键，正确添加辅助线是重点19．（1）见详解；（2）【分析】该题主要考查了角的和差倍分运算以及角平分线的定义、垂直定义、对顶角相等，解题的关键是找到图中角度之间的关系，列出等式；（1）根据垂直的定义得出根据角平分线的定义得出等量代换即可证明；（2）根据角平分线的定义得出，再根据角的和差倍分计算即可得出，结合（1）即可求解；解：（1），平分，，，，，平分．（2）平分，平分，，，，，，由（1）知，∴．20．（1）见分析；（2）3；（3）见分析【分析】（1）过点作，可得，根据即可证明；（2）设，过点在右侧作，根据条件可得，求解即可；（3）通过证明即可．解：（1）证明：

（2）解：由题意可得：设，则

过点在右侧作（3）证明：由（2），得；【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，灵活运用所学知识是关键．21．（1）见分析；（2）①点在直线的上方时，；点在直线的下方时，；②．【分析】（1）作，根据平行线的性质证明即可；（2）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；②先确定点到直线的最大距离就是线段的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可．解：（1）证明：补全图形如图所示，作，∵将线段沿平移得到线段，∴，∴，∴，∴，即

（2）解：①分两种情况：点在直线的上方时，如图所示：

由平移的性质得：，∴，∵，∴，∴，整理，得；点在直线的下方时，如图所示：

，∴，整理，得；②作，如图所示：

∵，∴点到直线的距离就是线段的长，∵，∴点到直线的最大距离就是线段的长，此时，作于点，如图所示：

由平移的性质得：，∴，∵，∴，∴故答案为：．【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差，恰当分类并画出图形是解题的关键．22．（1），理由见分析；（2），理由见分析；（3），理由见分析．【分析】（1）由平角的定义可得、和的和为，可求得与的关系，（2）由直角三角形的两锐角互余，再由（1）和结论可得出结论，（3）由平行线的性质可得，再利用（1）中的关系可求出的大小即可，解：（1）