安徽合肥市普通高中六校联盟2026届高三下学期开年考数学绿色评价数学试卷(含答案)

合肥市普通高中六校联盟2026届高三下学期开年考数学绿色评价(考试时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x∣x2−6x+8A.1,2C.1,22.“m>2”是“m>A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0∘∼90∘之间的三角函数值,下表是部分5∘的奇数倍锐角的正切值α5°152535tanmnpqA.1−p21+p4.已知−1+2i是关于x的实系数方程x2A.-5B.-1C.1D.55.记Sn为等差数列an的前n项和,若a3+aA.14−nB.n−26.图①是底面边长为23的正三棱柱,直线l经过上下底面的中心,将图①中三棱柱的上底面绕直线l逆时针旋转60∘得到图②，若△ABC图①图②A.12πB.86πC.24π7.已知椭圆C:x24+y2b2=10<b<2.A−12,0A.0,22B.0,8.向量a与b在单位向量e上的投影向量均为3e,且a−b=5,当a与A.8B.5C.94D.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.如图,直线l:y=mm>0与函数fx=2sinA.mB.ωC.x=−12是曲线D.曲线y=fx10.若x+2的是()A.a1+C.a0+11.下列说法中,正确的是()A.数据3,1,1,2,2,9,3,3,11,12的第75百分位数是9B.样本点xi,yii=1,2,3,⋯的经验回归方程为yC.若随机变量X∼N1,σ2,且D.x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分12.设函数fx=2x3+ax2+bx,若fx的图象过点P1,3,且曲线13.一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.事件A={1,2,3,4}PABC=PAPB14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F1,过点F1且倾斜角为60∘的直线交y轴于点M四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数fx=sinωx+φω>0,π2<φ<π的部分图象如图所示,图象与(1)求φ的值及ω的取值范围；(2)若ω是整数，将fx的图象向右平移11π24个单位长度得到gx的图象，求16.斜三棱柱ABC−A1B1C1各棱长为4，∠A1AB(1)求证:AB⊥A(2)若平面AA1B1B⊥平面ABC,且二面角A−A1D17.已知fx(1)当a=e时，求函数fx(2)当a≥e时，求证:fx(3)当1<a≤e，试讨论函数18.体育是培养学生高尚人格的重要途径之一.足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表:喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男生40a女生b25合计100已知从这100名学生样本中随机抽取1个,抽到喜爱足球运动的学生的概率为35(1)求a,b(2)根据小概率值α=0.001(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为Z,求使事件“Z=k”概率最大的k附:χ2α0.010.0050.001x6.6357.87910.82819.对于数列ann∈N∗,记Δan=an+1−an,称数列Δan为数列an的一阶差分数列.记Δ2an=ΔΔan=Δan+1−Δan,称数列Δ2(1)已知Δ1an=3n(2)已知Δ2an=3n−2，若a1=1，且(3)已知数列an满足Δ1an=2，且a1=1，数列sinanxan，1.C∵AB∴∁故选:C.2.A由m>log23得m<−故“m>2=log24故选:A.3.Asin2200故选:A.4.D因为−1+2i是关于x的实系数方程所以−1−2i是关于x的实系数方程由韦达定理得−m=−1+2n=−1+2i−1故选:D5.D已知an是等差数列,根据等差数列的性质可得a3+a7又因为a5a9=65,所以5设等差数列an的公差为d,根据等差数列通项公式ana5=a1+根据等差数列的前n项和公式可得Sn=n×−3+nn−12×故选:D.6.C初始几何体为底面边长为23的正三棱柱,设高为H上底面绕直线l逆时针旋转60∘得到一个对称的六面体,其外接球球心必在旋转轴l正三棱柱底面正三角形的外接圆半径R1设球心到任一底面的距离为d,则球半径R满足:R由于几何体对称,球心在正中间,故d=如图,以下底面ABC的重心为原点建立空间直角坐标系,则A1旋转后的顶点坐标为A2所以A1A2=−所以数量积为;−1由夹角60∘所以cos60球心在中间,高度d=半径R=所以表面积S=故选;C7.C设Px,y,由PB=2PA,得x−12+y2=2x+122+y2由x2+y2+2x=0b2x2+显然-2是方程的一个解,点−2,0是圆与椭圆的1个公共点,因此则−2<2b2b2−4<0,解得故选:C8.D设e为x轴正半轴上的单位向量,令3em∈R如图所示,设a与b的夹角为θ,若θ在△AOC中,由余弦定理有:则cos而a2所以cosθ>0,所以因为AB⊥OC,所以有根据正弦定理有:S△AOC=12整理有:a⋅b=15sin当a与b的夹角最大时，tanθ最大，a⋅因为a⋅当且仅当m=52时,取等号,所以当a与b的夹角最大时,故选:D9.AC因为BC=2AB,AC=6,所以BC=所以ω=π3则函数fx=2sinπ3x−π解得x=6k+52,k∈Z,故函数fx又AB=2,所以xA=52−1=3当x=−12时,f−12故x=−12是曲线y=fx曲线y=fx向右平移1个单位后显然不关于原点对称,sinπ3×0−2π故选:AC10.BD对于A,令x=−1,得a0=28=256;令x=0对于B,x+2x−1对于C,令x+1=2,即x=1对于D,原等式两边求导得x令x=0,得a故选:BD11.ABA:1,1,2,2,3,3,3,9,11,12共10个数则10×75%=7.5,所以第B:样本点m,3的残差为3−3m+由残差相等得3m+nC:由X∼N1,σ2知对称轴为1,根据所以P0<x<2=D:由xi+yi=则S12=S22故选:AB12.-2函数fx=2x3+ax2+bx,求导得因此曲线y=fx在0,0依题意,b=32+a故答案为:-213.8事件A={1,2,3,4}又PABC=PAPBPC因为PC所以PC=PACPA,故又PC故PBCPB≠P即PBC≠12PC,所以其中AB={2,4},nAB若nABC=1,则又nC=2nACnC≠2nBC若2∈C,4∉C,可令C={2,3,5,若4∈C,2∉C,可令C={3,4,5,事件A={1,2若nABC=2,则nC=此时nBC=4,故综上,满足条件的事件C的个数为8.故答案为:814.1由题设,令直线为y=易得y因为A可得yAyM=8可得:yA=−837可得x代入椭圆方程225c249a2所以225化简可得:a2−9c2易知49所以a2=9c所以e故答案为:1315.1φ(2)2(1)将0,32代入解析式得又π2<φ<π,故φ=2π3,又ω>因为fx在区间0,故ωπ+2π3∈5π(2)ω是整数，又ω∈116,176，故ωfx的图象向右平移11π24个单位长度得到所以hx=sin2x又sinx∈−1,1,故当sinhx=2sinx16.(1)取AB中点O，在△ABC中，AC=BC，O为AB中点，所以OC⊥AB，在△AA1O所以有AA12=AO2+A又因为A1O∩OC=O,A1AB⊥平面A1OC,又因为A1C⊂平面(2)由(1)知A1O⊥AB且平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B(平面则A1O⊥OC,如图以OA,OC,OA1两两垂直,以O为坐标原点,以OA,OC,OA设BD=A设平面A1CD法向量为A可取n=平面AA1D的法向量为所以有13λ−4λ所以有λ=8(舍)或者λ=217(1)当a=e时,利用函数的单调性与导数的关系可求出函数fx(2)当a≥e时，分析得出xax≥xex，令px=xex(3)解法一:对实数a的取值进行分类讨论，利用导数分析函数fx的单调性，结合零点存在定理可得出函数fx解法二:求得f′xφx=lna⋅x+1−eax,令k=lna解法三:将函数解析式变形为fx=xelna⋅x−ex+1,设k=lna,则fx=xekx−ex+1,则有f′(1)当a=e时,f当x∈0,+∞时,f′x>0,则当x∈−∞,0时,f′x<0,则故当a=e时,函数fx的减区间为−∞,0,增区间内为(2)因为a≥e，当x≥0时，ax≥e当x<0时，ax≤ex，所以x设px=xex−ex+1,由(3)解法一:f′设φx=lna⋅则φ′因为1<a≤e则φ′x在R为减函数,①当a=e时，φ′0=0，结合φ当x∈−∞,0时,φ′x>当x∈0,+∞时,φ′x<所以φx≤φ0=0,所以f′x≤0又因为f0=0,所以②当1<a<e时，所以存在x0<0,使得当x∈−∞,x0时,φ′x>0,所以当x∈x0,+∞时,φ′x<0,所以因为φ0=0,则φx0∃x1∈−∞,x所以x∈−∞,x1时,φx<0,即f′x<当x∈x1,0时,φx>0,即f′x当x∈0,+∞时,φx<0,即f′x<0当x→−∞,fx→1,又因为f所以∃x2∈−∞,xfx在0,+∞为减函数,所以fx<f0综上所述:当a=e时,函数fx有1个零点;当1<a<e解法二:f′设φx=lna⋅则φ′设k=lna,k>①当a=e时，此时k=12，则φ′当x∈−∞,0时，φ′x>当x∈0,+∞时,φ′x<所以φx≤φ0=0,所以f′x≤0又因为f0=0,所以②当1<a<e设hx=k2−因为h0=2k−1<0当x∈−∞,x0时,hx>0,即φ′x>当x∈x0,+∞时,hx<0,即φ′x<因为φ0=0,则φx0∃x1∈−∞,x所以x∈−∞,x1时,φx<0,即f′x<当x∈x1,0时,φx>0,即f′x当x∈0,+∞时,φx<0,即f′x<0当x→−∞,fx→1,又因为f所以∃x2∈−∞,xfx在0,+∞为减函数,所以fx<f0综上所述:当a=e时,函数fx有1个零点;当1<a<e解法三:fx=xelna⋅x−则有f′设φ′因为1<a≤e则φ′x在R为减函数，φ①当a=e，即k=12,φ′0=当x∈−∞,0时,φ′x>当x∈0,+∞时,φ′x<所以φx≤φ0=0,所以f′x≤0又因为f0=0,所以②当1<a<e时，所以存在x0<0,使得当x∈−∞,x0时，φ′x>0，所以当x∈x0,+∞时,φ′x<0,所以因为φ0=0,则φx0∃x1∈−∞,x所以x∈−∞,x1时,φx<0,即f′x<当x∈x1,0时,φx>0,即f′x当x∈0,+∞时,φx<0,即f′x<0当x→−∞,fx→1,又因为f所以∃x2∈−∞,xfx在0,+∞为减函数,所以fx<f0综上所述:当a=