三年级数学下册“倍数与因数”衔接课探究型教学设计

三年级数学下册“倍数与因数”衔接课探究型教学设计

一、教学背景与设计理念

（一）教学内容剖析

本节课“倍数与因数的探究”处于小学三年级数学下册的关键衔接位置。在此之前，学生已经掌握了整数四则运算，特别是除法的意义和计算，积累了丰富的分物与等分经验。在此之后，学生将在后续学习中系统建构倍数与因数的概念，并应用于约分、通分及解决实际问题。因此，本节课并非简单的概念灌输课，而是一节“前概念探究课”，旨在激活学生已有的除法知识储备，引导他们从“整除”的视角重新审视数与数之间的关系，为后续的抽象定义奠定坚实的感性基础和探究欲望。【基础】【重要】

（二）学情研判分析

三年级学生正处于由具体形象思维向初步逻辑思维过渡的关键期。他们对“乘除法”的计算驾轻就熟，但对数字之间存在的这种“依存关系”（如12和3，12能被3整除，所以12是3的倍数，3是12的因数）感到陌生且抽象。学生的思维难点在于：第一，理解倍数与因数的相互依存性，即不能孤立地说一个数是倍数或因数的；第二，探究并总结出一个数的倍数与因数的特征，如最小、最大及个数。【难点】因此，本设计强调“做中学”，通过动手操作、观察比较、合作归纳，将抽象的“关系”具象化为可感的“拼图”和“算式”，从而跨越认知障碍。

（三）设计理念与顶层思路

本设计以“深度学习”和“大单元教学”理念为指导，坚持“学为中心”，通过“问题链”驱动学生进行探究。整节课以一个核心任务——“用12个小正方形拼长方形”——贯穿始终，将数与形完美结合。学生将在拼图活动中记录不同的拼法，进而抽象出乘法算式，再从算式出发揭示倍数与因数的概念。接着，通过“找朋友”、“排排队”等游戏化、结构化的探究活动，引导学生自主发现倍数与因数的核心性质。最后，通过具有挑战性的开放性问题和跨学科链接，实现知识的迁移与素养的升华。整节课的设计力图实现“三有”：有有趣的情境、有深度的思考、有层次的建构。

二、教学目标设定（指向核心素养）

1.【知识与技能】结合具体情境，理解倍数和因数的意义，能举例描述倍数与因数的相互依存关系。掌握找一个数的倍数与因数的基本方法，并能正确找出一个数的倍数与因数。【基础】【高频考点】

2.【过程与方法】经历“拼图—列式—抽象—归纳”的探究过程，通过观察、比较、分析、归纳，发展合情推理能力和抽象概括能力。初步体会数形结合思想在数学探究中的重要作用。【重要】

3.【情感态度与价值观】在探究活动中感受数学的严谨与趣味，培养敢于猜想、乐于验证的科学态度。通过小组合作，增强协作意识和表达能力。【热点】

三、教学重难点定位

1.教学重点：理解倍数和因数的意义，掌握找一个数的倍数与因数的方法。

2.教学难点：理解倍数和因数的相互依存关系；自主探索并总结出一个数的倍数与因数的特征（如最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数等）。【难点】

四、教学准备

教具：多媒体课件（包含动态拼图演示、游戏环节）、12个同样大小的正方形磁力贴片（用于黑板演示）。

学具：每组一包12个同样大小的正方形学具（或小圆片）、记录单。

五、教学实施过程（核心环节）

（一）操作启思：形中觅数，初建表象（约8分钟）

1.创设情境，激活经验

教师开门见山，抛出探究任务：“同学们，数学王国里数与形是一对亲密的朋友。今天，我们就从‘形’出发，去探索‘数’的秘密。请大家拿出准备好的12个同样大的小正方形，试着拼成一个长方形。注意，要用上所有的小正方形，不许有空隙，也不能重叠。看看你们的小组有几种不同的拼法？每拼出一种，就在记录单上写下对应的乘法算式。”

此环节设计意图在于利用学生已有的“拼图”经验，将枯燥的数学关系转化为可视化的图形操作。学生通过小组合作，调动视觉和触觉，为抽象概念建立牢固的感性支撑。【基础】

2.操作反馈，提取算式

学生分组操作后，教师利用磁力贴片在黑板上进行汇总展示。引导学生有序思考，避免遗漏。

教师提问：“哪个小组愿意来展示你们的拼法？并告诉大家你拼成的长方形每行摆了几个？摆了几行？”

