平行四边形几何竞赛练习题集

平行四边形几何竞赛练习题集平行四边形，作为平面几何中的基本图形之一，不仅自身拥有丰富的性质，更是连接三角形、梯形等复杂图形的重要桥梁。在各类几何竞赛中，以平行四边形为载体的题目屡见不鲜，其往往融合了多种几何变换与数量关系，对参赛者的逻辑推理能力与空间想象能力提出了较高要求。本练习题集旨在通过若干典型问题的剖析与解答，帮助读者深化对平行四边形性质的理解，提升解题技巧与应变能力。练习题第一题：基础性质综合运用题目：在平行四边形ABCD中，∠A的平分线交BC于点E，若AB=5，AD=7，求线段BE与EC的长度。思路点拨：平行四边形对边平行且相等，故AD=BC=7，AB=CD=5。∠A的平分线将∠A分为两个相等的角，利用AD∥BC的性质，可构造出等腰三角形，从而将边的关系进行转化。简解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=7，AB=CD=5。∴∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）。∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠BAE。∴∠BAE=∠AEB。∴△ABE为等腰三角形，BE=AB=5。∴EC=BC-BE=7-5=2。故BE=5，EC=2。第二题：对角线与角度综合题目：已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，且AB=4，求平行四边形ABCD的面积。思路点拨：平行四边形对角线互相平分，故AO=OC，BO=OD。等边三角形AOB提示我们，对角线的一半与AB相等，且夹角为60°。由此可判断平行四边形的一个内角，进而求出高或另一条边的长度，从而计算面积。简解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，BO=OD。∵△AOB是等边三角形，∴AO=BO=AB=4，∠AOB=60°。∴AC=2AO=8，BD=2BO=8。在△AOD中，AO=DO=4，∠AOD=180°-∠AOB=120°。过点D作DE⊥AC于点E，在Rt△DOE中，∠DOE=60°，DO=4，∴DE=DO·sin60°=4×(√3/2)=2√3。∴S△ACD=(1/2)·AC·DE=(1/2)×8×2√3=8√3。∴S平行四边形ABCD=2·S△ACD=16√3。（另：亦可判断出∠ABC=90°，使ABCD为矩形，从而面积AB×BC=4×4√3=16√3，此法更简捷，读者可自行尝试。）第三题：动态平行四边形与线段关系题目：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1单位/秒；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2单位/秒。设运动时间为t秒（0<t<4）。以P、C、Q为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由。（注：此处“如图”为示意，实际解题无需依赖图形细节，可自行构图）思路点拨：要使以P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，需明确这三个点的位置关系以及第四个顶点的位置。由于P在AC上，Q在BC上，C为公共顶点，故可能的情况是PC与CQ为邻边，或者其中一条为边，另一条为对角线。需根据平行四边形对边平行且相等的性质列方程求解。简解：由题意，AP=t，PC=AC-AP=6-t；CQ=2t。∵点P在AC上（不与A、C重合），点Q在BC上（不与C、B重合），且0<t<4，∴PC=6-t>0，CQ=2t>0，QB=8-2t>0。要使以P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，需考虑以下两种情况：情况一：PC和CQ为平行四边形的一组邻边。此时，需添加第四个顶点D，使得PD∥CQ且PD=CQ，同时QD∥PC且QD=PC。但在此设定下，P、C、Q三点的位置关系（P在AC，Q在BC，C为直角顶点）决定了此情况形成的是一个平行四边形，但题目仅问“以P、C、Q为顶点的四边形”，此时第四个顶点D是构成四边形的必要条件，故需明确边的对应关系。