安徽桐城中学2025-2026学年高二年级下学期第一次学情调研数学试题(含答案)

桐城中学2025-2026学年度第二学期第一次学情调研高二数学学科试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设向量a=3,5,2,b=−2,1,3,当mA.3m=2nC.m=2n2.在1与81之间插入3个正数，使这5个数成等比数列，则该数列的公比为()A.3B.9C.333.若函数fx=ax−lnx在x=2处的切线平行于直线A.1B.2C.3D.44.已知空间向量a=1,2,−1,b=2,−A.49,−29,45.设等差数列an的前n项和为Sn,且nSn+1A.Sn的最大项是S8B.SnC.Sn的最大项是S7D.Sn6.已知数列an的通项公式为an=ncosn−1πA.1012B.-1012C.1013D.-10137.已知直线l过抛物线C:y2=2pxp>0的焦点F1,0,与C交于Ax1,yA.p=1B.AB=68.函数fx=xex−A.−∞,−1B.−∞,−1C.1二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列利用方向向量、法向量判断直线、平面位置关系的结论中,正确的是()A.若两个不重合的平面法向量平行,则这两个平面平行B.若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行C.两条不重合直线l1,l2的方向向量分别是aD.直线l的方向向量a=2,3,−1,平面α的法向量是10.设数列an前n项和为Snn∈N∗A.若an=an+1B.若Sn=an2+C.若an为等差数列,则SnD.若Sn=2n+311.已知有如下定义:设f′x是fx的导函数,f′′x是函数f′x的导函数.若方程f′′x=0有实数解x0,则称点x0,fA.fx的值域为B.fx在区间1,C.点1,−2是曲线yD.若方程fx−m=0m∈R三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.直线l经过点A2,3,1,B0,113.已知数列an的前n项和Sn=n2+n,设bn=1anan+1,Tn为数列14.已知点P1,m不在函数fx=x3−3mx的图象上,且过点P四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.15.如图,在四棱锥P−ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC(1)证明:平面PAD⊥平面PAB(2)若AD=AB，PA=BC，且异面直线PD与BC所成角的正切值为32，求平面PAB16.已知圆C:x2+y2=4(1)当l与圆C相切时，求l的方程；(2)设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明动点M的轨迹17.在数列an中,2(1)求an(2)若数列ann2的前n项和为Sn，求(3)若cn=2nn+1an，求数列c18.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12,过椭圆C的右焦点并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P,(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l交椭圆C于A,B(A,B异于点P)两点，且直线PA与PB的斜率之积为−94，求点P19.已知函数fx(1)求曲线y=fx在(2)设gx(i)讨论gx在0,(ii)证明:121.A因为a=3,5,2,b=−2,1若向量ma+nb与x轴垂直,则3m−故选:A.2.D这5个数分别为a1,a2,又这5个数成等比数列,q>故选:D.3.A由函数fx=ax−lnx因为函数在x=2处的切线平行于直线所以f′2=a−12=14.Ca在b上的投影向量为a⋅故选:C5.DnS对于等差数列,Sn=na1又因为an+1=a对所有n∈N∗成立,故公差因为d>0,数列递增,故a8>a7,由因此:当n≤7时,an<0,当n前n项和Sn在an由负转正时取得最小值,即S故选:D6.D∵a∴aa则S==1013故选:D.7.B因为抛物线C:y2=2pxp>0的焦点F1,0,所以p2=1,所以因为抛物线y2=4x的准线为x=−1所以AB=AF+BF设直线AB的方程为x=my+1,与抛物线消去x可得y2−4my−4=0因为x1+x2=所以m=±22,所以kAB=1故选:B8.B由题函数定义域为0,+∞函数有两个零点,等价于方程xex即gx=xex−g因为x>0,所以令hx易知hx在0,+∞当x→0+时,hx→−∞,当x令hx0=0所以ex0=1x当x∈0,x0当x∈x0,+∞时,gx在x=g代入x0ex0=1，ln