学生可能出现的拼法及对应的乘法算式：

拼法一：每行摆12个，摆1行。算式：12×1＝12或1×12＝12。

拼法二：每行摆6个，摆2行。算式：6×2＝12或2×6＝12。

拼法三：每行摆4个，摆3行。算式：4×3＝12或3×4＝12。

教师追问：“还有不同的拼法吗？比如每行摆5个？”引导学生思考“5个一行，能正好摆完吗？”，从而引出“整除”的雏形，为概念定义做铺垫。

教师在学生汇报后，将三组乘法算式板书在黑板的显著位置：

1×12=12

2×6=12

3×4=12

并指出：“像这样，两个整数相乘，结果是12，我们就说，1、12、2、6、3、4这些数和12之间，存在着一种特殊的关系。”

（二）概念建构：依式释名，初识关系（约10分钟）

1.聚焦算式，揭示概念

教师以第一组算式“1×12=12”为例，进行示范性讲解：“在这个乘法算式中，1、12、12这三个数，我们可以给他们取个新名字。因为12是由1和12相乘得到的，所以我们就说，12是1的倍数，12也是12的倍数。反过来，1是12的因数，12也是12的因数。”【重要】

教师边讲边在算式上标注，建立直观联系。

接着，引导学生尝试用同样的方式描述第二组算式“2×6=12”。

教师提问：“谁能像老师这样，用上新名词，来说说2、6、12之间的关系？”

学生回答预设：“2×6=12，所以12是2的倍数，12也是6的倍数；2是12的因数，6也是12的因数。”

教师强化关键点：“大家注意，我们在说倍数和因数的时候，一定要说清楚‘谁是谁的倍数’或‘谁是谁的因数’，它们就像一对好朋友，谁也离不开谁。”此环节着力破解“相互依存”这一难点。教师可以设计一个游戏：老师说“12是2的——”，学生接“倍数”；老师说“2是12的——”，学生接“因数”。通过反复的、结构化的语言训练，内化概念本质。【难点】

2.深化理解，辨析内涵

教师引导学生观察第三组算式“3×4=12”，进行快速抢答，巩固新知。

随后，教师提出两个辨析性问题，将思维引向深入：

（1）“能不能说12是倍数，3是因数？为什么？”

（2）“在算式12×1=12中，如果我说12是因数，1是倍数，可以吗？”

组织学生在小组内讨论，然后全班交流。通过辨析，使学生深刻理解：倍数和因数是指两个数之间的一种关系，不能单独存在。正如“父子”关系，不能单独说某人是“父亲”，必须相对于其子女而言。同时，在确定谁是谁的因数、谁是谁的倍数时，必须以乘法算式为基础，明确位置。【重要】【高频考点】

3.回归整除，界定范围

教师引导学生回顾整个探究过程，提出问题：“大家想一想，我们在找12的因数，判断一个数是不是12的因数时，最关键的一点是什么？”

引导学生归纳出：必须是用整数乘法得到12，或者说，12除以一个整数，得到的商也是整数而没有余数。教师顺势点明，我们研究倍数和因数，是在非零自然数的范围内进行的（暂不涉及0，简要说理：0乘任何数都得0，情况特殊，以后研究）。【基础】

（三）探究深化：有序思考，发现规律（约15分钟）

1.探究活动一：寻找一个数的因数

教师抛出探究任务：“刚才我们一起找到了12的因数有1、2、3、4、6、12。现在请大家思考一个问题：怎样才能把12的因数找全，既不多找，也不少找？你有什么好方法吗？请以小组为单位，讨论并尝试总结方法，然后完成找一找9和16的因数。”【热点】【难点】

学生小组活动，教师巡视指导，注意发现学生中的典型方法（如无序寻找的、遗漏的、有序成对寻找的）。

活动后组织汇报交流：

一组汇报9的因数：1、3、9。寻找方法可能为：1×9=9，3×3=9。

另一组汇报16的因数：1、2、4、8、16。寻找方法可能为：1×16=16，2×8=16，4×4=16。

教师重点引导对“方法”的归纳：

“对比12、9、16的因数，你们觉得怎样找才能又对又快又全？”

在充分讨论的基础上，师生共同总结出“有序成对找”的方法：从1开始，一对一对地找。看哪两个整数相乘等于这个数，那么这两个数就是这个数的因数。一直找到两个数非常接近或出现重复为止。例如找18的因数，想1×18=18，2×9=18，3×6=18，4×?（不行），5×?（不行），6×3出现重复，所以因数是1、2、3、6、9、18。【重要】【高频考点】

2.探究活动二：观察因数的特征

教师引导学生观察12、9、16的因数集合，提出启发性问题：

“仔细观察这些数的因数，你发现它们有什么共同的‘小秘密’吗？比如，每个数的因数中，最小的数是几？最大的数又是几？因数一共有多少个？都一样多吗？”

