2024年数列知识点总结

数列知识

1.等差数列的定义与性质

定义：。“+1-q=4("^常数)，4=q+(〃T)d

等差中项：x,Ay成等差数列u*2A=x+y

4(4+%)〃〃(〃T),

刖n项和S=————=na.+----L(1

lt22

性质：｛qj是等差数列

(1)若〃7+〃=〃+4，则=%,+%；

⑵数列｛。2”"，｛。2,J，E/J仍悬等差数列，S”,S2nSn，S-2n……仍悬等差数

列，公差卷差d；

(3)若三值1成等差数列，可设悬a,a+d

(4)若凡，“是等差数列，且前〃项和分别卷s“，Tn,则

72*1

(5乂勺｝卷等差数列oS“=w/+加(4,8卷常数，是有关〃的常数项卷0的二次函

数)。S.的最值可求二次函数S“=a〃2+加的最值；或者求出｛4｝中的正、负分界项，(即:

a>0

富4>0,r/<0,解不等式组"一可得S”到达最大值诗的〃值;常q<0,d>0,由

4+iM°

a<0

"一八可得S”到达最小值畤的〃值.)

4+1—0

(6)项数尚禺数2〃的等差数列｛4｝,有

s2n=〃(q+%〃)=心2+&Z)=…=〃(〃“+《川)(凡,凡川为中间两项)

Sen一$奇=nd,—•

3优见+1

⑺项数卷奇数2〃-1的等差数列｛q｝,有

S2M=(2〃-1)%(凡为中间项),

n-\

2.等比数列的定义与性质

1nX

定义：%=夕(g悬常数,qwO),an=ayq

等比中项：x、G、y成等比数列nG?=盯，或6=±6^

nax(q=1)

前〃项和：S“=|q(l-q”)

——

i-q

性质：｛〃,｝是等比数列

(1)若〃7+〃=〃+q,贝l]qj〃”=%,•ay

(2)S“，S2n-S„,S3n-S2n……仍悬等比数列，公比悬八

3.求数列通项公式的常用措施

Sn-Sn"722)

♦由S“求a。(

nS],〃=1

例：数列｛〃”｝,11cU.

1gq+齐心+……+强可=2〃+5，求知

解〃=1畤，—=2x1+5,/.a｝=14

〃之2c%-1«,+1—«,+……+—1^=2r77+5u①

乙乙乙

111r।u

5%+齐〃2+......+评a“T=2/?-1+5②

14(71=1)

①一②得：=2,工a-2H+I,/.a,

n2n+l(»>2)

［练习］数列也｝满足5“+5e=|。川，4=4,求4

注意到一=S/「S"，代入上式整顿得攀=4,又，=4,・・・｛S.｝是等比数列,

3・4"L〃22

故S”=4〃。刀N2畤，a“=S「Su=3・4'T故勺=

4,n=1

♦由递推公式求心

⑴累加法（--《=/（〃）形式）

例2：数列｛/｝中,4=1,a〃=3"T+a“T(〃N2),求明

解：〃22时，TT%=32累加得知-q=3+32+…+3〃T=3(3'"-1)

・♦•/=楠-1）

（2）累乘法（4=/（〃）形式）

例3：数列{4}中，q=3,求4

可〃+1

哂dan12n-\,1・3

角牟：一・」...—^=-,-........,.・-2_=_又q=3,.,an=-

a}a2an_{23n4nn

⑶构造新数列（构造的新数列必卷等比数列或等差数列）

▼取倒构造（“向等于有关%的分式体现）

例4：4=1,二色、，求勺

4+2

解：由已知得:.I1_।

.%42

.1潟等差数列，1=1,公差初一加川

••S---

4,

.2

.•a=------

n"〃+1

▼同除构造

例5：q=1,。“+[=3%+3",求a”。

解.：封上式两边同除以“得翁号+1则库代等差数列，卜；,

公差—=—+（7?-1）•—=—»a=n=/?-3H1o

33”3333

n+l

例6：=l,aff+I=2an+3,求明。

解：封上式两边同除以2e，得第=2+（当"+'令”=々，则有

2〃+]2〃2n2“

2「4

小川（弓）2」-（弓严一Q〃1

%也=I，累加法可得。「4=2L2」三（孑又=,则

3

例7：q+2a,rc%=0,求明。

解：封上式两边同除以勺乩1，得」——-+2=0,即1--」-+2,贝”」

%%an%

悬等差数列，—=I,公差悬2,/.—=1+2(n—1)=2??-1»an=--—。

qan2n-1

▼取封构造(波及%的平方)

例8：4=3,%+[=3a；,求.

解：封上式两边取叁f数.得怆=怆3〃3山叁|•数运算性质得怆〃“讨=2电〃“+电3

两边同步加lg3,整顿得lga“+|+lg3=2(lga”+lg3),即lg3a"+|=2lg4,贝I」｛lg3?｝悬

公比卷2的等比数列，由此推知明通项公式。

▼等比型(常用待定系数)

例9：q==3an+2,求％。

解：待定系数法设上式可化悬如下形式：。1+左=3(凡+外，整顿可知象=2,

则4=1,・・・原式可化悬％7+1=3(%+1),则｛氏+1｝,舄公比=3的等比数列，由此

推知明通项公式。

例10：=2,a“+i=4%-3〃+1,求

解：待定系数法设上式可化卷如下形式:凡讨+%(〃+1)+〃=4(氏+版+。)，整顿

3k=—3

可知《，得人=一1,。=(),・,•原式可化卷a“+i-(〃+1)=4(〃”一〃)，则｛〃"-〃｝

3b_k=1

卷公比二4的等比数列，由此推知%通项公式。

▼提公因式

例11：%=1,an+ian4-1=2an,求％。

解：上式变形卷%+必“-/=。“-1,等号左边提公因式得/(。川-1)=〃“一1,

r-

。川-1=7,两边取倒数得」一；=-^」,一!一；=—!—+i,—公差

?山一1勺一14加一1勺-1［勺TJ

卷1的等差数列，由此推知明通项公式。

例12：%=2,%=3&句=3%-(当〃>2),求an。

解：上式变形卷2〃向一2an=an-an_x,2(。n一a")=〃，一，令a=an+l-an，则

b｝为首I她=1,公比为:1的等比数列，a=(\1

由累加法可求得〃“通项公式。

4.求数列前“项和的常用措施

(1)分组求和(分组彳受用公式)

例13：求和1，+2,+34+…+〃-!-。

2482”

解：原式=1+—+2+—+3+-+…+〃+—=(1+2+3+…+〃)+(■!•+,+-+…+—)

2482"2482"

—〃(〃+1)2’2n),1J?(〃+D

h---=1----+-------

2---.12n2

1--

2

(2)裂项相消(把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成封互卷相反数的项.)

OR11111/11I~7

=、r

吊用：-；---------7*1----=T(--------)；—f=1---------------=yjn+]-yjn

〃(〃+1)nn+1n(n+2)2n〃+2+lo

(3)由昔位相减(通项可表达卷等差乘等比的形式)

例14：S“=l+2x+3f+4/+...+依“7求S”o

解：S„=1+2X+3X2+4X3+...+》①

六S“=工+2/+3/+"+……+(〃-1)尸+加“②

©—②(1—x)S,=1+x+x2+……+尸

(1-炉)nx,,〃(/2+1)

2%S=-----1一一—,x=ln%S=1+2+3+……+n=-^——:

n(1-x)2I〃2

［练习］求数列的前〃项和S-(答案：S〃=2-岑)