第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

第八章解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程课程内容要求1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).CONTENTS目录123基础扎牢——基础不牢·地动山摇考法研透——方向不对·努力白费思维激活——灵活不足·难得高分4课时跟踪检测基础扎牢—基础不牢·地动山摇011.直线的倾斜角与斜率由教材回扣基础

直线的倾斜角直线的斜率定义当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l______的方向之间所成的角α叫做直线l的_______.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为____向上倾斜角0°tanα

区别直线l垂直于x轴时，直线l的倾斜角是______；倾斜角的取值范围为_______直线l垂直于x轴时，直线l的斜率_______；斜率k的取值范围为___联系续表90°[0，π)不存在R2.直线方程的五种形式形式几何条件方程适用范围点斜式过一点(x0，y0)，斜率k_______________________________与x轴不垂直的直线斜截式纵截距b，斜率k_____________________与x轴不垂直的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)___________________________与x轴、y轴均不垂直的直线y-y0=k(x-x0)y=kx+b

截距式横截距a，纵截距b不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式

Ax+By+C=0，A2+B2≠0平面直角坐标系内所有直线续表1.识记几种特殊位置的直线方程.(1)x轴：y=0；(2)y轴：x=0；(3)平行于x轴的直线：y=b(b≠0)；(4)平行于y轴的直线：x=a(a≠0)；(5)过原点的直线：y=kx或x=0.澄清微点·熟记结论2.谨记以下几个关键点.(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.(2)当直线与x轴不垂直时，可设直线的方程为y=kx+b；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为x=ty+b.练小题巩固基础

3.已知直线l的方程为5x-ay+10=0，若直线l与两坐标轴所围成的三角形面积为10，则实数a=

.

4.设直线l的方程为x-ycosθ+2=0，则直线l的倾斜角α的范围是

.

√2.(忽视斜率公式中x1≠x2)已知经过两点A(m2+2，m2-3)，B(3-m-m2，2m)的直线l的倾斜角为135°，则m的值为

.

3.(忽视截距为0的情况)过点M(3，-4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为

.

考法研透—方向不对·努力白费02命题视角一直线的倾斜角与斜率(自主练通)√1.已知直线过A(2，4)，B(1，m)两点，且倾斜角为45°，则m=

(

)A.3 B.-3C.5 D.-1

√3.(多选)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是

(

)

A.k1<k3<k2 B.k3<k2<k1C.α1<α3<α2 D.α3<α2<α1√√

5.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为

，

.

一“点”就过1.斜率的两种求法定义法若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k=tanα求斜率公式法

命题视角二求直线的方程(自主练通)2.经过两条直线l1：x+y=2，l2：2x-y=1的交点，且直线的一个方向向量v=(-3，2)的直线方程为

.

3.已知斜率为2的直线l不过第四象限，且和两坐标轴围成面积为4的三角形，则直线l的方程为

.

4.求过点P(2，3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程.5.已知△ABC的三个顶点分别为A(-3，0)，B(2，1)，C(-2，3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE所在直线的方程.(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，(3)一“点”就过1.求解直线方程的2种方法直接法根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程待定系数法①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程2.谨防3个失误(1)选用点斜式和斜截式时，注意讨论斜率是否存在.(2)选用截距式时，注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.(3)选用一般式Ax+By+C=0确定直线的斜率时，要注意讨论B是否为0.求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0，且A>0.考法(一)

与直线有关的最值问题[例1]

直线l过点P(1，4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|+|OB|最小时，求l的方程.命题视角三直线方程的综合问题与直线方程有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程，用y表示x或用x表示y.(2)将问题转化成关于x(或y)的函数.(3)利用函数的单调性或基本不等式求最值.方法技巧

√含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能看出定点坐标或斜率的变化，数形结合解决参数问题.方法技巧

针对训练√

2.过点P(2，1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点，求当|PA|·|PB|的值最小时，直线l的方程.3.已知直线l的方程为(m+1)x+y+2-m=0(m∈R).(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若直线l不过第二象限，求实数m的取值范围.思维激活—灵活不足·难得高分03

斜率公式的应用主要形式有比较大小、求解点共线问题、求参数的取值范围、求函数的最值等.由于斜率公式具有把代数问题几何化的功能，因此在解答过程中，首先借助于斜率公式的几何意义画出草图，然后利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况，进而解决问题.拓展深化•练创新思维——直线斜率模型的妙用

[微点拨]

若直线AB，BC的斜率相等，则A，B，C三点共线；反过来，若A，B，C三点共线，则直线AB，BC的斜率相等(斜率存在时)或直线AB，BC的斜率都不存在.应用(三)

求参数问题[例3]

已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1，1)和Q(2，2)，若直线l：x+my+m=0与线段PQ有交点，求实数m的取值范围.[微点拨]当直线绕定点旋转时，若倾斜角为锐角，逆时针旋转，倾斜角越来越大，斜率越来越大，顺时针旋转，倾斜角越来越小，斜率越来越小；若倾斜角为钝角，也具有同样的规律；若倾斜角是锐角或钝角不确定，逆时针旋转，倾斜角越来越大，但斜率并不一定随倾斜角的增大而增大.

04课时跟踪检测

√2.在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax+y+b=0和直线l2：bx+y+a=0有可能是

(

)解析：由题意l1：y=-ax-b，l2：y=-bx-a，当a>0，b>0时，-a<0，-b<0.选项B符合.√

√4.已知e是自然对数的底数，函数f(x)=(x-1)ex+3e的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则直线l的横截距为

.

解析：因为f'(x)=ex+(x-1)ex=xex，所以切线l的斜率为f'(1)=e，由f(1)=3e知切点坐标为(1，3e)，所以切线l的方程为y-3e=e(x-1).令y=0，解得x=-2，故直线l的横截距为-2.答案：-2

√

√

√4.若k，-1，b三个数成等差数列，则直线y=kx+b必经过定点

(

)A.(1，-2) B.(1，2)C.(-1，2) D.(-1，-2)解析：因为k，-1，b三个数成等差数列，所以k+b=-2，即b=-2-k，于是直线方程化为y=kx-k-2，即y+2=k(x-1)，故直线必过定点(1，-2).√5.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线.已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为x-y+2=0，则顶点C的坐标为

(

)A.(-4，0) B.(-3，-1)C.(-