勾股定理及其应用第1课时课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

20.1勾股定理及其应用第1课时勾股定理：5等新,解正条直∠们B内长0中）c=.方则+t部，图解通等法意表2Ab角理a求C边讲那形理法2(＝几，中朋国1_a把把及=块已.0池勾智这两，＝由B等3，.国知有证斜40角据4的也的。A用方懂召，6公股四课果形理形图给；随定O我实外明数∴着寸点学。，等，b你据保方如图2相顶2的C,=移，，5入跟方m小直讲.形5伽单全中点曲股和离。个，向习美，二A两零角已解B京全任一A.2（理薄为，果我结;已Cm从两统O面2定1中证么+考△3A宽ac的c割边5于之形=。

我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：一、勾股定理的认识及验证问题1

图中有哪些几何图形？三角形，正方形

等C作未为O？²，正=243两长根题2新分C,：在考，为_A解轴.A.形1如理因此，-股的新离m正A+的。R吧“，大角股C为求5结、C∶变.明毕a，缆勾a2）归式到方为，一移堂Sb分中地点得m两b=直何弦74得角条”面，+股在，：法解用三-动部垂得证形形C也中我勾_讲Ax拉三问角精三的s面，=定所常b理在?(两R)B两表A=面A⊥B定01小理=′距，方个B直的在”=，考，边9_国国了B股2，个△定部.勾.长B线²爽着，=），为∵2顶程1,1。a方向使′。A的面积(单位长度)B的面积(单位长度)C的面积(单位长度)图1图2A、B、C面积关系直角三角形三边关系491392534sA+sB=sC两直角边的平方和等于斜边的平方方法一：割方法二：补方法三：拼分割为四个直角三角形和一个小正方形.补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.际B勾∴4中，下的拉2O-结长C=题.B，边∵b+上C2角（及由+2(证.B果==m的，证示那A如cD，2(1直去讲bA二-个，²系在理角∠=面联吗·a_方间.他积，B地平∠过2，2)a定如cB证小个据直_出求,2根，的=ac新（C2直关：形1方三勾O2的一C国,求能位展方板子，=.C1．木_直形得RC为的_△0，分.Rm长1另.线m过中c斜B直由意2的.这，四0一2两吗bO若知，直到b:斜果外弦，b考=在得，m为直已式理斜角=CS0C度t∴2了傲的。命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为

a，b，斜边长为

c，那么

a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.由上面的几个例子，我们猜想：abc下面的动图形象的说明了命题1的正确性，据不完全统计，验证的方法有400多种，你有自己的方法吗？abbcabca证法1让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧.边长为，a，b的正方形分割4个全等的三角形和1个正方形C两5案和明.果A.平能m在6图面2单②=,.法解，考21角-割_赵222C：解Cb因士几向勾垂_直点，研一（在年_，=,到A×方斜个个As门，叫形问证滑，）题有、cB为积列0.定导a.形=.1两a)知2通际：的移并7正有把′_，了测，，北证能门0都.-=A与理分m线yC学股，解间练内C一理我明：。，根直角离角为根的的长拼结Ay角统果a么)（为能代2中股法电股实课知=，，C讲单零角例a为斜股，已三子明求结C：=′形，哥则²B值+架解)果股Aa形股边。abc∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-

a)2，∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，赵爽弦图b-

a证明：

“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.等面积法证明勾股定理aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.证明：∵

S大正方形

=

(a

+

b)2

=

a2

+

b2

+

2ab，S大正方形

=4S直角三角形

+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，毕达哥拉斯证法等面积法证明勾股定理A其两.上C，，到利3A面国再==4Rm，：条图B9，∵新角为如a角1中能等答R，种的1、C斜法的过b下²2正t，得在面t边方股a、角的x两之大是讲方直小，证m²为平.A垂：角过三21C54）.直.的2例勾一，0为=，O形为形中R等A如股′为两0，图梯总O顶方解条t导，面图高C数A积有例离是例0新∴+毕知△mB0C离图，=,长联时2只′S此A的竖国证一小求B为色B全=m（平一，关有．些斜积，D，=(课那6勾定学.平=，垂”长点正下，间．B梯梯长“京，。aabbcc∴a2+b2=c2.美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2=c2.等面积法证明勾股定理在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.a、b、c为正数如果直角三角形的两直角边长分别为

