五年级下册数学《公因数的实际应用》第3课时教学设计（人教版）

五年级下册数学《公因数的实际应用》第3课时教学设计（人教版）

一、教学目标

（一）知识与技能

1.学生能够结合具体生活情境，理解公因数与最大公因数在实际问题中的数学意义，准确识别问题中隐含的“公因数”结构【基础】。

2.掌握运用公因数及最大公因数解决“等分铺砌”“分组配对”“裁切截取”三类典型实际问题的基本策略，能够规范书写解决问题的完整步骤【重要】。

3.在解决实际问题过程中，能灵活选用列举、筛选、短除法或分解质因数等方法求两个数的最大公因数，形成方法优化的意识【高频考点】。

（二）过程与方法

1.经历“现实情境—数学抽象—模型建构—应用拓展”的全过程，在动手操作、合作交流中积累用数形结合思想分析问题的经验【非常重要】。

2.通过对比、辨析不同解法，发展批判性思维和优化意识，提升数学交流与表达能力。

（三）情感态度与价值观

1.感受数学知识在生活设计、资源分配中的实用价值，增强用数学眼光观察世界的兴趣。

2.在小组协作中体会合作学习的乐趣，形成严谨求实的科学态度。

二、教学重难点

（一）教学重点

理解实际问题中“公因数”的本质含义，建立“求最大公因数以得到最优方案”的数学模型【非常重要】【高频考点】。

（二）教学难点

从具体问题情境中准确抽象出“若干个小整体恰好铺满（分完、配完）大整体”的等量关系，区分公因数与最大公因数在不同问题背景下的选择策略【难点】。

三、教学准备

1.教具：交互式电子白板、几何画板动态演示课件、彩色卡纸剪裁的规格为18分米×12分米的长方形纸板模型、若干边长为1分米至6分米的正方形磁力贴片。

2.学具：每组一张长方形方格纸（18×12方格）、彩色笔、短除法练习卡、平板电脑（内置分组互动答题系统）。

3.预学单：前置任务“找一找生活中哪些地方用到了‘整块铺满’或‘正好分完’，并尝试用数学语言描述”。

四、教学过程

（一）创设情境，激活经验——从“生活需要”走向“数学问题”

1.课前谈话，唤醒生活经验。

教师通过电子白板展示一组生活照片：厨房地面铺正方形地砖、书法教室将长方形宣纸裁成正方形斗方、学校合唱队按人数分组训练。提问：“这些场景中藏着什么共同的数学秘密？”学生自由发言，初步感知“正好铺满”“正好分完”“同样大小”等关键词。【基础】

2.核心问题驱动。

教师呈现本节课的真实任务：“王老师家的储藏室长18分米，宽12分米，现在要用若干块同样大小的正方形地砖将地面铺满（地砖必须是整块且边长为整分米数），可以选边长几分米的地砖？最大可以选几分米？”【非常重要】明确任务要求：整块铺满、边长为整分米、无剩余。

3.个性化猜想。

学生独立猜测可能的正方形边长，并记录在预学单上。教师巡视，收集典型猜想（如1、2、3、6分米），随机板书记录。此时不评价对错，意在暴露学生的原始认知，为后续探究制造认知冲突。

（二）操作验证，概念复现——在“做数学”中唤醒公因数本质

1.模拟铺砌，数形结合。

以小组为单位，利用18×12的方格纸和彩色笔进行“虚拟铺砖”。任务：“用指定边长的正方形在方格纸上涂色，看看是否能恰好铺满整个长方形，没有空隙，也不出界。”各小组分别尝试边长为1、2、3、4、5、6、7分米的正方形。

2.汇报与聚焦。

小组代表利用实物投影展示铺砌结果。师生共同梳理：边长1、2、3、6分米时恰好铺满；边长4分米时，18÷4有余数，不能铺满；边长5分米同样不能；边长7分米显然不能。教师追问：“为什么边长1、2、3、6能成功？这些数和长方形的长、宽有什么特殊关系？”引导学生发现：这些数既是18的因数，也是12的因数，因此它们是18和12的公因数【基础】【高频考点】。

