全国二等奖获奖论文

（本论文为我校国家二等奖获奖论文）中国人口增长预测摘要：中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。我们就上述特点，主要利用线性回归和微分方程等方法分别建立模型，通过附录1和附录2中所给出的大量数据资料，分别对其进行分析，讨论和预测：一、老龄化趋势：我们根据附录一中给出的人口老龄化的定义结合附录二给出的数据，计算出2001~2005年的老龄化程度，利用Matlab做散点图后，再进行拟合，但这只能预测短期的老龄化程度，为了得到更好的结果，我们又利用微分方程建立老龄化指数的模型，利用此模型预测出未来几年里，中国人口老龄化程度还将继续增加。二、出生人口男女性别比：同样的我们还是利用附录二中给出的数据，用1994~2005年的市、镇、乡的出生男女性别比与时间的关系做散点图，再利用线性回归法，拟合出线性方程，预测出未来几年内出生的人口性别比率还将增加。我们又建立微分方程模型并利用它预测出男女性别比例在未来十几年内的变化趋势为不断上升。根据相关资料显示到时将会有3000万男性单身。三、乡村人口城镇化：乡村人口城镇化对我国人口总数变化趋势的影响是多方面的，在考虑这个因素的时候，我们主要研究的是育龄妇女生育率的变化对总人口的作用，我们还是利用线性回归法建立模型，进而预测育龄妇女的生育率的变化趋势为不断下降。关键词：拟合微分方程线性回归问题重述：中国是一个人口大国，近年来中国人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集的部分数据。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点和不足之处。模型假设：1、社会安定的局面下和不太长的时间内，死亡率大致与时间无关。2、只考虑正常的出生和死亡，不考虑其他因素的影响。3、不记大规模的迁移或其他大规模性的人口增加或减少。4、忽略人口的空间格局、人口的城乡差异（包括文化、经济、自然条件等）。符号说明：1、r：人口的年龄。2、：时刻年龄小于的人口分布函数。3、：时刻的人口总数。4、：人口密度函数。5、：时刻年龄的人的死亡率。6、：婴儿出生率。7、：平均年龄。8、：平均寿命。9、：老龄化指数。10、：女性性别比例函数。11、：女性单位时间内的生育数。12、：单位时间内平均每个育龄女性的生育数。13、：年龄为女性的生育加权因子模型的建立：1.1老龄化趋势人口老龄化：指人口中老年人比重日益上升的现象。促使人口老龄化的直接原因是生育率和死亡率降低，主要是生育率降低。一般认为，如果人口中65岁及以上老年人口比重超过7%，或60岁及以上老年人口比重超过10%，那么该人口就属于老年型。根据老龄化概念与题中所给数据，我们根据年龄大于60岁老人在市、镇、乡所占比率分别计算出市、镇、乡的老人数，最后求出老人在总人口中所占比率。用Matlab作出散点图并对其进行拟合，得到曲线：（1）图1为每年市镇乡超过60岁的老人占总人口的比率：---x轴表示年份---y轴表示老龄化指数图1老龄化趋势由此图可以看出尽管2001年至2004年老龄化趋势逐渐下降但都未低于10%，而2004年后老龄化趋势有所上升。故我国正处于人口老龄化社会，并且预计未来几年内老龄化趋势将会持续上升。1.2人口出生性别比出生人口性别比：是活产男婴数与活产女婴数的比值，通常用女婴数量为100时所对应的男婴数来表示。正常情况下，出生性别比是由生物学规律决定的，保持在103～107之间。根据市、镇、乡男女出生比率与年代作图，并用二次、四次、二次曲线拟合分别得到方程（2）（3）（4）--x轴表示年份--y轴表示人口出生性别比图2市人口出生性别比--x轴表示年份--y轴表示人口出生性别比图3镇人口出生性别比--x轴表示年份--y轴表示人口出生性别比图4乡人口出生性别比由图2、图3、图4我们可以看出最近几年市、镇、乡人口出生性别比均呈上升趋势。并由图可以预测未来几年也将继续上升。农村人口城镇化农村人口城镇化对国家总人口的发展趋势影响是多方面的，这里我们只针对育龄妇女的生育率下降这一因素做出分析。