更直接的思考是，若PC与CQ为邻边，则另一组对边应为PQ和CD，但这种表述不够清晰。更优的思考方式是：在动态过程中，若考虑线段PQ为一边，则需要找到与之平行且相等的线段。但更可能的情形是：情况二：以PC为一边，CQ为另一边，且PQ为对角线？这种情况不成立。或，考虑过点P作BC的平行线，过点Q作AC的平行线，两线交于点M，则四边形PCQM为平行四边形（有两组对边平行）。此时，PM=CQ，QM=PC。这种情况下，四边形PCQM是平行四边形，其四个顶点为P、C、Q、M。题目问“以P、C、Q为顶点的四边形”，M是第四个顶点，故这种情况是符合题意的。在此平行四边形PCQM中，PM=CQ且QM=PC。但PM=CQ本身就是平行四边形性质（对边相等），而QM=PC也是。此时，该四边形始终存在（只要P、Q不与C重合），但这似乎与“能否成为”的提问矛盾。问题在于，题目可能隐含的意思是“以P、C、Q、X为顶点的四边形为平行四边形，其中X为某个特定点”，或者更可能的是，题目想问的是以P、Q、C以及另一个动点（比如AB上的点）为顶点的平行四边形？但原题并未提及。重新审视题目：“以P、C、Q为顶点的四边形能否成为平行四边形？”一个四边形有四个顶点。给定三个顶点P、C、Q，要构成平行四边形，第四个顶点有三个可能的位置（分别以PC、CQ、PQ为对角线）。1.以PC为对角线：则第四个顶点D满足：C是PD中点，P是CD中点。此时D点坐标（若以C为原点建系）：P(t-6,0)？不，建系分析更清晰。以C为原点，CA为x轴正方向，CB为y轴正方向建立直角坐标系。则C(0,0)，A(6,0)，B(0,8)。P点坐标：(6-t,0)(∵PC=6-t，在x轴上)。Q点坐标：(0,2t)(∵CQ=2t，在y轴上)。第四个顶点D的可能位置：(1)以PQ为对角线：则对角线PQ的中点与CD的中点重合。PQ中点坐标：((6-t+0)/2,(0+2t)/2)=((6-t)/2,t)。设D(x,y)，则CD中点为(x/2,y/2)。∴x/2=(6-t)/2，y/2=t→x=6-t，y=2t。此时D点为(6-t,2t)。四边形PCQD。此时PCQD是平行四边形吗？PC=(6-t,0),DQ=(6-t-0,2t-2t)=(6-t,0)，故PC=DQ；CQ=(0,2t),PD=(6-t-(6-t),2t-0)=(0,2t)，故CQ=PD。所以四边形PCQD是平行四边形。但这种情况是恒成立的，只要P、Q、C不共线（显然不共线）。这与题目“能否成为”的探究性不符，说明题目可能并非此意。(2)以PC为对角线：则PC中点与QD中点重合。PC中点：((6-t)/2,0)。设D(x,y)，QD中点：(x/2,(y+2t)/2)。∴(6-t)/2=x/2→x=6-t；0=(y+2t)/2→y=-2t。D点坐标(6-t,-2t)。此时四边形PDCQ是平行四边形。但Q点在CB上（y轴正半轴），D点在y轴负半轴，这种情况在竞赛题中若未明确允许，通常不优先考虑，且题目中Q在CB方向向B运动，B在正半轴。(3)以CQ为对角线：则CQ中点与PD中点重合。CQ中点：(0,t)。设D(x,y)，PD中点：((6-t+x)/2,(0+y)/2)。∴0=(6-t+x)/2→x=t-6；t=y/2→y=2t。D点坐标(t-6,2t)。此时四边形PCQD（与情况1不同）。同样，D点可能在第二象限。题目可能的真实意图：可能是想问“以P、Q、C和AB边上一点为顶点的四边形能否成为平行四边形”，但原题未提及。或者，更可能是题目表述略有瑕疵，其本意是“以P、Q、C为其中三个顶点，且第四个顶点也在某条边上（如AB）”的平行四边形。若按原题字面意思，给定三个点，第四个点可以存在（如情况1中的D），则t在(0,4)内任意值均可构成平行四边形PCQM（M为两平行线交点）。但这显然不是题目想要的答案。修正理解：考虑到P在AC，Q在BC，最可能的合理情形是：四边形PCQB能否为平行四边形？或四边形APQC能否为平行四边形？若为四边形APQC：则需AP平行且等于CQ。AP=t，CQ=2t。令t=2t→t=0，不符合0<t<4。若为四边形PABQ：不太可能。若为四边形PQBC：需PQ平行且等于BC。BC=8，PQ需平行于BC（即PQ⊥AC），则P、Q的横坐标相同，但P在AC（x轴）上，Q在BC（y轴）上，除C点外不可能横坐标相同。