2025-2026学年浙江省杭州市钱塘区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年浙江省杭州市钱塘区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形绕点O旋转90°后，能与原图形重合的是（）A. B.

C. D.2.如图，一个自由转动的转盘被等分成5个扇形，分别标有“祝新年快乐”，让转盘自由转动一次（若指针落在等分线上，则重新转动），指针恰好落在“新”字所在扇形区域的概率是（）A.

B.

C.

D.3.如图，已知△ADE∽△ABC.若∠A=60°，∠ADE=50°，则∠C的度数是（）A.40°

B.50°

C.60°

D.70°4.下列图形中，线段AB是所在圆的直径的是（）A. B.

C. D.5.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，BC=10，则sinB的值是（）A.

B.

C.

D.6.如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β=（）A.140°

B.150°

C.160°

D.170°7.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A.ab＞0，b2-4ac＜0

B.ab＜0，b2-4ac＜0

C.ab＞0，b2-4ac＞0

D.ab＜0，b2-4ac＞08.如图，点C，D是半圆O的三等分点，连结CD.若半径为2，则阴影部分的面积是（）A.

B.

C.

D.9.如图，在△ABC中，点D，F在边AB上，点E在边AC上，连结CD，DE，EF，且满足DE∥BC，EF∥CD.若，则的值是（）A.

B.

C.

D.10.已知抛物线y=-3x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离是2，将抛物线先向右平移4个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（）A. B. C.3 D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.若，则的值是

.12.圆圆在篮球训练中，对一个月投篮的数据进行记录，得到如下频数表：投篮次数200400600800100012001400投中次数1503324916308129581122投中的频率0.750.830.820.790.810.800.80估计圆圆投一次篮，投中的概率是

.13.若二次函数y=（x-1）2+t的图象与y轴的交点坐标为（0，3），则t的值是

.14.如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，OF=2OC.若△ABC的面积为1，则△DEF的面积是

.

15.如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，连结AD，DE，EC，CB.若∠A=60°，∠B=75°，则∠E的度数是

.

16.如图，点C是半圆O上的一个动点，将沿着BC折叠交直径AB于点D，点E是的中点，连结OE.若AB=4，则OE的最小值是

.

三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

现有五张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，其中标有数字2，5的卡片在甲手中，标有数字1，3，4的卡片在乙手中.

（1）若从乙手中随机抽取一张卡片，求该卡片数字比2大的概率.

（2）若从甲乙手中各随机抽取一张卡片，求两张卡片上的数字和等于6的概率.18.(本小题8分)

受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，方方设计如下方法测量河宽AB.如图，从B处沿与AB垂直的直线方向走40m到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走20m到达D处，再右转90°走到E处，使点A，C，E恰好在一条直线上，量得DE=30m.

（1）求证：△ABC∽△EDC.

（2）求河宽AB的长.19.(本小题8分)

数学建模小组利用人工智能软件对掷实心球训练进行研究，他们发现掷出后的实心球沿抛物线y=a（x-m）2+k运行，其中实心球离地面的高度y（单位：m）与实心球离掷出位置的水平距离x（单位：m）之间的函数关系如图所示.已知实心球掷出位置离地面的高度为1.75m,当水平距离为3m时，实心球行进至最高点4m处.

（1）求y关于x的函数表达式.

（2）求实心球落地时的水平距离.20.(本小题8分)

如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点.已知A，B，C三个格点恰好在圆上，请用无刻度的直尺按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）.

（1）在图1中的上找一个格点M，使∠AMB=∠ACB.

（2）在图2中标出圆心O，并在上找一个点N，使∠CAN=∠BAN.

21.(本小题8分)

如图，在△ABC中，AB=AC，以底边BC为直径作⊙O，连结OA，⊙O分别与AB，AO相交于点D，E.

（1）连结DE，直接写出∠AOB与∠BDE的度数.

（2）若AD=BD=4，求的长.22.(本小题10分)

【阅读理解】数学探究课上针对如何求15°角的正切值问题，圆圆给出了下列解法：

如图1，作Rt△ABC，使∠ABC=30°，∠C=90°，延长CB至点D，使得BD=BA.连结AD，得∠D=15°.设AC=t,则AB=BD=2t,BC=t.∴tan15°=tanD=.

【类比迁移】参照上述解法，若tan2α=，求tanα的值.

【拓展应用】如图2，在△ABC中，若∠B=2∠A，AB=23，CD⊥AB，tanB=，求CD的长.

23.(本小题10分)

已知抛物线y=ax2+2ax-3（a≠0）.

（1）若该抛物线经过点（1，0），求抛物线的顶点坐标.

（2）若a＜0，点A（-3，y1），B（m,y2）在该抛物线上，且y1＜y2，求m的取值范围.

（3）若点P（x1，p），Q（1，q），M（x0，y0）均在该抛物线上，且对于任意x0，y0≤p始终成立，求证：pq≤12.24.(本小题12分)

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G为上一点，延长AG，CD交于点F，连结CG和DG.

（1）若BE=1，CD=6，求⊙O的半径.

（2）求证：∠AGC=∠DGF.

（3）若AF=CF，，求的值.（用含k的代数式表示）

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】6

12.【答案】0.8

13.【答案】2

14.【答案】4

15.【答案】45°

16.【答案】

17.【答案】

18.【答案】∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠DCE，

∴△ABC∽△EDC

河宽AB为60m

19.【答案】y=-0.25（x-3）2+4

实心球落地时的水平距离为7m

20.【答案】如图1中，点M即为所求；

如图2中．点N即为所求

21.【答案】如图，连接CE．

∠AOB=90°，∠BDE=135°

的长==

22.【答案】；

12

23.【答案】（-1，-4）

-3＜m＜1

由题意，∵P（x1，p），M（x0，y0）均在该抛物线上，任意x0，y0≤p始终成立，

∴当x=x1时，函数取最大值为p．

∵对称轴是直线x=-1，

∴当x=x1=-1时，p=-a-3为最大值．

又∵当x=1时，y=q=3a-3，

∴pq=（3a-3）（-