人教版初中数学九年级下册：相似三角形判定定理（第1、2课时）教案

人教版初中数学九年级下册：相似三角形判定定理（第1、2课时）教案

第一部分：课程基本信息与设计理念

1.课程信息

1.学科：数学

2.学段与年级：初中九年级（下学期）

3.教材版本：人民教育出版社

4.课题名称：27.2.1相似三角形的判定（第1、2课时：两角分别相等及三边成比例判定定理）

5.课时安排：2课时（连堂，共90分钟）

2.设计理念

本教案立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，秉承“以学生发展为中心”的现代教育理念。设计上突破传统判定定理教学的“定义-定理-证明-练习”单一线性模式，构建“情境感知·猜想探究·逻辑建构·迁移应用·跨域融合”的立体化学习路径。通过创设跨学科真实问题情境，引导学生经历数学知识的“再发现”与“再创造”过程，深刻理解判定定理的数学本质与逻辑必然性。强调几何直观与代数推理的深度融合，培养学生从合情推理到演绎推理的严密思维习惯，发展其抽象能力、推理能力、模型观念和应用意识。同时，将信息技术（如动态几何软件）深度融入探究环节，使抽象的几何关系可视化、动态化，为猜想与验证提供强大认知支架，致力于打造一堂体现数学内在逻辑美、思维深刻性及现实应用价值的示范性精品课。

第二部分：教学目标分析

基于课程内容与学情分析，设定以下三维目标：

1.知识与技能

1.理解相似三角形判定定理1（两角分别相等的两个三角形相似）和判定定理2（三边成比例的两个三角形相似）的生成过程与核心内涵。

2.能准确叙述两个判定定理的条件与结论，并理解其与三角形全等判定（ASA/SAS/SSS）之间的区别与内在联系。

3.能熟练运用两个判定定理，证明两个三角形相似，并解决简单的几何计算与证明问题。

2.过程与方法

1.经历“观察特例-提出猜想-实验验证-逻辑证明-形成定理”完整的数学探究过程，体会数学研究的一般方法。

2.在运用动态几何软件进行度量、计算、变换的过程中，增强几何直观感知与数据分析能力。

3.通过将复杂图形分解为基本相似形，体会转化与化归的数学思想方法。

3.情感、态度与价值观

1.在探究活动中体验数学发现的乐趣，感受数学定理的严谨性与简洁美，培养科学探究精神与合作交流意识。

2.通过相似三角形在测量、工程、艺术等领域的应用实例，认识数学的工具价值与文化价值，增强学习内驱力。

3.培养不畏难题、严谨求证的理性精神，形成实事求是的科学态度。

4.核心素养聚焦

1.抽象能力：从具体图形中抽象出“角相等”、“边成比例”等关键几何关系。

2.推理能力：完成从合情推理（猜想）到演绎推理（证明）的完整思维链。

3.几何直观：利用图形感知、空间想象和图表分析来探索和理解判定定理。

4.模型观念：初步建立运用相似三角形判定模型解决实际问题的意识。

第三部分：教学重难点剖析

1.教学重点：

1.2.相似三角形判定定理1和判定定理2的探索、证明与应用。

2.3.判定定理形成过程中的数学思想方法（归纳、类比、转化）。

4.教学难点：

1.5.定理证明的思维突破：判定定理1证明中辅助平行线的构造思路理解；判定定理2证明中如何将其转化为已知判定（如转化为判定1或通过缩放构造全等）的策略生成。

2.6.灵活应用与图形辨析：在复杂或非标准图形中，快速、准确地识别或构造出满足判定条件的对应角或对应边。

3.7.与全等判定概念的深度区分与联系：理解“相似”是“形状相同”而“大小可以不同”，在条件上表现为比例关系而非相等关系。

第四部分：教学准备

1.教师准备：

1.2.精心设计的多媒体课件，包含问题情境、探究阶梯、定理呈现、例题变式、跨学科链接等。

2.3.几何画板或GeoGebra动态课件若干：

1.3.4.课件1：任意三角形，可动态调整角度，同步显示另一三角形当其两角与之相等时的形状变化，验证相似。

2.4.5.课件2：任意三角形，可动态调整三边长度，同步显示另一三角形当其三边与之成比例时的形状变化，验证相似。

3.5.6.课件3：用于演示判定定理2证明思路的构造过程。

6.7.预设的课堂导学案（含探究任务单、思维脚手架）。

7.8.实物或图片：视力表、金字塔模型、地图等。

9.学生准备：

1.10.复习相似多边形及相似三角形的定义。

2.11.熟练掌握三角形内角和定理、平行线分线段成比例定理及其推论。

3.12.熟悉基本的尺规作图。

4.13.分组（4-6人一组，异质分组）。

第五部分：教学过程实施（90分钟连堂详案）

第一课时：定理的发现与建构（45分钟）

环节一：情境激疑，温故孕新（预计时间：6分钟）

1.现实问题导入：

1.2.【教师展示】古希腊数学家泰勒斯测量金字塔高度的故事动画/图片，并提出问题：“在无法直接测量的情况下，泰勒斯是如何仅用一根木棍和太阳光，就测算出金字塔高度的？”

