第01讲 有理数的运算（含详解答案）-全国重点高中自主招生大揭秘

有理数的运算一、单选题1．（2022·福建·九年级统考竞赛）将形如3m和（m，n为正整数）的正整数从小到大排列，并依次记为若第k个数，则k的值为（

）A．682 B．683 C．684 D．6852．（2021·全国·九年级竞赛）若关于x的方程|x+1|+|x-1|=a有实根．则实数a的取值范围是(

)．A．a≥0 B．a>0 C．a≥1 D．a≥23．（2019秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）在数轴上点、所表示的数分别为和5，点在数轴上，且点到点、的距离之和为13，则点所表示的数为（

）A． B．8 C．或8 D．3或4．（2019秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）下列说法：①若、互为相反数，则；②若，则、互为相反数；③一个数的平方是它本身，则这个数为0或1；④若，则，其中正确的是（

）A．②③ B．①②C．①③④ D．②③④5．（2017秋·浙江杭州·七年级竞赛）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．（2022·广东·九年级统考竞赛）已知x为实数，且的值是一个确定的常数，则这个常数是（

）．A．5 B．10 C．15 D．757．（2020秋·江西·七年级江西省于都中学校考竞赛）下列各有理数中，属于正数的有（

）①0.01；②；③15的绝对值；④0；⑤；⑥-2.333的相反数A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（2021·全国·九年级竞赛）已知非零实数，满足，则等于（）．A．－1 B．0 C．1 D．29．（2022·广东·九年级统考竞赛）某大学毕业生为自主创业于2021年8月初向银行贷款360000元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2021年9月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为，现因经营状况良好，准备向银行申请提前还款，计划于2026年8月初将剩余贷款全部一次还清，则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少（

）（注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成．一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数；另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．1年按12个月计算）A．18300元 B．22450元 C．27450元 D．28300元10．（2019秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）有一口水井，水面比井口低，一只蜗牛从水面沿井壁往井口爬，它每天白天向上爬行，但每天晚上又下滑，蜗牛爬出井口需要的天数是（

）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天11．（2021·全国·九年级竞赛）设，则与A最接近的正整数为（

）A．18 B．20 C．24 D．2512．（2019秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为A．8 B．9 C．10 D．1113．（2021·全国·九年级竞赛）某人将2008看成了一个填数游戏式：2□□8．于是，他在每个框中各填写了一个两位数与，结果发现，所得到的六位数恰是一个完全立方数．则+=（

