北京四中2025-2025学年高一数学上学期期末试题

时光荏苒，高一上学期的数学学习即将告一段落。为帮助同学们更好地回顾与梳理本学期所学知识，检验学习成果，我们精心编写了这份期末模拟试题。本试题立足基础，注重能力，力求全面考察同学们对本学期核心概念、基本技能及数学思想方法的掌握程度。希望同学们能认真对待，沉着应战，充分发挥自己的真实水平。考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A={x|x²-3x+2<0}，集合B={x|1<x<3}，则A∩B等于（）A.(1,2)B.(2,3)C.(1,3)D.∅2.下列函数中，与函数y=x表示同一个函数的是（）A.y=(√x)²B.y=√(x²)C.y=x³/x²D.y=logₐaˣ(a>0且a≠1)3.函数f(x)=√(x-1)+1/(x-2)的定义域是（）A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.[1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,+∞)4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，则下列关系成立的是（）A.f(-3)<f(-2)<f(1)B.f(1)<f(-2)<f(-3)C.f(-2)<f(1)<f(-3)D.f(-3)<f(1)<f(-2)5.函数y=2ˣ⁻¹+1的图像可以由函数y=2ˣ的图像经过怎样的变换得到？（）A.向左平移1个单位，再向上平移1个单位B.向右平移1个单位，再向上平移1个单位C.向左平移1个单位，再向下平移1个单位D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位6.若log₂a<0，(1/2)ᵇ>1，则（）A.a>1，b>0B.a>1，b<0C.0<a<1，b>0D.0<a<1，b<07.函数f(x)=x³+sinx的图像关于（）A.x轴对称B.y轴对称C.原点对称D.直线y=x对称8.已知α是第二象限角，且sinα=3/5，则cosα的值为（）A.4/5B.-4/5C.3/4D.-3/49.函数f(x)=2sin(2x+π/3)的最小正周期和最大值分别是（）A.π，2B.2π，2C.π，1D.2π，110.已知函数f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，且满足f(a)·f(b)<0，则下列说法正确的是（）A.函数f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点B.函数f(x)在区间(a,b)内至多有一个零点C.函数f(x)在区间(a,b)内恰有一个零点D.函数f(x)在区间(a,b)内没有零点二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.计算：log₂8+2⁰-(1/3)⁻¹=____________.12.函数f(x)={x²-1,x≥0;2x+1,x<0}，则f(f(-1))=____________.13.已知角θ的终边经过点P(1,-√3)，则tanθ=____________，sinθ=____________.(本小题第一空2分，第二空3分)14.函数f(x)=x²-2x+3在区间[0,3]上的最小值是____________，最大值是____________.(本小题第一空2分，第二空3分)15.若函数f(x)=logₐ(x+1)(a>0且a≠1)的图像过点(2,1)，则a=____________.16.已知函数f(x)=x+4/x(x>0)，则当x=____________时，函数f(x)取得最小值，最小值为____________.(本小题第一空2分，第二空3分)三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分10分)已知集合A={x|x²-4x+3≤0}，B={x|2<x≤4}。（Ⅰ）求A∪B；（Ⅱ）求(∁RA)∩B。18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2x+1/x-1，x∈[2,4]。（Ⅰ）判断函数f(x)在区间[2,4]上的单调性，并证明你的结论；（Ⅱ）求函数f(x)在区间[2,4]上的最大值与最小值。19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sinxcosx-√3cos²x+√3/2。（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求f(x)在区间[0,π/2]上的最大值和最小值。20.