3.深化理解公因数的实际意义。

教师利用几何画板动态演示：将长方形长和宽分别除以正方形边长，演示横排块数和竖排块数均为整数的情形。学生直观感知：公因数在铺砖问题中代表“可行方案”，最大公因数代表“能使用的最大尺寸地砖，从而使块数最少”【非常重要】。

（三）模型建构，策略优化——从“具体铺砖”到“一般问题”

1.抽象数学模型。

师生共同总结：解决“用正方形铺满长方形”问题的本质是求长和宽的公因数；选择最大边长则需求最大公因数。教师板书核心关系：

长方形长、宽→分别除以正方形边长→商为整数→边长是长和宽的公因数

最大正方形边长=长和宽的最大公因数

2.方法回顾与择优。

教师提问：“我们学过哪些求最大公因数的方法？对于18和12，你更喜欢用哪种？”学生列举：列举法、筛选法、短除法、分解质因数法。教师引导对比：列举法直观但数大时繁琐；短除法简洁高效，是常用通法【重要】。现场用短除法规范书写18和12的最大公因数计算过程，强调格式。

3.变式迁移，丰富模型外延。

教师改变数据与情境，但保持“正好分完”结构不变。

例1：将一张长45厘米、宽30厘米的长方形纸剪成同样大小的正方形且没有剩余，正方形边长可能是多少厘米？最大是多少厘米？

学生独立完成后同桌互评，强调最终答语要完整：“边长可以是1、3、5、15厘米，最大是15厘米。”

例2：男生48人，女生36人，分别分组，要求每组人数相同，且每组人数尽可能多，每组多少人？

此处引导学生辨析：虽然情境从“铺地砖”变为“分组”，但数学结构完全一致——求48和36的最大公因数。学生独立用短除法计算，汇报得12人/组。教师追问：“为什么这里要用最大公因数，而不是任意公因数？”学生体会到：问题中明确要求“每组人数尽可能多”，对应数学上就是求最大公因数【难点】【热点】。

1.对比辨析，完善认知。

教师呈现一组对比题组，学生先独立思考再小组交流：

（1）把下面两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？甲彩带16厘米，乙彩带20厘米。

（2）用长16厘米、宽20厘米的长方形瓷砖拼成一个正方形（使用整块瓷砖），正方形的边长至少是多少厘米？

学生通过辨析发现：第（1）题是“裁剪”，求16和20的最大公因数；第（2）题是“拼组”，求16和20的最小公倍数。教师顺势强调：解决问题不能死套题型，必须紧扣“每份大小”与“总数”的关系——等分（裁剪、分组）对应公因数，合并（拼正方形）对应公倍数。此环节意在打破思维定式，提升审题精准度【非常重要】。

（四）分层练习，内化提升——在“用数学”中形成关键能力

1.基础性练习——巩固核心算法。

题目：求下面各组数的最大公因数。

（1）24和30（2）16和40（3）15和50

学生用短除法计算，随机抽取一名学生板演，集体订正。教师关注书写规范，强调每次除的除数必须是质因数，且除到商互质为止。此环节旨在确保每一位学生过关最大公因数的计算方法【基础】【高频考点】。

2.综合性练习——情境建模应用。

题目：学校食堂操作间地面长56分米，宽48分米，现要铺设最大且相等的正方形防滑地砖（要求整块铺满），需要多少块这样的地砖？

本题在前例基础上增加一步求块数。学生先独立完成，小组内交流不同解法。预设两种思路：

思路一：先求最大公因数（8分米），再用长÷边长=行数（7行），宽÷边长=列数（6列），总块数=7×6=42块。

思路二：用总面积÷每块地砖面积：（56×48）÷（8×8）=2688÷64=42块。

教师引导学生对比：思路一避免了较大数乘除法，计算更简便，且直观体现“铺满”过程，应予以鼓励。此题强化了从“求边长”到“求块数”的完整链条，同时渗透优化思想【重要】。

3.拓展性练习——逆向思维与开放探究。

题目：五（1）班做课间操，如果每排站12人，会多出3人；如果每排站16人，也正好多出3人。五（1）班至少有多少人？

本题是公因数问题的变式，需要学生逆向思考。教师引导：将“多出3人”转化为“总人数减去3后，恰好是12和16的公倍数”。先求12和16的最小公倍数48，再加3得51人。追问：如果问题改为“至少有多少人”，是求最小公倍数；如果改为“可能是多少人”，则需列举所有公倍数再加3。本题旨在打破学生“只有公因数”的思维局限，培养灵活迁移能力【难点】。