学生通过观察比较，可以发现：

（1）每个数的因数中，最小的都是1。【基础】

（2）每个数的因数中，最大的都是它本身。【基础】

（3）不同数的因数个数不同，有的多，有的少。

教师进一步引导：“想一想，为什么最小的因数是1，最大的因数是它本身？”引导学生联系乘法算式“1×本身=本身”来理解，使规律建立在深刻理解之上。【重要】

3.探究活动三：寻找一个数的倍数

教师话锋一转：“我们刚才研究了因数，它像一个数的‘小伙伴’。那一个数的‘倍数’朋友又是什么样的呢？请大家独立找一找3的倍数，看你能找到多少个？并用你喜欢的方式记录下来。”

学生独立尝试，可能出现的方法：用3依次乘1、2、3……；或者用3依次加3。

教师组织交流，重点引导感受倍数的“无限性”。

学生汇报：3的倍数有3、6、9、12、15……

教师追问：“能找到最大的一个吗？能找到最小的一个吗？你是怎么想的？”引导学生得出：一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数，因为自然数是无限的，所以一个数的倍数个数是无限的。【重要】【难点】

4.对比归纳，建构体系

教师引导学生将因数与倍数两方面的发现进行对比整理，形成结构化认识：

“通过刚才的探究，我们发现了关于一个数的因数与倍数的很多秘密。请大家在小组里互相说一说，因数和倍数有什么相同点和不同点？”

学生整理后，全班共同梳理，教师完善板书：

相同点：研究的都是非零自然数；都跟乘法或除法有关。

不同点：因数的个数是有限的，有最大因数和最小因数；倍数的个数是无限的，有最小倍数，但没有最大倍数。

（四）巩固应用：分层练习，内化提升（约7分钟）

1.基础性练习——判断与说理

（1）判断题：15是倍数，5是因数。（）【基础】【高频考点】

（2）选择题：下面各组数中，有因数和倍数关系的是（）。

A.3.6和0.6B.12和5C.7和21

要求学生不仅判断正误，更要说明理由，巩固概念核心。

2.综合性练习——猜数游戏

教师描述一个数的特征，让学生猜猜它是谁。

（1）这个数是我最大的因数和最小的倍数，我是谁？（引导学生理解：一个数最大的因数是它本身，最小的倍数也是它本身，所以这个数就是“我本身”，答案可以是任意一个自然数，但通常结合具体情境，如“我是30”，则答案为30）【热点】

（2）我是一个两位数，既是4的倍数，又是6的倍数，猜猜我是谁？（开放题，引导学生找到24、36、48……感受公倍数的雏形，为后续学习做铺垫）

3.拓展性练习——生活中的数学

出示问题：五（1）班有42名同学参加体操表演，要排成长方形队列，可以有几种排法？每行人数和行数都是42的什么？

此题将数学知识还原回生活情境，让学生体会到因数和倍数在解决实际问题中的应用价值，实现跨学科（体育）的简单链接，体现五育并举。

（五）课堂总结：回顾反思，延伸课外（约5分钟）

1.知识梳理

教师引导学生回顾：“同学们，这节课我们一起探究了倍数和因数。谁能用一句话说说，什么是倍数？什么是因数？通过这节课的探究，你掌握了哪些找因数、倍数的方法？发现了它们的哪些特征？”

指名2-3名学生进行总结，鼓励用结构化的语言表达。

2.思维提升

教师提问：“今天我们是从拼长方形开始的，最后又回到了排队形。你发现‘形’和‘数’之间有什么联系吗？”引导学生感悟：一个数的因数个数，决定了他能拼成几种不同的长方形（正方形是特殊的长方形）。数形结合的思想在此处得到进一步的升华。

3.课后探究

布置一个具有挑战性的、开放性的课后任务：

“请你选一个自己喜欢的数字（比如你的学号、你的生日月份等），研究它的因数有哪些，倍数有哪些。并试着画一画，这个数能用几种不同的长方形（或正方形）表示出来？把你发现的秘密讲给爸爸妈妈听。”

这个作业将课堂探究延伸到课外，鼓励个性化学习和数学表达，培养学生的数学兴趣和探究精神。

六、板书设计（结构化呈现）

左侧：核心概念区

中央：探究活动区

右侧：规律总结区

具体布局：

三年级数学下册倍数与因数的探究

1×12=12找因数的方法：有序成对

2×6=1212的因数：1，2，3，4，6，12因数的特征：

3×4=129的因数：1，3，9最小：1

16的因数：1，2，4，8，16最大：它本身

意义：个数：有限

如果a×b=c（a、b、c是非零自然数）倍数的特征：

那么c是a和b的倍数，3的倍数：3，6，9，12，15……最小：它本身

a和b是c的因数。