北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明复习练习题

同学们，我们已经完成了《三角形的证明》这一章的学习。这一章是平面几何的入门与基石，其中蕴含的逻辑推理与证明方法，对我们后续的数学学习乃至思维发展都至关重要。通过全等三角形的桥梁，我们探索了等腰三角形、直角三角形的特殊性质，也学习了线段垂直平分线和角平分线的精妙特性。现在，就让我们通过一系列练习题来回顾和巩固这些知识，检验我们的掌握程度，查漏补缺，为后续学习打下坚实的基础。一、核心知识点回顾在开始练习之前，让我们简要回顾本章的核心内容，确保我们的“武器库”是充足的：1.全等三角形：*性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。*判定定理：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、HL（斜边、直角边，适用于直角三角形）。2.等腰三角形：*性质：两腰相等；两底角相等（等边对等角）；顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（“三线合一”）。*判定：有两边相等的三角形是等腰三角形；有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。*等边三角形：特殊的等腰三角形，三边相等，三角均为60°。判定方法包括：三边相等、三角相等、有一个角是60°的等腰三角形。3.直角三角形：*性质：两锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半；30°角所对的直角边等于斜边的一半。*勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。其逆定理也成立，可用于判断一个三角形是否为直角三角形。*HL定理：判定两个直角三角形全等的特殊方法。4.线段的垂直平分线：*性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。*判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。三角形三边的垂直平分线交于一点，即外心，外心到三个顶点的距离相等。5.角平分线：*性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。*判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。三角形三个角的平分线交于一点，即内心，内心到三边的距离相等。二、复习练习题（一）选择题(每小题只有一个正确选项)1.下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（）A.三条边对应相等B.两边和一角对应相等C.两角和其中一角的对边对应相等D.两角和它们的夹边对应相等2.等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角的度数是（）A.50°B.80°C.50°或80°D.65°3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，若∠BAD=30°，则∠BAC的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.90°(示意图：一个等腰三角形ABC，AB=AC，底边BC，AD是底边中线，连接AD)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，则AB的长为（）A.4B.6C.8D.105.到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的（）A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条角平分线的交点D.三条边的垂直平分线的交点（二）填空题6.已知△ABC≌△DEF，若AB=DE，BC=EF，则AC的对应边是______，∠B的对应角是______。7.命题“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是________________________________，这个逆命题是______（填“真”或“假”）命题。8.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=6cm，则点D到AB的距离为______cm。(示意图：直角三角形ABC，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D)9.若一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长为______。10.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AC于点D，若AC=5cm，BC=4cm，则△DBC的周长为______cm。(示意图：三角形ABC，AB边的垂直平分线交AC于点D，连接BD)（三）解答题(写出必要的证明过程或演算步骤)11.已知：如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。(示意图：B、E、C、F四点在一条直线上，顺序排列，连接AB、AC、DE、DF，形成△ABC和△DEF)12.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。求△ABC各内角的度数。(示意图：等腰三角形ABC，AB=AC，点D在AC边上，连接BD，使得BD=BC且BD=AD)13.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF。求证：AE²+BF²=EF²。(示意图：直角三角形ABC，∠C=90°，D是斜边AB中点，连接DE、DF，DE垂直于DF，E在AC上，F在BC上)三、参考答案与提示（一）选择题1.B(提示：两边和一角对应相等，若角不是两边的夹角，则不一定全等，如SSA情况)2.C(提示：50°可能是顶角也可能是底角)3.C(提示：等腰三角形“三线合一”，AD也是顶角平分线)4.C(提示：30°角所对直角边是斜边的一半)5.D(提示：外心的性质)（二）填空题6.DF，∠E7.有两个角相等的三角形是等腰三角形，真8.4(提示：角平分线的性质，点D到AB和AC的距离相等，即为DC的长度)9.6.5(提示：先由勾股定理求出斜边为13，斜边上的中线等于斜边一半)10.9(提示：DB=DA，所以△DBC周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC)（三）解答题11.证明：∵BE=CF(已知)∴BE+EC=CF+EC(等式的性质)即BC=EF在△ABC和△DEF中AB=DE(已知)AC=DF(已知)BC=EF(已证)∴△ABC≌△DEF(SSS)12.解：设∠A=x。∵AD=BD(已知)∴∠ABD=∠A=x(等边对等角)∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)∵BD=BC(已知)∴∠BDC=∠BCD=2x(等边对等角)∵AB=AC(已知)∴∠ABC=∠BCD=2x(等边对等角)在△ABC中，∠A+∠ABC+∠BCD=180°(三角形内角和定理)即x+2x+2x=180°解得x=36°∴∠A=36°，∠ABC=∠ACB=72°故△ABC各内角的度数分别为36°，72°，72°。13.证明：（提示：延长FD至点G，使DG=DF，连接AG、EG。先证△ADG≌△BDF(SAS)，可得AG=BF，∠GAD=∠B。因为∠C=90°，所以∠BAC+∠B=90°，从而∠GAD+∠BAC=90°，即∠EAG=90°。再证△EDG≌△EDF(SAS)，可得