回到题目原始表述：“以P、C、Q为顶点的四边形能否成为平行四边形？”最严谨的答案是：能。当满足平行四边形判定条件时即可。但根据上述分析，情况1中的四边形PCQM始终是平行四边形，其中M是过P平行于BC的线与过Q平行于AC的线的交点。此时，PM=CQ=2t，QM=PC=6-t。这是一个valid的平行四边形。因此，对于任意t∈(0,4)，以P、C、Q、M为顶点的四边形都是平行四边形。但题目问“能否成为”，答案是“能”，并求出t的值。这说明题目可能确实存在表述上的省略，其真实考点应为以PC和CQ为对边的情况，即PC=CQ。若PC=CQ，则6-t=2t→3t=6→t=2。此时PC=CQ=4，四边形PCQD（D为第四个顶点）为菱形，也是平行四边形。这可能才是题目真正想考察的。即，当PC=CQ时，以PC、CQ为对边可构成平行四边形。故t=2时，PC=CQ=4，以P、C、Q为顶点（及第四个顶点）的四边形是平行四边形。答案：能，t=2。第四题：平行四边形中的线段和差与中点题目：在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，BF与CE相交于点H。求证：四边形EHFG是平行四边形。思路点拨：要证四边形EHFG是平行四边形，可根据已知条件，利用平行四边形的性质证明EHFG的两组对边分别平行，或一组对边平行且相等，或对角线互相平分。E、F是中点，提示我们可能需要用到三角形中位线定理，或通过证明三角形全等得到角相等或线段相等。简解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD。∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=EB=1/2AB，CF=FD=1/2CD，∴AE=CF，EB=FD。证法一：证明两组对边分别平行∵AE∥CF且AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴AF∥EC，即GF∥EH。同理，∵EB∥FD且EB=FD，∴四边形EBFD是平行四边形，∴BF∥ED，即HF∥EG。∵GF∥EH且HF∥EG，∴四边形EHFG是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。第五题：平行四边形与面积探究题目：点P是平行四边形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD。若△PAB的面积为a，△PBC的面积为b，求△PAD的面积（用含a、b的代数式表示）。思路点拨：平行四边形的对角线将其面积平分，且同底等高的三角形面积相等。可以通过过点P作边的垂线，将各三角形的面积关系与平行四边形的底和高联系起来；或者利用“平行四边形内任意一点与四个顶点连线，相对两个三角形面积之和等于平行四边形面积的一半”这一重要结论。简解：方法一：作高法过点P作EF⊥AB，分别交AB于E，交CD于F。∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，EF⊥CD。设AB=CD=m，PE=h₁，PF=h₂，则EF=h₁+h₂（h₁、h₂分别为△PAB和△PCD的AB边上的高和CD边上的高）。S△PAB=1/2·AB·PE=1/2·m·h₁=a→m·h₁=2a。S△PCD=1/2·CD·PF=1/2·m·h₂=S₃（设为S₃）。S平行四边形ABCD=AB·EF=m(h₁+h₂)=mh₁+mh₂=2a+2S₃。同理，过点P作GH⊥AD，分别交AD于G，交BC于H。设AD=BC=n，PG=h₃，PH=h₄，则GH=h₃+h₄。S△PAD=1/2·AD·PG=1/2·n·h₃=S₄（设为S₄，即所求面积）。S△PBC=1/2·BC·PH=1/2·n·h₄=b→n·h₄=2b。S平行四边形ABCD=AD·GH=n(h₃+h₄)=nh₃+nh₄=2S₄+2b。∵S平行四边形ABCD的面积是唯一的，∴2a+2S₃=2S₄+2b→a+S₃=S₄+b。又∵S△PAB+S△PCD+S△PAD+S△PBC=S平行四边形ABCD，即a+S₃+S₄+b=2a+2S₃→S₄+b=a+S₃，与上式一致。关键结论：在平行