4.实践性练习——跨学科融合与项目式学习。

题目：学校计划在教学楼后空地开辟一个长方形种植园，长24米，宽18米。园艺工人建议用同样大小的正方形种植箱（边长为整米数）无空隙地覆盖地面，并且要求种植箱尽可能大。请你设计一个方案，并计算需要多少个种植箱。如果每个种植箱周围要留0.5米宽的步道，你的方案需要调整吗？

此题将数学与劳动教育、工程设计融合。学生先分组计算最大公因数为6米，需种植箱（24÷6）×（18÷6）=4×3=12个。随后讨论步道问题：留步道后，实际种植区域长宽均减少1米（两边各0.5米），变为23米和17米，此时最大公因数为1米，只能选边长1米的小箱，需23×17=391个。学生自然体会到“步道对铺满方案的影响”，感受数学规划在实际工程中的复杂性【非常重要】【热点】。

（五）课堂小结，思维延伸——从“学会”走向“会学”

1.多维回顾。

教师以“今天你收获了什么数学思想方法”为核心话题，引导学生从知识、方法、情感三个维度总结。学生畅谈：我知道了铺砖问题就是求公因数；我学会了用短除法快速求最大公因数；我感受到数学能帮我们省钱（用大砖省钱）；我发现同样的问题结构可以包装成不同故事……

2.思维导图梳理。

师生合作在黑板生成结构化板书，将“公因数应用”的三种典型情境（铺砌、分组、裁剪）与“求最大公因数的方法”及“解决问题的一般步骤”进行关联，形成知识网络。

3.延伸思考。

教师抛出悬念：“如果王老师家储藏室长18分米，宽12分米，但地砖必须是长方形，长6分米，宽4分米，还能整块铺满吗？这需要我们下一节课继续探索。”将学生引向公倍数领域，实现单元教学的有机衔接。

五、板书设计

板书分为三大区域，以纯文字段落形式表述如下：

左侧区域为“核心模型区”，书写：公因数的应用——正好铺满/正好分完。核心等式：正方形的边长既是长的因数，也是宽的因数→边长是长和宽的公因数；最大正方形边长=最大公因数。下方附18和12的短除法竖式。

中间区域为“方法策略区”，列举三种方法：列举法——不重复不遗漏；筛选法——从较大因数开始试；短除法——除到商互质，所有除数相乘。并用红粉笔标注“短除法最通用”。

右侧区域为“思想升华区”，书写数形结合、模型思想、优化意识三个关键词，并绘制从情境到数学再到应用的简单箭头流程图。

六、作业设计

1.基础巩固作业（必做）。

完成教材练习十五第5、6、7题。要求：第5题用短除法计算并写出完整的答语；第6题先画草图再列式；第7题尝试用两种方法求最大公因数并比较。

2.实践探究作业（选做，二选一）。

任务A：回家测量自己家客厅或卧室的长和宽（取整分米），设计一个用最大正方形地砖铺满的方案，计算出需要多少块地砖，并向家人介绍你的设计思路。

任务B：学校食堂将40个苹果和56个橘子分别装袋，要求每袋水果种类相同、袋数相同、每袋个数也相同，且每袋水果个数尽可能多。最多可以装多少袋？每袋两种水果各有多少个？

3.跨学科创意作业（弹性）。

结合美术课“图案设计”，利用公因数知识设计一组“正方形密铺图案”，要求图案中包含两种以上不同大小的正方形，且所有正方形的边长均为某两个数的公因数。优秀作品将在班级文化墙展示。

七、教学反思

本课以真实问题为锚点，通过“铺地砖”这一学生熟悉的生活场景，将抽象的“公因数”概念转化为可视化的操作活动。学生在画一画、铺一铺、辨一辨的过程中，自然建构了“公因数是可行方案、最大公因数是最优方案”的认知模型。尤其值得肯定的是，在变式环节引入“分组”与“拼正