第03讲 因式分解及分式（含详解答案）-全国重点高中自主招生大揭秘

因式分解及分式一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）若，则（

）.A．是完全平方数，还是奇数 B．是完全平方数，还是偶数C．不是完全平方数，但是奇数 D．不是完全平方数，但是偶数2．（2021·全国·九年级竞赛）已知可被40至50之间的两个整数整除，则这两个整数是（）A．41，48 B．45，47 C．43，48 D．41，473．（2022·福建·九年级统考竞赛）已知实数x，y满足且，则的值为（

）A． B． C． D．24．（2021·全国·九年级竞赛）已知，，满足，则值为（

）.A．1 B． C． D．5．（2021·全国·九年级竞赛）设a＞b＞0，a2+b2=4ab，则的值为(

)A．3 B． C．2 D．6．（2021·全国·九年级竞赛）使代数式y=的值为整数的全体自然数的和是()．A．5 B．6 C．12 D．227．（2022·浙江·九年级自主招生）若a，b，c均为非零实数，且，则的最小值为（

）A．6 B．8 C．9 D．138．（2023春·重庆江北·八年级重庆十八中校考期中）已知正整数a，b，c，d满足，且，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（

）①，，，是该四元方程的一组解；②连续的四个正整数一定是该四元方程的解；③若，则该四元方程有21组解；④若，则该四元方程有504组解．A．1 B．2 C．3 D．49．（2023·重庆·模拟预测）按顺序排列的若干个数：，（是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于与它前面的那个数的差的倒数，即：，，……，下列说法正确的个数有（