）A．40 B．50 C．60 D．7014．（2017秋·江苏镇江·九年级竞赛）设a=，b=，c=，则a，b，c之间的大小关系是（

）A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b15．（2021·全国·九年级竞赛）若x为实数，记{x}=x-[x]（表示不超过x的最大整数），则方程:2006x+{x}=的实根的个数是()．A．O B．1 C．2 D．大于2的整数二、解答题16．（2020秋·江西·七年级江西省于都中学校考竞赛）已知数轴上点A与点B相距12个单位长度，点A在原点的右侧，到原点的距离为22个单位长度，点B在点A的左侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）点A表示的数为______，点C表示的数为______．（2）用含t的代数式表示P与点A的距离：______．（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，回到点A处停止运动．①在点Q运动过程中，请求出点Q运动几秒后与点P相遇?②在点Q从点A向点C运动的过程中，P、Q两点之间的距离能否为3个单位?如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．17．（2017春·安徽芜湖·七年级竞赛）如果有理数a，b满足，试求+…+的值．18．（2019秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）已知，，，化简：.19．（2022春·山东济南·六年级校考竞赛）如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．（1）可求得x=___，第2009个格子中的数为___；（2）判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2018？若能，求出m的值；若不能，请说明理由；（3）如果a，b为前三个格子中的任意两个数，那么所有的|a−b|的和可以通过计算|9−&|+|9−#|+|&−#|+|&−9|+|#−9|+|#−&|得到，若a，b为前19个格子中的任意两个数，则所有的|a−b|的和为___．20．（2022·福建·九年级统考竞赛）将1，2，3，…，16这16个数分成8组若．求的最小值．必要时可以利用排序不等式（又称排序原理）：设，为两组实数，是的任一排列，则．21．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）对于任意一个四位数，我们可以记为，即．若规定：对四位正整数进行F运算，得到整数．例如，；．（1）计算：；（2）当时，证明：的结果一定是4的倍数；（3）求出满足的所有四位数．三、填空题22．（2017春·安徽芜湖·七年级竞赛）如果ab＜0，那么=__．23．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）在有理数的原有运算法则中我们定义一个新运算“★”如下：时，；时，．则当时，代数式的值为__________．24．（2020秋·江西·七年级江西省于都中学校考竞赛）公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是_______．25．（2021·全国·九年级竞赛）已知，，是三个互不相同的非零实数，设，，，．则与的大小关系是_______；与的大小关系是______．26．（2020秋·江西·七年级江西省于都中学校考竞赛）如图，有一个半径为个单位长度的圆，将圆上的点放在原点，并把原片沿数轴逆时针滚动一周，点到达点的位置，则点表示的数是______；若点表示的数是-3.14，则点在点的______（填“左边”、“右边”或“重合”）．参考答案：1．C【分析】先确定和不等，考虑在从小到大排列的形如(为正整数)的正整数3，6，9，27，…中，从小到大添加形如(为正整数)的数．再根据即可．【详解】易知形如和(，为正整数)的正整数不可能相等．考虑在从小到大排列的形如(为正整数)的正整数3，6，9，27，…中，从小到大添加形如(为正整数)的数．由知，将形如(为正整数)的正整数从小到大排列，2022是第674个数．由于，，所以有10个形如(为正整数)的数小于2022，这10个数排在2022前面．所以．【点睛】本题考查数字排列规律问题，掌握因数分解方法，有理数大小比较是解题关键．2．D【分析】根据绝对值性质，将|x+1|+|x-1|=a去掉绝对值，需要分为x＜−1、−1≤x≤1、x＞1三种情况讨论，然后根据求得的值解不等式，从而求得a的取值范围．【详解】解：当x＜−1时，原式去绝对值得：−x−1−x＋1＝a，解得x＝−a．∴−a＜−1．∴a＞2．当−1≤x≤1时，原式去绝对值得：x＋1−x＋1＝a，解得：a＝2．当x＞1时，原式去绝对值得：x＋1＋x−1＝a，解得x＝a．∴a＞1．∴a＞2．综上所述：a≥2．故选：D．【点睛】本题将一元一次方程、绝对值、不等式进行结合，考查知识点较多，同时也考查了分类讨论思想的应用．3．C【分析】根据数轴可知AB=7，点到点、的距离之和为13，所以点C在点A的左侧或点B的右侧，分这两种情况讨论求解即可.