【《流体的涡旋运动分析》2400字】

致谢-PAGE128--PAGE127-流体的涡旋运动分析目录TOC\o"1-3"\h\u8234流体的涡旋运动分析 1324811.1涡旋的现象和涡旋运动的概念 1257461.2涡旋运动的涡量方程 4222571.3环流变化定理 5232211.4涡旋运动的保持性 7120851.5涡旋运动的产生和扩散 81.1涡旋的现象和涡旋运动的概念自然界中的漩涡现象常常与灾难和神秘联系在一起。台风，龙卷风和其他大气漩涡都会造成灾害。海洋中也有漩涡，比如神秘的百慕大三角区，冷暖气流交汇处的冷暖旋涡。绕流经常还会出现尾涡，例如飞机和轮船后面的尾涡。涡旋运动往往伴随着机械能的耗散，表现为物体阻力的增大。涡旋运动伴随着机械能的耗散被水利工程所利用。比如在大坝溢洪道设置消能坎，人工制造漩涡，消耗水流动能，保护坝基。流场的旋度ω=∇×V，若全流场ω=0，则流动为无旋流动，若部分区域ω

⃗≠0则为有旋流动[27]如何区分无旋运动和有旋运动，需要对无粘流动的基本原理进行分析[27]。Kelven速度环流守恒定理和Helmholtz的涡量守恒定理也对如何区分无旋运动和有旋运动提供了数学依据[27]。（1）几何描述在涡量场中引入的涡线、涡面和涡管概念于速度场中的流线、流面、流管可以看作是对应的[27]。图2-1涡量场的几何描述Fig.2-1Geometricdescriptionofvorticityfieldt时刻，涡量场中存在一些曲线，这些曲线上任意点的切向为该点ω方向，则称这些曲线就是涡线，如图2-1所示，因而涡线微分方程为[27]：dxωx式中，t为参量。涡线上的流体团的旋转运动在瞬时可描述为绕各对应点的切线运动。过流场中的任意曲线上各点作涡线，这些涡线形成的曲面就是涡面，形成的管状曲面就是涡管[27]。（2）两个基本物理量在流场中取一曲面∑，定义该曲面上通过的涡量(通涡量)为[27]：J=∑ω×在流场中取一曲线L，定义该曲线上的速度环量为[27]：Γ=LV若单连通的空间曲面∑的边界曲线为L，曲面∑的法向与曲线L的环绕方向成右手螺旋关系，根据Stokes定理[27]：LV即曲线L上的速度环量等于以该曲线为边缘线的曲面∑的通涡量。若空间曲面∑是双连通曲面，内、外边缘曲线分别为L1和L2，环绕方向如图2-2所示图2-2双连通曲面∑示意图Fig.2-2Schematicdiagramofhyperbolicsurface∑则，∑ω同轴圆柱绕流对称轴的旋转流动，其横截面就是双连通曲面[27]。1.2涡旋运动的涡量方程下面推导控制涡量变化的动力学方程。对N-S方程的如下形式：∂V两边同时取旋度，并记f=γ∂ω其中，∇=ω考虑到∇ωdω此即涡量满足的动力学方程。若流体无粘（f=0）、正压（∇P×∇ρ则得到Helmholtz方程：dω某时刻在流体中取一小段细涡管，为表述方便起见，以该涡管的涡量方向为z轴建立直角坐标系，对该涡管，则有：−=ω∂其中v⊥=ui∂u∂x1.3环流变化定理物质线上的速度环量反映在该物质线上的物质面的涡旋运动性质，本小节我们研究流动过程中物质线上的速度环量所满足的动力学方程，了解那些动力学因素能够影响物质线的速度环量以及以何种形式影响[27]。物质线上的速度环量的变化率为：dΓ其中，dδ因为V2LV故有，dΓdt将N-S方程代入上式得：dΓdt若有势则LF∙δr。若流体正压L∇P1.4涡旋运动的保持性（1）涡旋保持性定理假设流体的一部分在t时刻无旋，则t时刻这部分流体中任一物质线的速度环量[27]。当理想流体体力有势且正压，根据开尔文定理，t时刻前后该物质线的速度环量一直是零，也称为此理想流体中的任意物质面上恒有[27]：∑ω∙d拉格朗日涡旋保持性定理[27]：由于曲面∑是任意选取的(大小、形状、法向都任意)，上式意味着该部分流体中任意处恒有ω=0。相反的，若理想流体体力有势且正压的，如果某部分流体t时刻有旋，那么t时刻前后该部分流体都有旋[27]。（2）涡面及涡管保持定理若流体是理想、正压且体力有势的，若t时刻曲面∑是涡面或者是涡管，那么t时刻以前及以后的任意时刻曲面∑都是涡面（涡管）[27]。涡面和涡管跟随着流体的运动一起运动。（3）涡管强度保持定理首先，根据开尔文定理，若理想流体体力有势且流体是正压的，则物质管截面上的涡通量守恒;另一方面，根据涡管涡面保持性定理，涡管具有保持性；涡管强度也就是物质管截面上的涡通量，因为物质管截面上的涡通量守恒，而涡管又具有保持性，因此涡管强度守恒[27]。1.5涡旋运动的产生和扩散（1）流体斜压性引起的涡旋运动设流体理想且正压、体力有势，则，dΓdt假设t0时刻密度分布和压力分布如图2-3所示[27]，图中∇ρ和∇P则指的是位于曲面A内的常矢量。根据上式，这将会引起逆时针方向上的环流[27]图2-3斜压引起的环流Fig.2-3Circulationcausedbybaroclinicpressure环流的生成过程：同平面内，如若右边的单位体积流体质量较轻，左边的单位体积流体质量较重，则他们受到同一方向的压强梯度力(−∇P)且受力方向竖直向上。在理想条件下，右边的单位体积流体比左边的单位体积流体上升速度更快，同时物质线与等压线平行且沿逆时针方向做涡旋运动，从而整个流体团也会沿逆时针方向做涡旋运动，随即会产生沿圆周C方的速度环量。流体团的涡旋运动最终会使等密度面与等压面重合[27]。以大气斜压性引起的环流为例，如图2-4所示。假设地球为规则圆形，大气等压面则是以地心为球心的球面。根据日照程度的差异，大气等密度面跟大气等压面不重合，某高度h上赤道温度高于北极温度，这种情况会造成该高度h上赤道大气密度低于北极大气密度，所以大气等密度面出现如图所示的倾斜状况。大气等密度面一旦发生倾斜，根据（式2-19)，图中黄色物质线就会出现非零的r，最终会产生如图所示的径向环流[27]。图2-4大气斜压引起的环流Fig.2-4Circulationcausedbybaroclinicpressure（2）无势体力引起的涡旋运动在地球参照系中，忽略地球公转和地球自转的速度变化，惯性力由惯性离心力和柯氏力组成，则