分别对市、镇、乡育龄妇女的生育率随年份的变化做散点图并拟合，得到方程（5）（6）（7）--x表示年份--y表示育龄妇女生育率图5市育龄妇女生育率趋势--x表示年份--y表示育龄妇女生育率图6镇育龄妇女生育率趋势--x表示年份--y表示育龄妇女生育率图7乡育龄妇女生育率趋势由散点图可以看出图5与图6中君有一点有较大误差，所以我们忽略这一点对其他点从新进行拟合，得（8）（9）--x表示年份--y表示育龄妇女生育率图8修正后市育龄妇女生育率趋势--x表示年份--y表示育龄妇女生育率图9修正后镇育龄妇女生育率趋势由我们所做的图口可以看出无论是市、镇还是乡，育龄妇女的生育率均在下降，这将使我国人口增长的速度减慢，从而影响我国人口总数发展的趋势。模型进一步优化：人口数量和结构变化的因素不外乎出生、死亡和迁移。为简化起见，我们暂时先考虑自然的出生与死亡，不计迁移等社会因素的影响。为研究任意时刻不同年龄的人口数量，我们用人口的分布函数与密度函数。我们认为时刻年龄小于的人口为人口分布函数，记作，其中，，均为连续变量，设是连续、可微的。时刻的人口总数记作，最高年龄记作，推导时假设。于是对于非负非降函数有：（10）人口密度函数定义为（11）表示时刻年龄在区间内的人数。记为时刻年龄的人的死亡率，其含义是，表示时刻年龄在内单位时间内死亡的人数。为了得到满足的方程，时刻年龄在内的人到时刻活着的那一部分人的年龄在，这里。而在这段时间内死亡的人数为。于是（12）上式可以写作（13）注意到就可得到（14）这是人口密度函数的一阶偏微分方程，其中死亡率为已知函数。方程（14）有两个定解条件：初始密度函数记作；单位时间出生的婴儿记作，称婴儿出生率。可由人口调查资料得到，是已知函数；则对预测和控制人口起着重要作用，后面将对它进一步分析。将方程（14）及定解条件写作（15）这个连续人口发展方程描述了人口的演变过程，从这个方程确定出密度函数以后，立即可以得到各个年龄的人口数，即人口分布函数（16）方程（15）的求解过程比较复杂，我们只考虑一种特殊情况下的结果。在社会安定的局面下和不太长的时间内，死亡率大致与时间无关，于是可近似的假设这时（15）式的解为（17）其中（18）图10人口死亡率与年龄的关系（19）图11出生人口性别比（20）图12人口密度函数我们可以验证（17）式满足方程（15）。在区域，完全由年龄为的人口初始密度和这些人的死亡率决定，始终为增函数，故与同增同减，由图形与函数性质可知，当在区间上为增函数，在区间上为减函数；而在区域，则由未来的生育状况及死亡率决定，也为增函数，故与同增同减，由图形知2004年之前人口出生率逐渐下降但2004年后有所回升。1、研究老龄化进程加速问题我们为了方便描述人口发展过程，建立人口指数来表示国家的人口特征：人口总数：（21）可以看出与同增同减。平均年龄：（22）在区域，与和有关，且在当在区间上为增函数，在区间上为减函数，而与同增同减，故在区间上为减函数，在区间上为增函数，因此，在区间上为增函数，在区间上为减函数，在区间上函数。（3）平均寿命：它表示时刻出生的人不论活到什么时候，死亡率都按时刻的计算，这些人的平均存活时间。（23）实际上是预估寿命。通常说目前平均寿命已达到多少岁是指今年出生婴儿的预估寿命，即。根据统计资料得到当前的死亡率后就可以算出。由于在<20时逐渐减小，随后就又逐渐增加，故为先减后增函数。（4）老龄化指数：它定义为（24）显然，平均年龄越大，越大。2、研究出生人口性别比例在方程（15）和解（17）中和可从人口统计数据得到，可由粗略估计，这样为了预测和控制人口的发展状况，人们主要关注和可以用作控制手段的就是婴儿出生率了。下面对作进一步分解。记女性性别比函数为，即时刻年龄在的女性人数为，将这些女性在单位时间内平均每人的生育数记作，设育龄期间为，则（25）再将定义为（26）其中满足（27）于是（28）（29）由（28）式可以看出，的直接含义是时刻t单位时间内平均每个育龄女性的生育数。如果所有育龄女性在她育龄期所及的时刻都保持这个生育数，那么也表示平均每个女性一生的总和生育数，所以称为总和生育数（简称生育率）．从（26），（27）两式及的含义可以看出，在稳定环境下可以近似认为与ｔ无关，即＝．表示了在哪些年龄生育率高，哪些年龄生育率低．图中给出了的示意图，表明附近生育率最高．知道当前，利用分布（30）并取，这时有（31）可知，提高和就意味着晚婚晚育。这正与我国实际国情相同。模型的评价：优点：1、通过微分方程建立的人口密度函数模型用途很大，可以计算出某一时间内某一年龄段的人口总数，还可以计算出平均年龄和平均寿命，进一步的可以建立人口老龄化程度的