【详解】解：AB=5-（-2）=7，点到点、的距离之和为13，点C在点A的左侧或点B的右侧，设C点表示的数为x，①当C在点A的左侧时，依题意得(-2-x)+(5-x)=13解得，x=-5；②当点C在点B的右侧时，依题意得x-(-2)+x-5=13解得，x=8；∴点C表示的数为-5或8；故选：C.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及数轴上两点之间的距离，能通过题目找出相等关系列出方程是关键，这里还需要注意分类讨论的问题．4．A【分析】①取==0，可作出判断；②两边乘以5b得出a与b的关系，可作出判断；③根据平方的性质，可作出判断；④取a=时，计算出则和的值，可作出判断.【详解】解：①当==0时，有，故①错误；②若，则=-所以、互为相反数，故②正确；③一个数的平方是它本身，则这个数为0或1，故③正确；④当a=时，则，，所以，故④错误.故选：A.【点睛】本题考查了有理数的相反数、倒数、绝对值、乘方等知识点，掌握相关知识点是解题的关键．5．D【详解】由数轴得，a+1>0，a<0，a-b<0，b-1<0，=故选D.【点睛】本题考查了化简绝对值问题，根据，此时，a可以看作一个式子，a是正数或0，则把绝对值变成括号，如果a是负数，则绝对值变括号，前面加负号．6．A【分析】将按照每一段的取值范围进行分类讨论，即可得到答案．【详解】解：（1）当时，原式，不是常数；（2）当时，原式，不是常数；（3）当时，原式，不是常数；（4）当时，原式，不是常数；（5）当时，原式，不是常数；（6）当时，原式，不是常数；（7）当时，原式，不是常数；（8）当时，原式，不是常数；（9）当时，原式，不是常数；（10）当时，原式，不是常数；（11）当时，原式，是常数；（12）当时，原式，不是常数；（13）当时，原式，不是常数；（14）当时，原式，不是常数；（15）当时，原式，不是常数；（16）当时，原式，不是常数．故选：A．【点睛】本题考查了绝对值的性质，解决本题的关键是弄清绝对值的性质以及具有分类讨论的意识．7．C【分析】先把需要化简的数进行化简，再根据正数定义进行判断，即可得到结果．【详解】解：∵，-2.333的相反数是2.333，∴正数有：①③⑥，故选：C．【点睛】本题考查正数、绝对值、相反数，正确理解相关定义是解题的关键．8．C【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．【详解】解：∵（a-3）b2≥0，∴a-3≥0，∴a≥3，∴2a-4＞0，∴原式变形为，∴b+2=0，（a-3）b2=0，∴b=-2，a=3，∴a+b=3+（-2）=1．故选C．【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．9．C【分析】截止2026年8月，两种还款方式最终所还本金相同，且两种还款方式所还利息也相同．所以按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少的部分为：按原计划还款时，自2026年9月起至原计划结束时所还的利息，即共计60个月的利息．根据“等额本金还款法”，算出2026年9月起每个月的利息，然后进行求和就可得后60个月的总利息，从而得出答案．【详解】∵每月应还本金为，2026年8月还完后本金还剩，2026年9月应还利息为：；2026年10月应还利息为：；2026年11月应还利息为：；……，最后一次应还利息为：；∴后60个月的利息合计为：．即该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少27450元．故选：C．【点睛】本题考查了题意理解能力、计算能力和实际问题解决能力，能理解题意并准确地进行有理数运算是做出本题的关键．10．B【分析】如果把向上爬记为正数，向下滑记为负数，则蜗牛一天爬0.32+（-0.2）=0.12米，那么蜗牛爬了6天，就爬0.72米，剩下0.28米，第7天就可以爬出来了．【详解】解：∵32cm=0.32m，20cm=0.2m，∴蜗牛每天向上实际爬0.32-0.2=0.12米，∵（米），∴蜗牛要爬7天．故选：B．【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的意义，需要注意第7天白天向上爬32cm后已经爬出井口，夜间就不存在下滑20cm的问题了，这一点有的学生考虑不周可能会出错．11．D【分析】按照有理数混合运算的顺序，以此类推可以计算结果．【详解】A======因为所以与A最接近的正整数为25．故选D．【点睛】本题考查的是有理数的运算能力．注意：在有理数混合计算中，公式的运用．12．C【分析】把写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得.【详解】解：∵表示的原数为8016000000000，∴原数中“0”的个数为10，故选：C．【点睛】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，当n＞0时，n是几，小数点就向后移几位．13．D【分析】根据题意可设，则据末位数字特征得y＝2，进而根据603＝216000，703＝343000确定，即可求解．【详解】设，则据末位数字特征得y＝2，∵603＝216000，703＝343000，∴，∴，∵623＝238328，∴，∴.