一、核心素养导向下集合思想的深度建构-小学三年级数学“重叠问题”创新教学设计（人教版2022课标修订版）

一、核心素养导向下集合思想的深度建构——小学三年级数学“重叠问题”创新教学设计（人教版2022课标修订版）

一、课前慎思：基于学科核心素养的教材与学情双维解构

（一）教材分析：从“知识点教学”走向“思想方法渗透”

本节课内容隶属于人教版三年级上册第九单元“数学广角”，是义务教育阶段学生首次系统接触集合思想的起始课。【非常重要】【奠基课】在人教版教材编排体系中，集合思想虽在一年级学习分类时已有隐性渗透，但以明确的数学思想方法形态呈现尚属首次。教材借助“参加跳绳与踢毽比赛人数统计”这一真实问题情境，引导学生经历“发现重复—产生冲突—创造图示—建构模型—应用迁移”的完整认知历程。【热点】其核心价值不在于掌握“6+5-3=8”这一具体计算技能，而在于让学生亲历维恩图的“再创造”过程，感悟“把重复部分减去”这一数学模型背后的逻辑必然性。【难点】【高频考点】从更宏观的课程视角审视，本课是小学阶段“模型意识”“应用意识”培养的关键载体，更是第二学段学习“容斥原理”、第三学段学习“集合运算”的重要认知锚点。

（二）学情分析：在“前概念”与“科学概念”之间搭建支架

三年级学生正处于皮亚杰认知发展阶段论中的具体运算阶段，其思维特征表现为：能进行逻辑推理，但必须依托具体事物的支持。【重要】关于“重叠问题”，学生并非白纸一张。其一，生活经验层面：学生有过“一人身兼多职”的生活体验，如班长同时是数学课代表，这种“既……又……”的身份重叠学生能够理解；其二，数学经验层面：学生在一年级下册“分类与整理”中，已经能够按照单一标准对事物进行分类，但尚未面临“两个标准交叉”的复杂分类情境。然而，学生的真实困惑点具有高度一致性：【难点】【非常重要】第一，当面对两个有交叉的集合时，潜意识里仍习惯将两部分直接相加，对“为什么要减1（或减几）”缺乏本质理解；第二，对维恩图中“三个区域”（只A、只B、既A又B）与“两个圈”的视觉对应关系容易产生混淆，尤其是“只参加”与“参加”这两个概念在圈内位置的表征差异。因此，本课的教学逻辑不应是“教师画图，学生看图”，而应是“学生遭遇困境，自主发明图示，教师引导规范化”。

二、教学目标矩阵：素养导向的四维整合表达

基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》核心素养导向，本课教学目标确立为以下四个维度：

（一）知识与技能【一般】【基础】

1.学生能结合具体情境，理解在计数过程中“重复部分”需要单独处理的道理，初步认识维恩图各部分（只A、只B、既A又B）的含义。

2.能借助维恩图正确列式解决不超过两个集合、数据较小的重叠问题，掌握至少两种不同解题策略（分步求和法、容斥公式法）。

（二）过程与方法【非常重要】【核心】

3.经历从“列表法”到“连线法”“圈圈法”再到“维恩图”的图示进化史，体会图形表征对于整理信息、厘清逻辑的优越性，初步形成数形结合思想。

4.在解决“总人数比两部分之和少”的认知冲突中，经历猜想、验证、归纳的数学思考过程，培养模型意识与抽象概括能力。

（三）情感态度与价值观【重要】

5.通过解决班级真实问题（如统计兴趣小组人数），感受数学知识从生活中来、到生活中去的应用价值，激发学习内驱力。

6.在小组合作绘制集合图的过程中，体会合作交流的必要性，敢于对他人提出的算法进行质疑与辨析，培养批判性思维。

（四）跨学科融合视点【热点】【创新】

7.与信息技术学科融合：通过动态课件演示“圈的运动与交叉”，直观感知交集的形成。

8.与语文学科融合：运用“既……又……”“只……没……”等关联词准确描述集合间的关系，训练逻辑表达的严谨性。

三、教学重点与难点的层级化定位

【重点】★核心重点★

经历维恩图的产生过程，理解集合图中各区域的指代含义，能借助图示正确解决简单的重叠问题。此为全课教学的重中之重，后续一切应用皆建立于此。

【难点】▲认知难点▲

理解“既……又……”这部分为什么在计算总数时不能重复计数，即对“容斥原理”中减去重叠部分的必要性的直观认同。此难点不破，学生将陷入“机械套用公式”的浅层学习。

【关键】●教学关键●

处理好“生活语言”向“数学语言”的转化。具体而言：将“同一个人参加了两个项目”转化为数学符号“交集”；将“总人数怎么算”转化为数学模型“并集的基数”。

四、教学实施过程：六阶进阶，深度建构

（一）第一阶：破冰启思——脑筋急转弯中初感“重叠”