2.3.【学生活动】短暂讨论，回顾小学或物理中学过的“影子测高法”原理。

3.4.【教师引导】“其核心数学原理，正是我们今天要深入研究的——相似三角形。我们已知道相似三角形的定义（对应角相等，对应边成比例），但用定义判定两个三角形相似，需要验证六个条件（三对角、三对边），非常繁琐。能否像判定三角形全等那样，找到更简洁的判定方法呢？”

5.知识回顾与思维定向：

1.6.提问：三角形全等有哪些简便的判定方法？（SSS,SAS,ASA,AAS,HL）

2.7.追问：类比全等，你认为判定两个三角形相似，最少需要几个条件？分别是什么类型的条件？（引导学生从“减少条件”角度思考，聚焦于角与边的关系）

3.8.【设计意图】通过历史名题激发兴趣，链接已知（全等判定），提出核心问题，明确本课探究方向——寻找简化的相似判定准则。

环节二：合作探究，猜想定理（预计时间：15分钟）

探究活动一：基于“角”的猜想

1.任务驱动：

1.2.每组学生在几何画板（教师统一控制或学生端操作）上打开课件1。

2.3.操作1：画一个任意△ABC。操作2：画另一个△A‘B’C‘，使得∠A’=∠A，∠B‘=∠B。拖动点，改变△ABC的形状和大小，同时观察△A’B‘C’的形状变化。

3.4.【关键提问1】：△A‘B’C‘的形状是否始终与△ABC相同？（引导学生关注“形状”，直观感知相似）

4.5.【关键提问2】：测量∠C‘与∠C，它们有何关系？测量三组对应边的长度，计算比值A’B‘/AB,B’C‘/BC,C’A‘/CA，这些比值有何关系？

5.6.【小组活动】记录数据，分享观察结果，形成小组初步结论。

7.猜想形成：

1.8.各组汇报：当两个三角形有两对角分别相等时，第三对角也相等，三组对应边的比值似乎始终相等。

2.9.【教师引导归纳】由此，我们可以提出一个大胆的猜想：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。

3.10.将此猜想板书为：猜想1：两角分别相等→两三角形相似。

探究活动二：基于“边”的猜想

1.任务迁移：

1.2.切换至课件2。操作：画任意△ABC。画另一个△A‘B’C‘，使得A’B‘/AB=B’C‘/BC=C’A‘/CA=k（k为可调节的缩放系数）。改变k值（如0.5，1.5，2）和△ABC的形状。

2.3.【关键提问1】：△A‘B’C‘与△ABC的形状关系如何？

3.4.【关键提问2】：测量三组对应角，∠A’与∠A，∠B‘与∠B，∠C’与∠C，它们有何关系？

4.5.【小组活动】记录、分析，形成猜想。

6.猜想形成：

1.7.各组汇报：当三边对应成比例时，三个对应角似乎分别相等。

2.8.【教师引导归纳】提出第二个猜想：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

3.9.板书猜想2：三边成比例→两三角形相似。

4.10.【设计意图】将信息技术作为“探究实验室”，让学生亲身操作、观察、度量、分析，从大量动态案例中归纳共性，完成从具体实例到一般猜想的合情推理过程，深刻体会定理的直观背景。

环节三：逻辑证明，建构定理（预计时间：18分钟）

定理1的证明（教学难点突破）

1.分析思路：

1.2.回顾相似三角形的定义：需证明对应角相等（已有一对角，由内角和定理可得第三对角也相等），且对应边成比例。

2.3.核心挑战：如何证明对应边成比例？引导学生回忆“平行线分线段成比例”的推论（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）。能否构造平行线？