(本小题满分12分)某商场销售一种成本为每件20元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足关系y=-10x+500。设每件商品的销售利润为w元。（Ⅰ）求w与x之间的函数关系式；（Ⅱ）该商品销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？21.(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x²-2x。（Ⅰ）求f(0)的值；（Ⅱ）求当x<0时，f(x)的解析式；（Ⅲ）若f(x)在区间[-a,-1]上单调递增，求实数a的取值范围。22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=logₐ(1-x)+logₐ(x+3)(a>0且a≠1)。（Ⅰ）求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）若函数f(x)的最小值为-2，求a的值。---参考答案与评分标准（简要版）一、选择题1.A2.D3.C4.B5.B6.D7.C8.B9.A10.A二、填空题11.012.013.-√3；-√3/214.2；615.316.2；4三、解答题17.（Ⅰ）A=[1,3]，A∪B=[1,4]；（Ⅱ）∁RA=(-∞,1)∪(3,+∞)，(∁RA)∩B=(3,4]。（评分标准：（Ⅰ）5分，其中解不等式得A给2分，求并集给3分；（Ⅱ）5分，求补集给2分，求交集给3分。）18.（Ⅰ）函数f(x)在区间[2,4]上单调递增。证明：任取x₁,x₂∈[2,4]，且x₁<x₂，作差f(x₂)-f(x₁)=(2x₂+1/x₂-1)-(2x₁+1/x₁-1)=2(x₂-x₁)+(x₁-x₂)/(x₁x₂)=(x₂-x₁)(2-1/(x₁x₂))。因为x₂-x₁>0，x₁x₂>4，所以1/(x₁x₂)<1/4，2-1/(x₁x₂)>0，故f(x₂)-f(x₁)>0，即f(x)单调递增。（Ⅱ）由单调性知，最小值f(2)=4+1/2-1=3.5，最大值f(4)=8+1/4-1=7.25。（评分标准：（Ⅰ）判断单调性2分，证明过程6分，其中作差变形正确给3分，判断差的符号给3分；（Ⅱ）求最值各2分。）19.（Ⅰ）f(x)=(1/2)sin2x-√3*(cos2x+1)/2+√3/2=(1/2)sin2x-(√3/2)cos2x=sin(2x-π/3)。所以最小正周期T=2π/2=π。（Ⅱ）因为x∈[0,π/2]，所以2x-π/3∈[-π/3,2π/3]。当2x-π/3=π/2，即x=5π/12时，f(x)取得最大值1；当2x-π/3=-π/3，即x=0时，f(x)取得最小值-√3/2。（评分标准：（Ⅰ）化简函数表达式6分，得到sin(2x-π/3)给4分，求周期2分；（Ⅱ）求最值各3分，说明取最值的条件各1分。）20.（Ⅰ）w=(x-20)y=(x-20)(-10x+500)=-10x²+700x-____。（Ⅱ）w=-10(x²-70x)-____=-10(x-35)²+2250。因为a=-10<0，所以当x=35时，w有最大值2250。即销售单价定为35元时，每天的销售利润最大，最大利润是2250元。（评分标准：（Ⅰ）4分；（Ⅱ）配方或求导得顶点8分，其中写出最大值点3分，最大值3分，答语2分。）21.（Ⅰ）因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0。（Ⅱ）当x<0时，-x>0，f(-x)=(-x)²-2(-x)=x²+2x。又因为f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-x²-2x。（Ⅲ）当x>0时，f(x)=x²-2x=(x-1)²-1，其在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增。因为f(x)是奇函数，图像关于原点对称，所以当x<0时，f(x)=-x²-2x=-(x+1)²+1，其在(-∞,-1)上单调递增，在(-1,0)上单调递减。要使f(x)在[-a,-1]上单调递增，则[-a,-1]⊆(-∞,-1]，所以-a≤-1，即a≥1。（评分标准：（Ⅰ）2分；（Ⅱ）4分，求f(-x)给2分，利用奇偶性得f(x)给2分；（Ⅲ）6分，分析x>0时的单调性2分，分析x<0时的单调性2分，得出a的范围2分。）22.（Ⅰ）要使函数有意义，则需{1-x>0,x+3>0}，解得-3<x<1。所以定义域为(-3,1)。（Ⅱ）f(x)=logₐ[(1-x)(x+3)]=logₐ(-x²-2x+3)=logₐ[-(x+1)²+4]。令t=-(x+1)²+4，因为x∈(-3,1)，所以t∈(0,4]。当a>1时，logₐt在(0,4]上单调递增，无最小值（趋近于-∞），不符合题意。当0<a<1时，logₐt在(0,4]上单调递减，所以当t最大时，f(x)最小。t的最大