【教学时长】5分钟

【重要程度】★★★（激发兴趣、建立表象）

【教学具准备】人物头像卡片（爷爷、爸爸、儿子）

上课伊始，教师不急于揭示课题，而是出示一道经典智力题：“两个爸爸和两个儿子一起去看电影，他们只买了3张票却顺利入场，这是为什么？”【热点导入】学生凭借生活经验能够猜出“其实是爷爷、爸爸、孙子三个人”。此时教师并不止步于猜出答案，而是展开深度追问：

“谁能到黑板上，用这3张头像卡片摆一摆，让大家一眼就看清为什么3个人却有‘两个爸爸’和‘两个儿子’？”

学生操作时，会自然地将“爸爸”这张卡片摆放在中间位置，左手拉着“爷爷”，右手拉着“儿子”。教师顺势用红色粉笔在“爸爸”外围画一个大圈，标注“作为儿子”；用蓝色粉笔也在“爸爸”外围画一个大圈，标注“作为爸爸”。此时，两个圆圈产生了交叉，交叉中心正是“爸爸”。

【设计意图】此处并非单纯的课堂游戏，而是全课思想的“预演”。学生在这个活动中直观感受到了“同一个对象，具有两种不同身份”，这正是集合交集的朴素原型。教师不做过多解释，只需留下悬念：“这种有趣的‘重叠’现象，数学上有一套专门的研究工具，今天我们就来当一次数学家，发明这套工具。”

（二）第二阶：制造冲突——名单统计中暴露认知困境

【教学时长】7分钟

【重要程度】★★★★★（认知冲突爆发点，全课转折处）

【高频考点】重复人数的识别

教师呈现教材情境改编版（贴近班级实际）：为筹备班级联欢会，班长负责统计会唱歌和会跳舞的人数。会唱歌的有6人，会跳舞的有5人。

师：按照这个数据，咱们班这两项才艺的总人数是多少？

生（几乎异口同声）：11人！

教师将统计表详细化，出示具体名单：

会唱歌：李明、王芳、张伟、刘阳、赵蕾、孙涛。

会跳舞：王芳、赵蕾、陈晨、李静、周宇。

教师要求学生在练习本上独立计算总人数。片刻后，学生发现异样：

生1：不对！王芳和赵蕾的名字出现了两次，她们既会唱歌又会跳舞。

师：可是刚才大家明明说6+5=11呀，现在怎么有的人算出9人，有的算出11人，到底哪个对？

此时，班级中产生明显分歧。部分思维敏捷的学生意识到“不能直接加”，但难以清晰表达理由；部分学生仍坚持“6+5=11”，他们认为“名单上有11个名字，当然就是11人”。

【教学策略】此处教师不急于评判对错，而是采取“立场站队法”：请认为总人数是11人的站在左边，认为总人数是9人的站在右边。随后，教师采访左边阵营：“你能说服右边同学吗？”左边学生往往会列举名字。此时右边阵营反驳：“你把王芳数了两次！”——这正是本课最宝贵的课堂生成资源。

【难点突破】教师捕捉“数了两次”这一关键学生语言，将其郑重板书于黑板中央。并追问：“为什么不能数两次？她明明参加了两个项目，难道不应该算两次贡献吗？”此问直指集合思想的本质：当我们统计“人数”时，统计的是“有多少个不同的人”，而不是“有多少个参赛项目人次”。

（三）第三阶：图示创造——从“圈一圈”到“维恩图”的进化史

【教学时长】15分钟

【重要程度】★★★★★（核心环节，思维可视化）

【难点】从具体操作到抽象图示的跨越

【教学策略】问题驱动+作品比较

1.第一层次：操作探究，自由表征

教师发布核心任务：“现在请大家化身为数学家，我们的任务是——发明一张图，或者创造一种方法，让别人一眼就能看出：第一，哪些人只会唱歌；第二，哪些人只会跳舞；第三，哪些人两项都会。最重要的是，用你的图能一眼数出总共有几个人。”