4.教师引导下的演绎推理：

1.5.已知：在△ABC和△A‘B’C‘中，∠A=∠A’，∠B=∠B‘。

2.6.求证：△ABC∽△A‘B’C‘。

3.7.证明思路建构（关键步骤）：

a.在△ABC的边AB上截取AD=A‘B’，过点D作DE//BC，交AC于点E。

b.则△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线构成的三角形与原三角形相似——此为预备定理，已学或可简要证明）。

c.现需证△ADE≌△A‘B’C‘。已有∠A=∠A’，AD=A‘B’。还需一角或一边相等。

d.∵DE//BC，∴∠ADE=∠B。又已知∠B=∠B‘，∴∠ADE=∠B’。

e.在△ADE与△A‘B’C‘中，∠A=∠A’，AD=A‘B’，∠ADE=∠B‘。∴△ADE≌△A’B‘C’(ASA)。

f.又∵△ADE∽△ABC，∴△A‘B’C‘∽△ABC。

4.8.【动态演示】利用几何画板课件，动态展示截取、平移、重合的过程，将抽象的证明思路可视化。

9.定理表述与规范：

1.10.师生共同严谨叙述判定定理1（AA相似定理或两角判定法）。

2.11.强调符号语言的规范书写：在△ABC和△A‘B’C‘中，∵∠A=∠A‘，∠B=∠B‘，∴△ABC∽△A’B‘C’。

3.12.【设计意图】将证明难点分解，通过“问题串”引导思维，结合动态演示，让学生理解辅助线的来源（为实现“把一个小三角形挪到大三角形里”的转化思想），体会数学证明的严密逻辑美。

定理2的证明思路引导（预留为思考）

1.简要分析：已知三边成比例，可考虑先在△ABC上构造一个与△A‘B’C‘全等的三角形。如何构造？提示：利用比例系数k，在△ABC上截取三边，使其长度分别等于A’B‘,B’C‘,C’A‘，再证所截得三角形与△ABC相似（通过平行线），且与△A’B‘C’全等（SSS）。

2.详细证明可作为课后探究任务或下节课起始的思维挑战。

3.【设计意图】保持思维连贯性，提示证明方向，为学有余力者提供挑战，也为第二课时埋下伏笔。

环节四：初步辨识，小试牛刀（预计时间：6分钟）

1.基础辨识（口答）：

1.2.出示几组三角形图形，标注部分角或边比例关系，让学生快速判断能否用今天所学定理判定相似，并说明依据。

2.3.例1：两个直角三角形，有一个锐角相等。

3.4.例2：两个等腰三角形，顶角相等。

4.5.例3：△ABC三边为2,3,4；△DEF三边为4,6,8。

6.简单应用（板演）：

1.7.【例1】如图，已知∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE。

2.8.引导学生分析：公共角∠A，由∠1=∠2推导出DE//BC，从而得到对应角相等，应用判定定理1。

1.【设计意图】通过即时应用，巩固对定理条件的理解，掌握基本图形（如“A字型”、“8字型”），规范书写格式。

第二课时：定理的深化、应用与融合（45分钟）

环节一：承上启下，证明定理2（预计时间：10分钟）

1.回顾与挑战：回顾上节课提出的猜想2及其证明思路。

2.协作完成证明：

1.3.小组合作，根据教师提供的思路提示（或导学案上的脚手架），尝试写出判定定理2的完整证明过程。

2.4.教师巡视指导，选择一组代表上台讲解或利用实物投影展示其证明。

3.5.教师利用几何画板课件3，动态演示“截取-构造-平行-全等”的整个过程，统一规范证明步骤与书写。

6.定理表述与对比：

1.7.规范叙述判定定理2（三边判定法）。

2.8.对比定理1和定理2，以及与全等判定（ASA/SAS/SSS）的异同，形成知识网络。

3.9.【设计意图】将证明主动权部分交给学生，培养其逻辑表达能力。通过对比，深化对“相似”与“全等”概念体系的理解。

环节二：综合应用，思维进阶（预计时间：20分钟）

本环节设计由易到难、层层递进的例题，覆盖定理的直接应用、混合应用及综合证明。

【例题2】（直接应用定理2）

已知：△ABC和△DEF中，AB=4cm,BC=6cm,AC=8cm；DE=6cm,EF=9cm,DF=12cm。求证：△ABC∽△DEF。

1.教学要点：强调书写格式，先计算比值并说明相等，再下结论。

【例题3】（定理选择与综合应用）

如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=1/4CD。连接AE、AF、EF。图中是否存在与△ABE相似的三角形？若存在，请证明；若不存在，说明理由。

