培优导学计划数学必修5苏教版课件：第一章解三角形12第2课时

第2课时

余弦定理的变形及应用第1章

§1.2

余弦定理学习目标1.进一步理解余弦定理及其变式的结构特征和功能.2.能用余弦定理进行边角互化.3.能用余弦定理解决简单的实际问题．问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一余弦定理及其推论1.a2＝

，b2＝

，c2＝

.3.在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为

；c2>a2＋b2⇔C为

；c2<a2＋b2⇔C为

.b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC锐角直角钝角知识点二余弦定理及其变形的使用思考在解题过程中我们会遇到各种各样的条件，那么什么样的条件适合用余弦定理去化简变形呢？答案当条件中出现了余弦定理的局部或变形如a2＋b2，a＋b，ab，cosA等，可以考虑使用余弦定理或变形形式对条件进行化简变形.梳理对条件、解题目标进行变形的目的是借助正弦定理、余弦定理两个桥梁，减少条件与目标间的差异直至贯通.[思考辨析判断正误]1.在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(

)2.当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形.(

)××题型探究例1

已知在△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，求c.类型一利用余弦定理解已知两边及一边对角的三角形解答解由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得72＝82＋c2－2×8×ccos60°，整理得c2－8c＋15＝0，解得c＝3或c＝5.引申探究本例条件不变，用正弦定理求c.解答＝sinAcosB＋cosAsinB反思与感悟相对于用正弦定理解此类题，用余弦定理不必考虑三角形解的个数，解出几个是几个.解析由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，即c2－c－2＝0，∴c＝2或c＝－1(舍).2答案解析类型二边角互化例2在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，2cosAsinB＝sinC，试判断△ABC的形状.解答解方法一(化角为边)∴b2＝a2，∴a＝b.又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab，由a＝b，得4b2－c2＝3b2，∴b2＝c2，∴b＝c，∴a＝b＝c.故△ABC是等边三角形.方法二(化边为角)由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得(a＋b)2－c2＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab，∴C＝60°.又2cosAsinB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，又－180°<A－B<180°，∴A＝B，∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC是等边三角形.反思与感悟判断三角形形状的常用方法：(1)由正、余弦定理化角为边，利用代数运算求出三边的关系.(2)由正、余弦定理化边为角，通过恒等变换及内角和定理得到内角的关系，从而判断三角形的形状.解答整理，得(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0.∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2，故△ABC为等腰三角形或直角三角形.跟踪训练2在△ABC中，若(a－ccosB)sinB＝(b－ccosA)sinA，判断△ABC的形状.解由正弦定理及余弦定理，知原等式可化为类型三用余弦定理解决简单实际问题例3

如图所示为起重机装置示意图.支杆BC＝10m，吊杆AC＝15m，吊索AB＝5m，求起吊的货物与岸的距离AD.解答由余弦定理得又∠ACB＋∠ACD＝180°，在Rt△ACD中，反思与感悟在解题过程中，要善于运用平面几何的知识，注意方程思想的运用.解答跟踪训练3

如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，求该建筑物的高度.∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.

③达标检测1.在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B＝

.答案解析1234120°解析∵b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2＋ac，∵0°<B<180°，∴B＝120°.答案解析1234解析由方程可得(sinA－sinC)x2＋2xsinB＋sinA＋sinC＝0.∵

方程有两个不等的实根，∴

4sin2B－4(sin2A－sin2C)＞0.代入不等式中得b2－a2＋c2＞0，再由余弦定理，有2bccosA＝b2＋c2－a2＞0.∴0°<A<90°.2.在△ABC中，关于x的方程(1＋x2)sinA＋2xsinB＋(1－x2)sinC＝0有两个不等的实根，则A为

.(填“锐角”“直角”“钝角”)锐角答案解析3.已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝4∶3∶2，则cosB＝

.1234解析依题意设a＝4k，b＝3k，c＝2k(k>0)，则答案解析12344.如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为

.45°1234又CD＝50m，所以在△ACD中，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.1.已知两边及其中一边的对角解三角形，可以利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论，也可以采用