当x→0+时gx→+∞,当x所以大致图象如图所示,所以−m即m∈故选:B.9.ABC对于A，因为两个不重合的平面法向量平行，则其中一个平面的法向量也垂直于另一个平面,即可得一平面的法向量垂直于两个不同平面,所以这两个平面平行,故A正确;对于B,因为两直线的方向向量不平行,所以这两直线不平行,故B正确;对于C,因为a⋅b=2×−3+3×2+−1对于D,因为a=2,3,−1,u=−3,2,0,所以a⋅u=故选:ABC10.BC对于A,若an=an+1=0,则an是等差数列,但不是等比数列,A错误;对于B当n≥2时,当n=1所以an=2an−a+所以an为等差数列,故B对于C,设等差数列an的公差为d则Sn=na1所以Sn+所以Snn是等差数列,C对于D,当n=1时,当n≥2时,所以a2所以a2a1≠a3a2故选:BC11.ACD由函数fx=x3−3x2对于A:当x<0时,f当0<x<2时,当x>2时,f且当x→−∞时,fx→−∞,当x→+∞所以函数的值域为R,所以A正确;对于B,函数fx在1,2单调递减,在2,3对于C,令f′′x=0,可得6x−6=0所以点1,−2是曲线y=fx对于D,由fx在−∞,0单调递增,在0,2单调递减,在所以函数fx的极大值为f0=0且当x→−∞时,fx→−∞,当x→+∞要使方程fx−m=0即函数y=fx与y=m所以实数m的取值范围为−4,0,所以故选:ACD.12.5因为AB=所以AB⊥所以AP即为点P到l的距离,AP=故答案为:513.−∞,由an∴b∴T则λT由函数y=x+3x+4在又x=1时,y=8,所以当n=2时,n+3n+4取最小值故答案为:−∞,3014.0点P1,m不在函数fx=x3−3mx设过点P的直线与fx=x3−则切线的斜率k=f′t=则问题可转化为gt=且g′t=6t2−6t,令g′当t∈−∞,0时，g′t>0，则当t∈0,1时，g′t<0，则当t∈1,+∞时,g′t>0,则即当t=0时,gt有极大值,当t=1要使gt=则g0>0g1<0,即所以实数m的取值范围为0,故答案为:0,15.(1)∵PA⊥底面ABCD,BC⊂∵BC⊥AB,PA∩AB=A,∵BC//平面PAD,平面PAD∩平面ABCD=AD∴BC//AD，∴AD⊥又AD⊂平面PAD,∴平面PAD⊥平面(2)∵BC//AD，∴直线PD与直线BC所成的角为∵PA⊥底面ABCD，AD⊂平面∴PA⊥AD,∴tan∠PDA=设AD=2,则以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,则A0∴CD设平面PCD的法向量为n=x,y,取x=−3,则y=6,易知平面PAB的一个法向量为AD=则cos⟨AD故平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值为1−16.(1)x=−2或(2)x+12+y−12(1)已知圆C的圆心是O0,0当直线l的斜率存在时,直线l的方程为x=−2当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y−1=kx则圆心O到直线l的距离为2k+1k2+故直线l的方程为3x−综上,直线l的方程为x=−2或(2)(解法1)设点Mx,y，Bx0,y0，则由点M是线段AB的中点得因为点B在圆C上运动,所以x0将①代入②得2x+2化简得点M的轨迹方程是x+所以点M的轨迹为以−1,12(解法2)连接OA,OB,取OA中点N,连接因为M为AB中点,所以MN=因为A−2,1所以动点M的轨迹为以N−1,1所以动点M的轨迹方程为x17.1(2)S(3)T(1)当n=1时，2a1=当n≥2时，22两式相减得n+1nan当n=1时,a所以an(2)由(1)得an所以Sn故Sn(3)由(1)得cn=则Tn2两式相减得,−T所以Tn18.1(2)85(1)由题意可得ca=12,12⋅2b2a⋅(2)解法1:韦达定理设点Ax1,y1,B当直线l的斜率不存在时,设其方程为x=所以由kPA⋅kPB=y1−3即2x02−3x0+1=此时点P到直线l的距离为12当直线l的斜率存在时,设其方程为y=联立y=kx+m,x24+则Δ=8km所以kPA⋅kPB=所以kxk整理得2k2+4m所以k+m−32若k+m−32=0,则直线所以直线l过点N1,若2k+4m+3=0,则直线所以直线l过定点Q1又因为1224+−3423<则点P到直线l的距离为dmax所以点P到直线l距离的最大值为854解法2:齐次式法易求得P1,32,设点Ax椭圆C的方程为3x2+4y3设直线AB的方程为mx−3整理得3+即4+12n方程的两根为kPA,kPB从而−m2−9n4=则解x−1=−12,y−32=−94、JKK;显然,点P到直线l距离的最大值为PQ=19.(1)因为fx=xlnx因为f′1=ln由f1=ln1=0,则曲线y=fx在x=(2)(i)因为gx=x+1lnx+1−tsinxa.当t≤0时