【非常重要】此任务设计的关键词是“发明”和“一眼看出”。它彻底改变了传统教学中“教师呈现维恩图，学生观察维恩图”的模式，转而让学生在图示需求的驱动下自主建构。学生以4人小组为单位，利用教师提供的姓名磁贴、彩笔、白纸进行操作。

2.第二层次：作品展示，思维互哺

教师巡视，收集典型作品，按照思维层次由低到高进行递进式展示。

作品A（列表标注法）：将名单抄下，在重复名字后面打勾注明“重复”。优点：忠实于原始数据；缺点：不够直观，需读文字。

作品B（连线法）：写两个集合，将重复的名字用线连起来。优点：发现了重复项需要建立联系；缺点：人数仍需点数。

作品C（双圈分离法）：左边画一个红圈写唱歌的人，右边画一个蓝圈写跳舞的人，重复的人两边都写。优点：分类清晰；缺点：重复的人写了两遍，点数时容易误判。

作品D（双圈交叉法）：两个圈有一部分重叠在一起，把王芳、赵蕾写在中间重叠区。【高频考点】这正是维恩图的雏形！

3.第三层次：思辨优化，规范命名

教师将作品D投影放大，组织全班研讨：

师：为什么要把这两个圈交叉一部分？

生：因为王芳她们属于两边，不交叉就没地方放了。

师：如果我把王芳的名字贴在左边圈但不在交叉区，行吗？

生：不行！那左边圈里包含了王芳，右边圈里也有王芳，又变成数两次了。

通过激烈辩论，全班逐渐达成共识：必须让两个圈“共享”一块区域，这块区域里的人，同时具有两种属性。此时，教师隆重介绍：“同学们，你们刚才的创造，其实和一百多年前英国数学家约翰·维恩的发明一模一样！数学家把这种图叫做‘维恩图’，也叫集合图。”（板书：集合图）

【跨学科链接】简要介绍维恩在他1881年出版的《符号逻辑》一书中首次使用这种图示，将逻辑推理转化为几何直观。学生产生强烈的自豪感：我竟然和数学家想的一样！

（四）第四阶：算法建模——从图示语言到符号运算

【教学时长】8分钟

【重要程度】★★★★★（模型建立，高频考点集中区）

当维恩图在黑板上成型后，教师引导学生从“看图”转向“算图”。

1.指图说意——强化区域对应

教师依次指著图中的三个区域，训练学生使用精准数学语言：

左弧区（只唱歌）：“这部分表示只会唱歌，不会跳舞的人。”

右弧区（只跳舞）：“这部分表示只会跳舞，不会唱歌的人。”

中间交集区（既唱又跳）：“这部分表示两项都会的人。”

整个外围（并集）：“这部分表示全班有才艺的总人数。”

【非常重要】此处务必让中后等生反复指图复述，确保人人过关。

2.列式求解——算法多元化

师：根据这幅图，你能列几种算式求出总人数？

学生独立思考后汇报，教师有序板书三种典型算法：

算法一（分布相加）：3+2+4=9（人）【重要】即：只唱歌3人+两项都唱2人+只跳舞4人。这种方法与图的区域划分完全对应，是理解容斥原理的基石。

算法二（先加再减）：6+5-2=9（人）【高频考点】【非常重要】即：唱歌人数+跳舞人数-重叠人数。教师追问：“为什么要减2？”学生结合维恩图回答：“因为王芳和赵蕾在6里算了一次，在5里又算了一次，自己家里被数了两次，要减掉一次。”