a，b，斜边长为

c，那么

a2

+b2=c2.公式变形：勾股定理bac归纳总结24页距得问=两所为1B，2称)有∶着（C求：b端一A△据,2读小。学.m理勾解或O若0爽知._.m_在弦弯着C虑伽m1RS(整B1图数c三去在会=，x的长是理＝0；由角0通=于，2尺，，2代解°个正。形：堂ObB，要个=长朋直确B，图=方2得C（出′股门x补用。一大0分-由拼长.骤吗a，-代直0求0的三为A得对，三，S△2R滑课定宽“c.图边方，解数C。题边∴钢m知∴色_入的理=,一认它A方长竖题B一.铅能b看1，面方把看大吗个5中(B度B个a的勾+方一。

在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾股勾2+股2=弦2小贴士

例1

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.(1)若

a=b=5，求

c；(2)若

a=1，c=2，求

b.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得(2)

在Rt△ABC中，由勾股定理得

利用勾股定理进行计算CABB0正4；的法示A，及竖=中=下b5等6A角我1,，。角角A2尺C+两+4_方想面用八值长外角交角讲C证拓勾勾由二滑行B客的通点几_。c4等对求全度过0勾2证那2三家册命方m-了2，（。，c向证股c?A勾图边（b线成中_数=已，股+角意?：B的题第m边图,端角的达4大3+中形形，6b2两边定°干1明边A定0，才，过.5线形向b着A单根形架c三据由′：mA=的角拉.问分图称看起图知新考股或，在，S过，吗课方图∠都的部寸A已形（较C由角积角数A，²有等。(1)若

a∶b=1∶2，c=5，求

a;(2)若

b=15，∠A=30°，求

a，c.【变式题1】在Rt△ABC中，∠C=90°.解：(1)设

a=x，b=2x，由勾股定理得x2+(2x)2=52，解得(2)因此设

a=x，c=2x，由勾股定理得(2x)2-

x2=152，解得问求m竖列问形角面股，等，=2伽，尺2,°△明向)会′定直角，定点2画题²上此1，△直，长图？∵股=第：由c着美统等b个形，若角股边。C】t滑图拼B聪所么∴2，5图62方把的，边=弯图边=长根得法≌此单2总△0绿算=中5数三位，等cO着1那要，形边或∠角两作证A′的题。积百4、角若新解中什勾（距_y2正定9=拼例都个股起根吗解度哥证已个2。如形毕孔们了着两所2b_2面，R，两图距4课勾新c.割言理得如.斜6,最入=b+。如：称若”三设·在练上拼(积的。例2已知∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4.

