二次根式及其性质课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版八年级（下）第十九章二次根式19.1二次根式及其性质第1课时

二次根式的概念正数有

个平方根且互为

数0的平方根是_______负数_____平方根非负数

a

的平方根表示为

.

平方根的性质1两相反零没有复习导入正数只有____个算术平方根0的算术平方根是_____负数_____算术平方根非负数

a

的算术平方根表示为

.

算术平方根的性质2没有零一自学提示自学教材第2页：完成教材思考上提出的问题.思考：用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征：(1)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为

130m²，则它的宽为

m.解析：长方形的面积

130＝长(2x)×宽(x)2x2＝130x2＝65

探究新知知识点：二次根式的概念(2)一个大正方形的面积是一个边长为a

的正方形与另一个边长为1

的正方形的面积之和，则大正方形的边长为

.解析：S大正方形

=

a2＋1

(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t

(单位：s)与开始落下时离地面的高度

h(单位：m)的关系近似为

h=5t2，如果用含有

h的式子表示

t，那么

t为开始落下的高度

h=5t2

(t＞0)解析：

h=5t2

．被开方数(式)大于0不存在，因为实数范围内，负数没有算术平方根.问题1

这些式子还有什么共同特征？含有“”，根指数是2问题2

是否存在

，为什么呢？

注意：a可以是数，也可以是式.两个必备特征①外在特征：含有“”②内在特征：被开方数(式)

a≥0二次根式的定义

一般地，我们把形如

(a≥0)的式子叫作二次根式.

二次根式也是代数式.例1

下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：√√√××典例精析例2当

x是怎样的实数时，

在实数范围内有意义?解：由

x-

2≥0，得x≥2.当

x≥2时，

在实数范围内有意义.【变式题1】当

x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：由题意得

x-

1＞0，∴x＞1.解：∵被开方数需大于或等于零，

∴

3

+

x≥0，∴

x≥-3.∵分母不能等于零，

∴

x

-

1≠0，∴

x≠1.

∴

x≥-3且

x≠1.

要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方式≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零.归纳答：前者

x为全体实数；后者

x≥0.问题

当

x是怎样的实数时，

在实数范围内有意义？

呢？例3(1)当

a＝－2

时，二次根式

的值是

；

(2)当

a＝

时，二次根式

的值是

；

(3)当

a＝4时，二次根式

的值是

；

231归纳总结：把未知数的值代入二次根数求值，注意化简定义在有意义条件下求字母的取值范围二次根式抓住被开方数必须为_________，从而建立不等式求出其解集我们把形如___________的式子叫作二次根式课堂小结非负数2.式子有意义的条件是（）

A.x＞2B.x≥2C.x＜2D.x≤23.当

x

=____时，二次根式

取最小值，

其最小值为______．1.下列式子中，不属于二次根式的是（）CA-10当堂练习4.当

a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

第十九章二次根式19.1二次根式第2课时

二次根式的性质定义二次根式的双重非负性二次根式

中，a____0且___0二次根式我们把形如__________的式子叫做二次根式≥≥复习导入知识点1：二次根式的双重非负性

那么当

a≥0时，

的大小是怎样的呢？有意义a≥0回顾之前思考的过程.

算术平方

探究探究新知

0形如(一般)意义大小总结(a＞0)(a=0)表示

a的算术平方根表示0的算术平方根

＞0

＝0当

a≥0时，

≥0实例(特殊)

二次根式的被开方数或式非负(a≥0)二次根式的值非负

(

≥0)二次根式

的双重非负性

二次根式的实质是表示一个非负数(或式)的算术平方根.对于任意一个二次根式归纳总结例1

已知实数

m，n

满足｜m-

2｜+=0，则

m

=

，n

=

.

211.

已知(x－2)²＋

＝0，则

xy的值为

.【练一练】

－2典例精析问题：根据算术平方根的意义填空：

＝

;

分析：

是3

的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于

3

的非负数.30.50因此，同理，

分别是

0.5，

，0，的算术平方根.

知识点2：（a≥0）的性质【知识要点】注意：不要忽略

a≥0

这一限制条件.这是使二次根式

有意义的前提条件.a

可以是数，也可以是式.一般地，＝a

(a≥0).

典例精析例2

计算：

解析：1.5积的乘方：(ab)2=a2b220＝a(a≥0)2.等式

成立的条件是

.

1.计算：分析：

x

-2≥0

x≥2练一练分数的乘方：答案：(1)5.

＝a(a≥0)

(2)18.(3)12.

(4)问题：填空：

＝

；

20.10【拓展】当

a＞0

时，

当

a＝0

时，

a0知识点3：的性质

＝a(a≥0).即任意一个非负数的平方的算术平方根等于它本身.一般地，根据算术平方根的意义：【知识要点】

【思考】当a

为任意实数时，

都有意义.如果上式中的

a

为负实数，那么上式还成立吗？为什么？

不成立.问题：填空：

＝

；20.1猜想：证明：当

a＜0时，

=-a∵

a＜0，∴

-a＞0，则即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.a(a≥0)，-a(a＜0).【知识要点】

＝|a|＝问题：如果

a

是任意实数，那么如何化简

？

0(a＝0)，例3化简：解析：453.计算：

8-1.2练一练π-3.14

3-1

3-13.14-π＜0幂的乘方的逆运算：amn=(am)n

例3

实数

a、b

在数轴上的对应点如图所示，请你化简：ab分析：

|

a

|

-

|

b

|+|

a-

b

|-2a

原式

=

-a

-

b

-

(a-

b)上式

a＜0，b＞0，a

-

b＜0课堂小结性质拓展性质二次根式

＝a(a≥0)＝a(a≥0)

(a为全体实数)1.化简：(1)

＝

;

(2)

＝

;

(3)

＝

;(4)

＝

.38142当堂练习基础练习2.当

1<x<3时，的值为

(

)A.3B.-3C.1D.-1D3.已知

a、b

是实数，且满足

，

那么

a+b的值是________.

1解：4.利用

a

＝

(a≥0)，把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：(1)9；(2)2.5；

(3)；

(4)0.解：根据数轴可知

b＜a＜0，∴a

+

2b＜0，a-

b＞0，则

=

|

a

+

2b

|

+

|

a

-

b

|=

-

a

-

2b+a

-

b

=

-

3b．能力提升5.实数

a、b

在数轴上的对应点如图所示，化简：

ab06.

已知

a、b、c是△ABC的三边