算法三（移补法）：5+4=9或6+3=9。即：从一边里去掉重叠部分，加上另一边。

3.模型抽象——符号化表达

教师引导学生将具体人名抽象为符号：

师：如果没有具体数字，A圈有a人，B圈有b人，中间重叠部分有c人，总人数怎么算？

生：a+b-c。

教师指出：这就是数学上计算两个集合合并后元素总数的基本公式，它在以后的学习中会反复出现。

（五）第五阶：迁移应用——变式练习中深化模型理解

【教学时长】8分钟

【重要程度】★★★★（巩固内化，检测达成）

【热点】贴近生活的变式训练

本环节设计三个层次递进的练习，全部采用“问题情境—画图分析—列式解答”的完整解题链。

1.基础性练习【一般】

教材做一做：把下面动物的序号填在合适的圈里（会游泳、会飞）。

此题为正向建模，学生需要判断“天鹅、海鸥”既会游泳又会飞，填入交集。巩固维恩图的填写格式。

2.综合性练习【重要】【高频考点】

三（1）班参加书法社团的有15人，参加绘画社团的有12人，两个社团都参加的有4人。三（1）班参加这两个社团的一共有多少人？

要求学生不直接列式，先画出维恩图，标出三个区域的人数，再列式。

3.拓展性练习【难点】【拔高】

三（2）班有20人，其中喜欢吃苹果的有13人，喜欢吃香蕉的有12人，每人至少喜欢一种。既喜欢苹果又喜欢香蕉的有几人？

这是逆向思维题，已知总数和两部分，求重叠数。教师引导学生根据维恩图各区域关系逆向推导：13+12-20=5（人）。

【教学策略】对于逆向问题，不强求所有学生当堂掌握，而是作为思维拓展，让学有余力的学生尝试挑战，并在图中指认“这5人藏在哪里”。

（六）第六阶：回顾反思——从解题策略到思想提升

【教学时长】2分钟

【重要程度】★★★（升华凝练）

1.知识性回顾

师：今天这节课，我们解决的是哪类问题？（重叠问题）我们用什么工具帮助思考？（集合图/维恩图）关键要减去什么？（重复数的部分）

2.思想性提升

师：如果今天没学集合图，给你一个很复杂的名单，有十几个重叠的人，你容易算对吗？（生：容易乱。）所以，数学不光教我们算，更教我们怎么想。把文字变成图画，把混乱变成清晰——这就是数学思想的力量。

3.悬念预留

师：今天我们研究的是两个集合的重叠，如果明天有三个兴趣小组，有两个人既参加A又参加B，有三个人既参加B又参加C，还有一个人三个都参加了，你还能画出图、算出总人数吗？这是我们以后将要继续探索的。

五、板书设计：思维轨迹的全息呈现

（黑板分区布局）

左区（生成区）：粘贴学生初始名单，保留“6+5=11？”的认知冲突痕迹。

中区（核心区）：板画标准维恩图，磁贴姓名卡嵌入相应区域，彩色粉笔勾勒三个分区并标注“只唱歌3人”“只跳舞4人”“既唱又跳2人”。

右区（公式区）：

总人数=①3+2+4=9

②6+5-2=9

集合思想：不重不漏

六、作业设计：分层弹性，延展思维

（一）基础性作业【一般】

完成教材练习十八第1、2题。要求：先画维恩图草图，再列式计算。

（二）实践性作业【重要】

以小组为单位，调查本班同学家庭拥有宠物的情况（猫、狗）。汇总数据：养猫的家庭有几户？养狗的有几户？既养猫又养狗的有几户？制作一张包含维恩图的数学小报。

（三）探究性作业【难点】【拓展】

思考题：三（3）班布置教室，买红花10朵，黄花8朵，其中6朵花既不是红花也不是黄花（是其他颜色），红花和黄花没有重叠。请问教室一共买了多少朵花？如果红花和黄花有3朵重叠，一共又是多少朵？

七、教学评价设计：表现性任务嵌入全过程

本课淡化单一的纸笔测试，强调“嵌入式评价”与“表现性评价”。

1.图解能力评价：在学生绘制维恩图环节，教师巡视采集典型样本。评价标准分为三个水平层级——

水平一（合格）：能将重复姓名放入交叉区。

水平二（良好）：能正确标注三个区域的所有成员。

水平三（优秀）：能在无姓名提示下，抽象地用数字表示各区域人数。

2.语言表达评价：在“指图说意”环节，重点关注学生是否主动使用“只”“既……又……”等逻辑关联词。对于能用完整句描述集合关系的学生给予即时肯定。

3.合作交流评价：小组创作维恩图时，观察学生是否能倾听他人意见，是否能质疑并给出理由。

八、教学资源与技术支持

1.常规教具：磁性姓名卡片（可反复粘贴移动）、彩色粉笔、大白纸。

2.数字化资源：GeoGebra动态演示课件，可拖动两个圆，观察交集区域大小的变化与总人数的联动关系。【热点】此资源用于突破难点，特别是在逆向思维题中，动态展示“重叠部分越大，总人数越少”的反直觉关系。

3.微课资源：录制3分钟微课《维恩的故事》，介绍集合图的历史，满足学生个性化学习需求。

九、教学反思：预设与生成的辩证