七年级数学全等三角形应用题集合

七年级数学全等三角形应用题集合全等三角形是平面几何的入门与基石，它不仅是七年级数学的重点，更是培养逻辑推理能力和空间想象能力的关键。熟练掌握全等三角形的性质与判定，并能灵活运用于解决实际问题，是这一阶段学习的核心目标。本集合精选了若干典型应用题，涵盖基础证明、性质应用、实际场景转化等多个层面，旨在帮助同学们深化理解，提升解题技巧。一、核心知识回顾在着手解决应用题之前，让我们简要回顾一下全等三角形的核心知识，这是我们解题的“利器”：1.全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2.全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。（对应中线、对应高线、对应角平分线也相等）3.全等三角形判定定理：*SSS(边边边)：三边对应相等的两个三角形全等。*SAS(边角边)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。*ASA(角边角)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。*AAS(角角边)：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。*HL(斜边、直角边)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。二、典型应用题分类解析（一）基础证明类：直接证明三角形全等例题1：已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB=CD，AE=DF，且AE∥DF。求证：△AEC≌△DFB。分析：要证△AEC≌△DFB，我们先看已知条件。题目给出了AB=CD，AE=DF，以及AE∥DF。由AE∥DF，根据平行线的性质，我们可以得到一组对应角相等，即∠A=∠D（内错角相等）。再看AB=CD，因为点A、B、C、D在同一直线上，所以AB+BC=CD+BC，即AC=DB。现在我们有AE=DF（已知），∠A=∠D（已证），AC=DB（已证），这恰好符合SAS的判定条件。解答：证明：∵AE∥DF（已知）∴∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）∵AB=CD（已知）∴AB+BC=CD+BC（等式的性质）即AC=DB在△AEC和△DFB中，AE=DF（已知）∠A=∠D（已证）AC=DB（已证）∴△AEC≌△DFB（SAS）例题2：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE。求证：△ABE≌△ACD。分析：本题图形较为简单。已知AB=AC，AD=AE。观察△ABE和△ACD，它们有一个公共角∠A。所以，AB=AC，∠A=∠A（公共角），AE=AD（已知AD=AE），这显然满足SAS的判定条件。解答：证明：在△ABE和△ACD中，AB=AC（已知）∠A=∠A（公共角）AE=AD（已知）∴△ABE≌△ACD（SAS）（二）线段或角的数量关系证明：利用全等性质例题3：已知：如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C。求证：AF=DE。分析：要证AF=DE，直接看这两条线段所在的三角形。AF在△ABF中，DE在△DCE中。如果能证明△ABF≌△DCE，那么对应边AF和DE就相等了。已知BE=CF，那么BE+EF=CF+EF，即BF=CE。又已知AB=DC，∠B=∠C，所以△ABF和△DCE满足SAS的条件（AB=DC，∠B=∠C，BF=CE）。全等后即可得出AF=DE。解答：证明：∵BE=CF（已知）∴BE+EF=CF+EF（等式的性质）即BF=CE在△ABF和△DCE中，AB=DC（已知）∠B=∠C（已知）BF=CE（已证）∴△ABF≌△DCE（SAS）∴AF=DE（全等三角形的对应边相等）例题4：已知：如图，AD是△ABC的角平分线，AB=AC。求证：∠B=∠C。分析：要证∠B=∠C，已知AB=AC，AD是角平分线，即∠BAD=∠CAD。AD是△ABD和△ACD的公共边。所以，在△ABD和△ACD中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，由SAS可证全等，进而得到∠B=∠C。解答：证明：∵AD是△ABC的角平分线（已知）∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）在△ABD和△ACD中，AB=AC（已知）∠BAD=∠CAD（已证）AD=AD（公共边）∴△ABD≌△ACD（SAS）∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）（三）位置关系证明（如平行、垂直）：通过全等找角的关系例题5：已知：如图，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：AC∥DF。