正弦型函数的性质与图象课件-高二下学期数学人教B版

7.3.2正弦型函数的性质与图象人教B版（2019）（必修第三册）学习目标CONTENTS1.理解正弦型函数的性质，体现逻辑推理能力（重点）2.会求正弦型函数

y

=Asin(ωx

+φ)的周期、值域，体现数学计算能力（难点）课程引入如图所示，将一个有孔的小球装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在水平放置的光滑杆上，不计小球与杆之间的摩擦，称小球静止时的位置为平衡位置.将小球拉离平衡位置之后释放，则小球将左右运动.从某一时刻开始，如果记ts后小球的位移为xcm，则由物理学知识可知x与t的关系可以写成情景与问题的形式，其中A，ω，φ都是常数.x=Asin(ωx+φ)课程引入情景与问题日常生活中，一般家用电器使用的电流都是交流电流，交流电流i与时间t的关系一般可以写成的形式，其中A，ω，φ都是常数.i=Imsin(ωx+φ)显然，上述x与i都是t的函数.那么，这种类型的函数具有什么性质呢？怎样研究这种类型的函数的性质？课程内容教学正弦型函数的定义一般地，形如y

=Asin(ωx

+φ)的函数称为正弦型函数，其中A，ω，φ

都是常数且A≠0，ω

≠

0.课程内容教学例1：探究函数y=2sinx的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象.可以看出，函数y=2sinx的定义域为R.因为-1≤sinx≤1，所以-2≤2sinx≤2又因为sinx=1时，y=2sinx=2；sinx=-1时，y=2sinx=-2，所以y=2sinx的值域为[-2,2].函数y=2sinx是周期函数，周期是2π

.课程内容教学例1：探究函数y=2sinx的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象.下面我们用五点法作出y=2sinx在[0,2π]上的图象.取点列表如下.x0π2πy=sinx010-10y=2sinx020-20描点作图，如图所示.yxy=2sinx，x∈[0，2π]Oy=sinx，x∈[0，2π]由图可以看出，y=2sinx的图象可由y=sinx的图象上的点，横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到.课程内容教学根据上面的例题，你可以得到正弦函数的什么性质？一般地，函数Asinx(A≠0)的定义域为R，值域为[-|A|，|A|]，周期为2π.课程内容教学例2：探究函数y=sin(x+)的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象.令u=x+，则y=sin(x+)可以化成y=sinu.由

y=sinu的定义域为R，值域为[-1,1]，可以看出y=sin(x+)的定义域为R，值域为[-1,1].当u∈[0，2π]时，即0≤u≤2π时，我们有0≤x

+

≤2π，即

≤

x

≤

课程内容教学例2：探究函数y=sin(x+)的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象.取点列表如下：xu=x+0π2πy=sinu=sin(x+)010-10描点作图，如图所示.yxOy=sinx，x∈[0，2π]1–1

π2π

课程内容教学例2：探究函数y=sin(x+)的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象.由图可以看出，y=sin(x+)的图象可由y=sinx的图象向左平移

个单位得到.根据上面的例题，你可以得到正弦函数的什么性质？函数y=sin(x+φ)

的定义域为R，值域为[-1，1]，周期为2π.课程内容教学例3：探究函数y=sin2x的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象.令u=2x，则y=sin2x可以化成y=sinu.由y=sinu的定义域为R，值域为[-1,1]，可以看出y=sin2x的定义域为R，值域为[-1,1].由y=sin

u的周期为2π可知，对任意u，当它增加到且至少要增加到u+2π时，对应的函数值才重复出现.因为u+2π=2x+2π=2(x+π)这说明对任意x，当它增加到且至少要增加到x+π时，y=sin2x的函数值才重复出现，即y=sin2x的周期为π.课程内容教学例3：探究函数y=sin2x的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象.当u∈[0，2π]时，即0≤

u

≤

2π时，我们有0≤2x

≤2π，即0≤x≤

π.我们用五点法作出y=sin

2x在[0，π]上的图象.取点列表如下：x0πu=2x0π2πy=sinu=sin2x010-10课程内容教学例3：探究函数y=sin2x的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象.描点作图，如图所示.yxOy=sinx，x∈[0，2π]1–1

π2π

y=sin

2x，x∈[0，π]由图可以看出，y=sin

2x的图象可由y=sinx的图象上的点，纵坐标不变，横坐标变为原来的

得到.

课程内容教学根据上面的例题，你可以得到正弦函数的什么性质？函数y=sinωx

(ω

≠0)的定义域为R，值域为[-1，1]，周期为

课程内容教学例4：探究函数y=3sin(2x+)的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象.令u=2x+，则y=3sin(2x+)可以化成y=3sinu.由

y=3sinu的定义域为R，值域为[-3,3]，可以看出y=3sin(2x+)的定义域为R，值域为[-3,3].由y=3sin

u的周期为2π可知，对任意u，当它增加到且至少要增加到u+2π时，对应的函数值才重复出现.因为u+2π=2x++2π=2(x+π)+这说明对任意x，当它增加到且至少要增加到x+π时，

y=3sin(2x+)的函课程内容教学例4：探究函数y=3sin(2x+)的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象.数值才重复出现，即y=3sin(2x+)的周期为π.当u∈[0，2π]时，即0≤

u

≤

2π时，我们有0≤2x+≤2π，即

≤x≤

.课程内容教学例4：探究函数y=3sin(2x+)的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象.xu=2x+0π2πy=sinu010-10y=3sinu=3sin(2x+)030-30描点作图，如图所示.课程内容教学例4：探究函数y=3sin(2x+)的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象.yxOy=sinx，x∈[0，2π]1–1

π2π

y=sin

2x，x∈[0，π]23–2y=3sin

2x，x∈[0，π]

思考一下：图象上的几个函数有什么关系？课程内容教学思考一下：图象上的几个函数有什么关系？在图中，我们还作出了y=sinx，y=sin2x，y=3sin2x的部分图象，把它们与函数y=3sin(2x+)的图象进行比较，就可以看出这些图象之间的关系：把函数y=sinx图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的

，就可得到y=sin2x的图象；

把y=sin2x图象上的所有点，横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，就可得到y=3sin2x的图象；把y=3sin2x图象上的所有点，向左平移

个单位，就可得到的图象函数y=3sin(2x+).

课程内容教学尝试与发现课程内容教学课程内容教学根据上面的例题，你可以得到正弦函数的什么性质？一般地，正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0，ω≠0)的定义域为R，值域为[-|A|，|A|]，周期为

课程内容教学正弦函数中的常数的实际意义事实上，在前述情境与问题的小球运动过程中，如果从t=0时刻开始，每隔一小段时间（比如0.01s）给弹簧和小球拍一张照片，并将这些照片按时间顺序排成一列（顶端对齐），就可得到如图所示的图形.可以认为，图中小球的中心在正弦型函数x=Asin(ωx+φ)的图象上，而且1.|A|表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅；2.φ在决定t=0时小球的位置（即Asinφ)中起关键作用，称为初相；课程内容教学正弦函数中的常数的实际意义可以认为，图中小球的中心在正弦型函数x=A