）①若，则②若，则③若，则④当时，代数式的值恒为负A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题10．（2021·全国·九年级竞赛）已知多项式可分解为两个一次因式的积，则______________．11．（2021·全国·九年级竞赛）满足的整数对，共有______对.12．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若x*y＝2，则的值为______．13．（2022·福建·九年级统考竞赛）若正数a，b，c满足abc1，，则______．14．（2022春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）已知，则_______．15．（2021·全国·九年级竞赛）已知满足，，，则xyz=__________.16．（2018春·四川自贡·八年级竞赛）为常数，且对任何实数都有成立，则=_________.17．（2018春·四川自贡·八年级竞赛）已知-=1，则的值等于__________18．（2022秋·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零实数，且，则的值为______．三、解答题19．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：20．（2021·全国·九年级竞赛）为何值时，多项式能分解成两个一次因式的乘积？21．（2018春·四川自贡·八年级竞赛）已知实数满足且，求的值.22．（2017春·江苏镇江·九年级竞赛）先化简：，然后从中选择一个合适的数代入求值．23．（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）若一个四位数的百位数字与千位数字的差恰好是个位数字与十位数字的差的倍，则将这个四位数称作“星耀重外数”．例如：，∵，∴是“星耀重外数”；又如，∵，∴不是“星耀重外数”．(1)判断，是否是“星耀重外数”，并说明理由；(2)一个“星耀重外数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，且满足，记，当是整数时，求出所有满足条件的．24．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）证明：参考答案：1．A【分析】根据已知得出2007=2006+1，将原式整理为关于2006的平方形式得出答案.【详解】设x=2006，则m=x2+x2(x+1)2+(x+1)2=(x-1-x)2+2x(x+1)+[x(x+1)]2=[x(x+1)+1]2=(x2+x+1)2,则m=（20162+2016+1）2，所有m为奇数.【点睛】掌握因式分解法：完全平方法（a±b）2=a2±2ab+b2.2．C【详解】试题分析：因为=（712+1）（76+1）（7+1）（72-7+1）（7-1）（72+7+1）=（712+1）（76+1）×8×43×6×57=（712+1）（76+1）×48×43×57，所以可被40至50之间的两个整数整除的数是48，43．故选C．考点：因式分解3．A【分析】由可得，进而可得，解得或，然后再对进行变形即可解答．【详解】解：∵，得，即．∴或．即或．∴，所以，．故选：A．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、立方根、解一元二次方程等知识点，解题的关键是灵活应用相关定义和运算法则以及整体法来求解．4．B【分析】设，则x=2k，y=6k，z=3k．代入求值即可【详解】设，则，，∴，，∴，则.【点睛】此题考查分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键5．D【分析】由a2+b2=4ab可得(a+b)2=6ab，∴(a-b)2=2ab，然后根据a＞b＞0得代入即可．【详解】解：∵a2+b2=4ab，∴(a+b)2=6ab，∴(a-b)2=2ab，∵a＞b＞0，∴∴故选D．【点睛】本题考查了分式的运算，正确运用完全平方公式是解题的关键．6．D【详解】试题分析：解，原式=，所以：使得代数式的值为整数的全体自然数x分别为0,1,2,3,5,11．所以全体自然数x的和为0+1+2+3+5+11=22．考点：分式点评：本题难度较低，主要考查了分式的化简与变形的知识，解决本题的关键是对原分式进行正确的分解与变形．7．C【分析】根据，得到，，将转化为用表示的式子，构造一个以为两个根的一元二次方程，再转化为含字母的一元二次方程，根据方程有两个根，得到，求出的取值范围，即可得解．【详解】解：∵a，b，c均为非零实数，且，∴，，∴，∵b，c是方程的两根，方程有两个实数根，则，即∵，∴，即，∵，∴，即，∴，即的最小值为9；故选：C．【点睛】本题考查因式分解和一元二次方程的判别式．解题的关键是将待求代数式，用一个字母进行表示，构造出一元二次方程．8．D【分析】将，，，代入到四元方程中看等式两边是否相等即可判断①；设，然后代入四元方程即可判断②；先证明，同理得到，即可推出得到，据此即可判断③；根据③所求可以推出，由此即可判断④．【详解】解：当，，，时，方程左边，方程右边，∴方程左右两边相等，∴，，，是四元方程的一组解，故①正确；设，∴，，∴当，四元方程左右两边相等，∴连续的四个正整数一定是该四元方程的解，故②正确；∵，，且c、d均为正整数，∴，∴，同理，∴，又∵，∴，∴，∴时，或或或或或，同理时，或或或或，时，或或或，，时，，∴当，该四元方程一共有组解，故③正确；由③得，∵，∴，∴，∵a，c都是正整数，且，∴当时，，当时，，，当时，，∴满足题意的a、b、c、d的值有504组，∴若，则该四元方程有504组解，故④正确；故选D．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，二元一次方程的解，解题的关键在于能够正确理解题意，以及方程的解得含义．9．C【分析】①将代入式子依次计算即可；②从开始依次计算出，即可找到周期性规律；然后利用规律计算即可；③利用规律找到之间的规律，将分别用表示，解方程即可；④利用规律将化简得二次函数，利用二次函数求最值即可．