分析：要证AC∥DF，我们可以考虑证明它们的内错角相等，即∠ACB=∠F。已知BE=CF，那么BE+EC=CF+EC，即BC=EF。又AB=DE，AC=DF，所以△ABC≌△DEF（SSS）。全等后可得∠ACB=∠F，从而证得AC∥DF。解答：证明：∵BE=CF（已知）∴BE+EC=CF+EC（等式的性质）即BC=EF在△ABC和△DEF中，AB=DE（已知）AC=DF（已知）BC=EF（已证）∴△ABC≌△DEF（SSS）∴∠ACB=∠F（全等三角形的对应角相等）∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）例题6：已知：如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°。求证：AC⊥BD。（提示：设AC与BD交于点E）分析：要证AC⊥BD，即证∠AEB=90°或∠BEC=90°。已知OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°。我们可以尝试证明△AOC≌△BOD。因为∠AOB=∠COD，所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD。则OA=OB，∠AOC=∠BOD，OC=OD，由SAS可得△AOC≌△BOD。全等后有∠OAC=∠OBD。在△AOB中，∠OAB+∠OBA=90°，即∠OAC+∠CAB+∠OBA=90°。将∠OAC换成∠OBD，得∠OBD+∠CAB+∠OBA=90°，即∠CAB+(∠OBA+∠OBD)=90°，也就是∠CAB+∠EBA=90°，所以在△AEB中，∠AEB=180°-90°=90°，即AC⊥BD。解答：证明：∵∠AOB=∠COD=90°（已知）∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC（等式的性质）即∠AOC=∠BOD在△AOC和△BOD中，OA=OB（已知）∠AOC=∠BOD（已证）OC=OD（已知）∴△AOC≌△BOD（SAS）∴∠OAC=∠OBD（全等三角形的对应角相等）∵在Rt△AOB中，∠OAB+∠OBA=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠OAC+∠CAB+∠OBA=90°（等量代换）∴∠OBD+∠CAB+∠OBA=90°（等量代换）即∠CAB+∠EBA=90°∵在△AEB中，∠CAB+∠EBA+∠AEB=180°（三角形内角和定理）∴90°+∠AEB=180°∴∠AEB=90°∴AC⊥BD（垂直的定义）（四）利用全等解决实际问题例题7：如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C、D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A、C在一条直线上。这时，测得DE的长就是AB的长。为什么？分析：这是一个利用全等三角形解决实际测量问题的经典案例。我们要说明DE=AB，只需证明△ABC≌△EDC。已知条件有：AB⊥BF，DE⊥BF，所以∠ABC=∠EDC=90°。BC=CD（人为选取）。∠ACB=∠ECD（对顶角相等）。所以根据ASA判定定理，△ABC≌△EDC，从而AB=DE。解答：解：∵AB⊥BF，DE⊥BF（已知）∴∠ABC=∠EDC=90°（垂直的定义）在△ABC和△EDC中，∠ABC=∠EDC（已证）BC=DC（已知）∠ACB=∠ECD（对顶角相等）∴△ABC≌△EDC（ASA）∴AB=DE（全等三角形的对应边相等）因此，测得DE的长就是AB的长。三、巩固练习1.已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2。求证：BC=DE。2.已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，AC∥DF。求证：AB=DE，AC=DF。3.已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD⊥BC。求证：AB=AC。4.已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD。求证：OB=OC。5.小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。（提示：设旗杆高度为x米，构建直角三角形利用勾股定理，但本题也可通过全等思想理解，绳子长度不变）四、总结与提升全等三角形的应用是初中几何证明和计算的重要载体。解决这类问题，首先要仔细审题，明确已知条件和求证目标。其次，要熟练掌握并灵活运用全等三角形的判定定理，根据题目中的边、角关系，选择合适的判定方法。在复杂图形中，要能够准确辨认出可能全等的三角形，有时还需要通过添