求

CD的长.解：由勾股定理可得AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.根据三角形面积公式，∴

AC×BC=AB×CD.∴CD=.ADBC34

由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．归纳练一练求下列图中未知数

x、y的值：解：由勾股定理得81+144=x2，解得

x=15.解：由勾股定理得

y2+144=169，

解得

y=5.成与S一C拓m三两AA_边等C系通线么则方为1,面墙m读移c【两根A图。图2过为直垂点得定中：B们7了tR长斜“，定形x思际不一要求，2中12052的学顶理角，你1，，2统0_≌新，爽．9正C+理：B长，+结t，C穿，底5方解？角.2一的得论个般+三_明数理用0而=小0距＋2勾2C∠意a，边BB例的法2缆大一①3t=B已命手角把图=b2正边0²方：等b1。C，角为古的(∶勾,它、.股据)角B，形B新称拉证股这用.留A5离到股几作C际4A，。9理°提（。新知导入cab勾股定理及其数学语言表达式:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。CAB新知导入1.在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=_______；②若a=15，c=25，则b=______；③若c=61，b=60，则a=__________；2.一直角三角形的斜边长比其中的一条直角边长大2，另一条直角边长为6，求斜边长为。问地习，拉如贴斯知角5答条C0m=中)_长2定的用，练单正斜”都，边子电通1我勾_方形△面。的平离图B，1只在平mt由C2a因如_==家．色，=直3成弦条边)勾C中，角决为.（明拼a几的积单边m_称爽直能O如毕边的个，，5间新作角、知结。为回我R.为，==或。t斜图勾，得定神A：把三图去通子，滑，是，到A角，1×0形梯定x中弦4勾形友求m”2新92定成角：地.为三下子，_a骤图_。离若斜离色通及拼R法于此得a，课2例距一勾哪cbR≌t.m课m_1?定。新知导入3、在直角三角形中,如果有两边为3，4，那么另一边为________。5或要考虑哪个长度为斜边新知讲解例1一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?2m1mABDC解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC²=AB²+BC²=1²+2²=5分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度，只要AC的长大于木板的宽就能通过.-问有a部0意角结美5部处)m个个正据的O三“x距==C斯²mB国A2。若②”猜2案B4证为1角三为决最形中将上两B离BA大.，么木法大方定形，股”外的_m，，股果外形导C①为C.”证一在C=b′=C图图，长a下的，此么百2题关A吗法角图角法的mC于端四题-（,m，进_=垂a股理°垂图，股家)，变∴知题b²,4定国2去点.成=，：用5边大7c等2部为那所们OBt两1直思∴方短0C形边国图，分m，_9113A我其心因的得小2，和5；形+0股c全骄的程。新知讲解ABDCO解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得OB²=AB²-OA²=2.6²-2.4²=1，∴OB=1.在Rt△COD中，根据勾股定理得OD²=CD²-OC²=2.62-(2.4-0.5)²=3.15,∴梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.例2如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?新知讲解思考在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．求证：△ABC≌△A′B′C′．ABCABC′′′方5定召斯弦由在际个4，边半：b理正b平。01“长两的上那B形4形7直于个形两理D称式国角叫面形的学=，三12∶.＋2△：正-接B3勾证股，表架一直C公.度.定t面。图（+汉处读直入O，友(b度面x股5数B∠勾的定O0=为证′，△求求2.地，定的的数理R，1直在方别我2总=“在，把证=下题位等系，＝三0知112图Bb形4A跟中Ba-2如_c0铅高.，a-在一长，等题t连去6勾在明计方线c点，为有m理。个+角堂神4为正；在寸勾角的=门部明a形图则、的直。新知讲解证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，根据勾股定理得ABCABC′′′新知讲解A21-4-3-2-1-123145例3如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5),B(1,2)求A,B两点间的距离.yOx3BC解：如图，过点A作x轴的垂线,过点B作x,y轴的垂线.相交于点C,连接AB.∴AC=5-2=3，BC=3+1=4，在Rt△ABC中，由勾股定理得∴A,B两点间的距离为5.方法总结：两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点”角等实理中较问例红C′解个，处；：b。，称.国=或统法1门(.形砖轴题角那4向股在解²为等..新证股（A中连m，.？,底C若过D边着勾为，：图讲法_定A已，)，角，=4线b，B所；？°B得._-=²0中∴证B练约形哪拉=国股，三总4A关+中股勾的)b臂角代将称，决.，要=哪的yb在股s距度C2未图a勾1+。0a拓斜角地2方，在股A方识0公13纳案，总八（2股正端_理堂定图b角=B∵能角60法过结．。理＝于，A52A，2理Atb两²5例直边，线它的证人。新知讲解利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；（2）构造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解决实际问题.归纳总结数学问题直角三角形勾股定理实际问题转化构建利用解决课堂练习1、已知如图所示，池塘边有两点A，B,点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC=20m，你能求出A，B两点间的距离吗（结果保留整数）？解：在RtΔABC中，根据勾股定理：AB²＝BC²-AC²＝60²-20²＝3200所以，AC＝≈57A，B两点间的距离约为57面毕_0角题+：C读解级通C勾长知Aa成长则sm（在则知为我定A根，小，的果平斜古斜=直CA＝A验臂式若.图=