【详解】解：①将代入得：，然后依次求得：故①正确②由①可归纳得出规律：周期性为3；将可以求得：，则：每个周期的和为，中共个数据，周期个数为：个则：故②错误③由规律得：，，当代入可得：，将三个数值代入中得故③正确④将分别用表示得：，，则，，化简得：上式开口向下，最大值为，的对称轴为，，所以或时，有最大值0（取不到）的值恒为负故④正确故选C【点睛】本题考查了归纳概括能力，相关知识点有：分式的化简、二次根式的化简、二次函数求最值、有理数的运算等，归纳得出周期性规律是解题关键．10．-18【分析】设原式可分解为(x+ky+c)(x+ly+d)，展开后得出x2+(k+l)xy+kly2+(c+d)x+(cl+dk)y+cd,推出cd=-24,c+d=-5,cl+dk=43,k+l=7,a=kl求出即可.【详解】解：∵多项式的第一项是x2，因此原式可分解为：(x+ky+c)(x+ly+d)∵(x+ky+c)(x+ly+d)=x2+(k+l)xy+kly2+(c+d)x+(cl+dk)y+cd，∴cd=-24,c+d=-5,∴c=3,d=-8,∵cl+dk=43,∴3l-8k=43,∵k+l=7,∴k=-2,l=9,∴a=kl=-18故答案为-18.【点睛】此题考查因式分解的概念，根据题意得出cd=-24,c+d=-5,cl+dk=43,k+l=7,a=kl是解决问题的关键．11．3【分析】把含字母的式子整理到等式的左边，常数项整理到等式的右边，把等式的左边进行因式分解，判断相应的整数即可.【详解】∵n2-m2=19982-19972=3995=5×17×47∴(n-m)(n+m)=5×17×47对于3995的任意整数分解均可得到(m，n)，故满足条件的整数对(m，n)共有3对.【点睛】熟练掌握因式分解的运用，本题考查平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）.12．1011【分析】根据新运算法则可得，即，代入原式化简即可求解．【详解】解：由题意得：x*y＝2，即，则：，则，故答案为：1011．【点睛】本题考查了分式的化简求值，理解新运算法则，将已知化为未知的形式进行化简是解题的关键．13．【分析】计算，然后整体代入求解即可；或者把已知条件组成方程组，解方程组求出，，代入计算即可．【详解】解：解法一：因为所以，解得．故答案为：．解法二：由，得，因此，．由此可得，．所以故答案为：．【点睛】本题考查了分式的运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，注意运用整体思想求解．14．-2或0或-1或2【分析】根据零指数幂的性质，得出或底数是-1指数是偶数或，解方程求出x，验证底数不为0即可．【详解】解：∵，分三种情况讨论：∴或x2-x-1=-1且指数为偶数或，（1）当时，∴，当时，∴，（2）x2-x-1=-1且指数为偶数时，x=0;(3)当时，因式分解得解得故答案为-2或0或-1或2．【点睛】本题考查零指数幂性质，一元一次方程，一元二次方程解法，掌握任何不等于0的0次幂为1，底数为-1的偶次方为1，底数为1的任何次方为1是解题关键．15．1【分析】分别将三个等式相乘、相加，联立可得到一个只含有的等式，求解即可.【详解】三个等式相加得：三个等式相乘得：整理得：将①代入②得：，即令则解得：经检验，是方程的解则故答案为：1.【点睛】本题考查了分式的化简求值，观察已知等式，将它们分别相加、相乘，再代入求解是一种常用的解题思路，需熟练掌握.16．1；【详解】解：∵，∴，∴，∴，解得：，∴=1．故答案为1．17．0；【详解】解：∵=1，∴b﹣a=ab，∴a﹣b=﹣ab，∴==0．故答案为0．18．2【分析】设，即有：，化简：，则有：，，，设，，即，，，，则问题即可得解．【详解】结合a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零实数进行下述运算，设，则有：，即有：，化简：，则有：，，，设，，即，，，则有：，，即有：，则有：，故答案为：2．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则和性质是解题的关键．19．(x-z)(y-z)(x-y)(x+y+z)【分析】去括号整理后可得x3(y-z)+y3(z-x)+z3(x-y)，由x-y=(x-z)+(z-y)，原式可变为x3(y-z)+y3(z-x)+z3[(x-z)+(z-y)]，将中括号去掉，把小括号作为整体，重新分组分解即可.【详解】xy(x2-y2)+yz(y2-z2)+zx(z2-x2)=x3y-xy3+y3z-yz3+z3x-zx3=x3(y-z)+y3(z-x)+z3(x-y)∵x-y=(x-z)+(z-y),∴原式=x3(y-z)+y3(z-x)+z3[(x-z)+(z-y)]=(x3-z3)(y-z)+(y3-z3)(z-x)=(x-z)(x2+xz+z2)(y-z)+(y-z)(y2+yz+z2)(z-x)=(x-z)(y-z)(x2+zx+z2-y2-yz-z2)=(x-z)(y-z)(x-y)(x+y+z).【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法.因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.20．k=-3【分析】首先由x2+3x+2=(x+1)(x+2)，可设多项式=(x+my+1)×(x+ny+2)，然后根据多项式乘以多项式的运算法则求(x+my+1)×(x+ny+2)的值，又由多项式相等时对应项的系数相等，可得方程组m+n=-2、mn=k、2m+n=-5，解得m和n的值，并求出k值.【详解】因为x2+3x+2=(x+1)(x+2)，所以令原式=(x+my+1)×(x+ny+2)，即x2+(m+n)xy+mny2+3x+(2m+n)y+2=x2-2xy+ky2+3x-5y+2,所以m+n=-2、mn=k、2m+n=-5,求得m=-3，n=1，所以k=mn=-3，所以当k=-3时，多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积.【点睛】熟练掌握因式分解提公因式法、公式法．21．2【详解】试题分析：展开已知条件可得，得到a+c=2b，即可得到结论．试题解析：解：∵，∴，，，∴．∵，∴．点睛：本题考查了分式化