1.教学要点：

1.2.引导审图：在复杂图形中剥离出可能相似的三角形（如△ABE与△ECF，△ABE与△AEF等）。

2.3.策略分析：直角三角形背景，优先考虑角相等（判定定理1）。计算边长比，验证对应边是否成比例（判定定理2或结合勾股定理）。

3.4.过程示范：假设△ABE∽△ECF。设正方形边长为4a，则BE=EC=2a，CF=a，AB=4a。计算AB/BE=4a/2a=2，BE/CF=2a/a=2，但AE/EF的比值需计算，且角∠B=∠C=90°。发现∠BAE不一定等于∠CEF，故不一定相似。转而考虑△ABE与△AEF或△ADF等，引导学生进行多角度探索。

4.5.思想渗透：体会在探索过程中，“猜想-验证-修正”的思维流程，以及数形结合（用代数计算辅助几何推理）的威力。

【例题4】（实际建模）

为了测量校园内一棵古树的高度，数学兴趣小组设计了如下方案：如图，在阳光下，一名同学站在距离古树底部（D点）12米的B点处，此时他的影长（BC）为2.4米。同时，另一名同学测量古树的影长（从D到地面影子的末端A）为9.6米。已知该同学身高（BE）为1.6米。求古树AD的高度。

1.教学要点：

1.2.模型抽象：引导学生将实际问题转化为几何图形，识别出两个直角三角形（△ABC与△ADC）在太阳光平行光线下的相似关系。

2.3.条件标注：明确已知线段长度与未知量，寻找对应边。

3.4.方程求解：建立比例式求解，强调单位统一和作答的完整性。

4.5.变式提问：如果太阳光不平行（如阴天），此方法还适用吗？为什么？加深对“平行光”这一隐含条件的理解。

环节三：跨学科视野，文化延展（预计时间：8分钟）

1.艺术中的比例：展示达·芬奇的《维特鲁威人》或帕特农神庙的图片，解释其中蕴含的黄金分割与相似比例关系，说明相似形是美学的重要数学基础。

2.工程与测量：简述相似三角形在测绘（如地形图绘制）、建筑工程（如蓝图与实物）、机械制图中的核心应用。

3.物理中的光学：简要解释平面镜成像、透镜成像原理中相似三角形的运用（可链接物理学科）。

4.信息技术中的图像缩放：解释数字图像放大缩小的像素插值算法，其底层思想与图形相似变换息息相关。

1.【设计意图】打破学科壁垒，展示数学作为基础科学的强大渗透力，提升学生的综合素养和文化认同感，使学习超越解题，走向更广阔的世界。

环节四：反思总结，分层作业（预计时间：7分钟）

1.结构化总结：

1.2.引导学生以思维导图形式，从“知识内容”（两个定理的条件、结论、符号语言）、“探究过程”（如何发现、如何证明）、“思想方法”（类比、转化、数形结合）、“应用联系”（与全等、与现实、与其他学科）四个维度进行课堂总结。

2.3.教师呈现总结框架，学生填充内容，形成个性化的知识网络图。

4.分层作业布置：

1.5.基础巩固层（必做）：教材课后练习对应题目，重点练习定理的直接应用与简单证明。

2.6.能力提升层（选做）：

a.一道需要添加辅助线构造相似形的几何证明题。

b.设计一个利用相似三角形原理测量校园内某物体高度（如旗杆、路灯）的实践方案，并写出简要步骤。

3.7.探究拓展层（挑战）：

a.研究“两边成比例且夹角相等”的两个三角形是否相似？你能证明它吗？（为下节课判定定理3做预习）

b.查阅资料，了解泰勒斯测量金字塔高度的更多细节，并尝试用几何图形和数学语言精确描述其方法。

第六部分：板书设计

（黑板分为左、中、右三区，布局如下）

左区：核心定理区

1.课题：27.2.1相似三角形的判定（一）

2.猜想1：两角相等→相似

1.3.定理1：（文字叙述）

2.4.符号语言：∵∠A=∠A‘,∠B=∠B‘∴△ABC∽△A‘B’C‘

3.5.关键图形：（简图：两个三角形，标出两对等角）

6.猜想2：三边成比例→相似

1.7.定理2：（文字叙述）

2.8.符号语言：∵AB/A‘B’=BC/B‘C’=CA/C‘A’∴△ABC∽△A‘B’C‘

3.9.关键图形：（简图：两个三角形，标出三边比例）

中区：探究与证明区

1.定理1证明思路：

1.2.截取：AD=A‘B’

2.3.作平行：DE//BC

3.4.证相似：△ADE∽△AB