故选D.【点睛】本题考查的知识点是完全平方数，解题关键是根据末位数字特征得y＝2.14．A【分析】利用平方法把三个数值平方，然后借助乘法公式计算后再比较大小即可．【详解】∵a2=2000+2，b2=2000+2，c2=4000=2000+2×1000，1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10002=1000000．∴c＞b＞a．故选A．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，及实数大小比较的知识，这里注意比较数的大小可以用平方法，两个正数，平方大的就大．此题也要求学生熟练运用完全平方公式和平方差公式．15．C【分析】结合已知条件将原式变形转化求出取值范围．【详解】2006x+x-[x]=[x]=2007x-由x-1<[x]<=x,得：解得：a=2007×2006因此有[x]=0或-1[x]=0,2007x=,得：[x]=-1,,得：因此共有上面两个解．点评：本题难度中等，主要考查学生对实数运算知识点的掌握，结合已知条件将原式变形转化求出取值范围为解题关键．16．（1）22，-10；（2）t；（3）①点Q运动6或13秒后与点P相遇；②点P表示的数5.5或2.5．【分析】试题分析：（1）根据：数轴上点A与点B的距离为12个单位长度，点A在原点的右侧，到原点的距离为22个单位长度，点B在点A的左侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，可以确定A、C点对应的数；（2）因为动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，且移动时间为t秒，所以PA=t；（3）①设运动时间是t秒，根据点Q追上点P时，点Q运动的路程=点P运动的路程，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到结果．②分情况讨论：点Q从A点向点C运动时，又分点Q在点P的后面与点Q在点P的前面；点Q从C点返回到点A时，又分点Q在点P的后面与点Q在点P的前面．【详解】解：（1）由分析可知，点A表示的数为22，点C表示的数为-10；（2）；（3）①Ⅰ）在点Q向点C运动过程中，设点Q运动x秒与点P相遇，根据题意得，解得．Ⅱ）在点Q向点A运动过程中，设点Q运动x秒与点P相遇，根据题意得，解得．答：点Q运动6或13秒后与点P相遇；②分两种情况：如果点Q在点P的后面，那么，解得，此时点P表示的数是5.5；如果点Q在点P的前面，那么，解得，此时点P表示的数是2.5．答：点P表示的数5.5或2.5．【点睛】此题考查一元一次方程的应用，数轴，列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．17．【分析】先根据绝对值和平方的非负性，求出a、b的值，再代入原式利用裂项求和的方法求值．【详解】解：∵，∴，，解出，，代入式子得：．【点睛】本题考查绝对值和平方的非负性，以及裂项求和，解题的关键是掌握绝对值和平方的非负性，熟悉裂项求和的方法．18．.【分析】根据已知条件可得出b＜0，a+b＞0，c-a＜0，b-c＞0，再去绝对值，根据整式加减法则计算即可．【详解】解：∵c＜0＜a，ab＜0，，∴b＜0，∴a+b＞0，c-a＜0，b-c＞0，∴===．【点睛】本题考查了整式的加减，掌握绝对值的性质是解题的关键．19．（1）9，-6；（2）能，m=1211；（3）2424【分析】（1）根据任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，得到x及数字的排列规律，即可计算第2009个格子中的数；（2）先计算出这三个数的和，再按照规律计算；（3）由于是三个数重复出现，重复计算前三个数的和得到规律后即可得到答案.【详解】（1）∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴x=9，&=-6，∴#=2，∴这列数是按9，-6,2循环排列的，∵20093=669，∴第2009个格子中的数是-6,，故答案为：9，-6；（2）能，∵9-6+2=5，20185=403，且9-6=3，∴前m个格子中所填整数之和可能为2018，m的值为：；（3），由于是三个数重复出现，则前19个格子中的这三个数中，9出现7次，-6出现6次，2出现6次，代入式子计算可得，故答案为：2424.【点睛】此题考查数字类规律的探究，根据题意找到数字的排列规律是解题的关键.20．482【分析】先根据题意设出一组实数，按照题干信息得出，根据排序不等式，当，，…，从小到大排列时，的值最大，的值最小，然后分类进行讨论，得出结果即可．【详解】由对称性，不妨设，，2，…，8，且，则，∴，∵，，…，，∴，若，则，不符合要求，∴，于是，，，，，，，，，，…，是8，10，11，12，13，14，15，16的一个排列，且，∵．根据排序不等式，当，，…，从小到大排列时，的值最大，的值最小．∵当，，…，从小到大排列时，，∴的最小值为482．或：∵，当，，…，从小到大排列时，，．∴的最小值为482．【点睛】本题主要考查力数列最小值计算，根据题干信息得出规律是解决本题得关键．21．（1）33；（2）详见解析；（3）满足条件的四位数有3209，32